第5章-测量误差的基本知识.pptx

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1、测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。通常把仪器仪器、观测者观测者和外界环境外界环境三个方面综合起来，称为观测条件观测条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测不等精度观测。一、测量误差的来源一、测量误差的来源 5-1 测量误差概述第1页/共51页 外界条件外界条件：主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。仪器条件仪器条件：仪器在加工和装配等工艺过

2、程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。观测者的自身条件观测者的自身条件：由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。在观测结果中，有时还会出现错误错误，称之为粗差粗差。粗差在观测结果中是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。第2页/共51页二、测量误差的分类 系统误差系统误差：在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。系统误差一般具有累积性。系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不完善。例如，用名义

3、长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺进行量距。误差符号始终不变，具有规律性；误差大小与量测距离成正比，具有累积性。尺段数尺段数 一一二二三三四四五五 N观测值观测值 306090120150 30 n真实长度真实长度30.0460.0890.12120.16150.20 30.04n真误差真误差-0.04-0.08-0.12-0.16-0.20-0.04 n第3页/共51页测量误差的分类又例如，在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角（i 角）时，对水准尺的读数所产生的误差，它与水准仪至水准尺之间的距离成正比，所以这种误差按某种规律变化。消除系统误差的常用的有效方法：消除系统误差

4、的常用的有效方法：检校仪器：使系统误差降低到最小程度。求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。采用合理的观测方法：如对向观测。第4页/共51页观测误差的分类 偶然误差偶然误差：在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例如，在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过 大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。偶然误差，就其个别值而言，在观测前不能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条件下，对某量进行多次观测，误差会呈现出一定的规律性，称为统计规律统计规律。而且，随着观测次数的增加，偶然误差的规律

5、性表现得更加明显。第5页/共51页消除或削弱偶然误差的有效方法：消除或削弱偶然误差的有效方法：适当提高仪器等级。例如，J2经纬仪就比J6经纬仪在瞄准、读数等方面减小偶然误差；钢尺比皮尺就会减小读数误差等等。进行多余观测，求最或是值。测绘工作中称必须的那几次观测为必要观测必要观测，增多的几次观测为多余观测多余观测。如，为了得到一个三角形的三个内角的值，实测中观测其中两个角，第三个角可通过计算得到，为了避免错误和提高精度对三个角全部观测，第三个角的观测就是多余观测，有了多余观测就可以求角度改正数，求出其最或然值。第6页/共51页 i=Li X （i=1,2,3,358）三、偶然误差的特性三、偶然误

6、差的特性第7页/共51页从表中可以看出偶然误差有以下特性：从表中可以看出偶然误差有以下特性：从表中可以看出偶然误差有以下特性：从表中可以看出偶然误差有以下特性：在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于

7、零。用公式表示为：用公式表示为：为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可以按表中的数据作为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可以按表中的数据作误误误误差频率直方图差频率直方图差频率直方图差频率直方图。实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大时，这种特实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大时，这种特性就表现得愈明显。性就表现得愈明显。第8页/共51页-24-21-18-16-12-9-6 3 0+3+6+9+12+15+18+21+24 x=误差频率直方图误差频率直方图第9页/共51页误差分布曲线误差分布曲线f()+-11121-+

8、f()2+-221221(a)(b)令f()=0，得=第10页/共51页式中，参数式中，参数为观测误差的标准差。为观测误差的标准差。从中可以看出正态分布具有偶然误差的特性。即从中可以看出正态分布具有偶然误差的特性。即l f()是偶函数，即绝对值相等的正、负误差求得的是偶函数，即绝对值相等的正、负误差求得的 f()相等，故曲线对称于纵轴。相等，故曲线对称于纵轴。l 越小，越小，f()越大；越大；越大，越大，f()越小。越小。l 当当=0时，时，f()最大，其值为最大，其值为l 当当第11页/共51页5-2 5-2 评定精度的指标评定精度的指标一、中误差 标准差标准差标准差标准差 根据偶然误差概率

9、分布规律，以标准差根据偶然误差概率分布规律，以标准差 为标准衡量在一定观测条件下观为标准衡量在一定观测条件下观测结果的精度是比较合适的。测结果的精度是比较合适的。在测量中定义：按有限次观测的偶然误差求得的标准差为中误差，用在测量中定义：按有限次观测的偶然误差求得的标准差为中误差，用m m表表示，即示，即l l定义定义定义定义第12页/共51页 中误差中误差中误差中误差 *在一定的观测条件下，标准差是一个固定的常数，而中误差则是随着观测次在一定的观测条件下，标准差是一个固定的常数，而中误差则是随着观测次数的多少及读取的观测值大小而改变的随机变量，当观测次数逐渐增大时，中误数的多少及读取的观测值大

10、小而改变的随机变量，当观测次数逐渐增大时，中误差逐渐趋近于标准差差逐渐趋近于标准差。是反映一组真误差离散程度的指标。是反映一组真误差离散程度的指标。第13页/共51页v中误差的计算中误差的计算 例题：例题：例题：例题：用两台仪器对某一三角形各进行了用两台仪器对某一三角形各进行了1010次观测，求得每次观测所得的三角次观测，求得每次观测所得的三角形闭合差分别为形闭合差分别为 第一台仪器第一台仪器的结果（单位：）：3 3，-2-2，-4-4，2 2，0 0，-4-4，3 3，2 2，-3-3，-1-1。第二台仪器的结果（单位：第二台仪器的结果（单位：）：）：3 3，1 1，-2-2，2 2，0 0

11、，-3-3，2 2，1 1，-1-1，0 0。第14页/共51页二、相对误差二、相对误差v定义 误差的绝对值与观测值之比称为该观测值的误差的绝对值与观测值之比称为该观测值的相对误差相对误差，常用，常用1/1/T T 的形式表示。的形式表示。例：分别丈量了例：分别丈量了100m100m及及200m200m的两段距离，观测值的中误差均为的两段距离，观测值的中误差均为2cm2cm，试比较两者，试比较两者的观测成果质量。的观测成果质量。中误差的绝对值与观测值之比称为该观测值的中误差的绝对值与观测值之比称为该观测值的相对中误差相对中误差。第15页/共51页三、容许误差三、容许误差v极限误差极限误差v容许

12、误差容许误差第16页/共51页5-3 5-3 误差传播定律误差传播定律一、误差传播定律的公式v定义：反映观测值与观测值函数之间误差关系的定律。定义：反映观测值与观测值函数之间误差关系的定律。v公式公式第17页/共51页v常用函数的中误差公式常用函数的中误差公式倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数第18页/共51页要正确列出函数式要正确列出函数式要正确列出函数式要正确列出函数式 例：用长例：用长30m30m的钢尺丈量了的钢尺丈量了1010尺段，若每尺段的中误差尺段，若每尺段的中误差m ml l=5mm=5mm，求全长，求全长L L及其中误差及其中误差。二、误差传播定律的应用二、误差传

13、播定律的应用（错误）（正确）第19页/共51页例：有函数式如下，若例：有函数式如下，若x的中误差的中误差mx为已知，求为已知，求mz。函数式中各观测值之间必须相互独立函数式中各观测值之间必须相互独立方法一方法一:方法二方法二:（错误）（错误）y1y1、y2y2不独立不独立第20页/共51页 5-4 等精度直接观测平差等精度直接观测平差一、平差原则 按最小二乘原理 例如：测的某三角形的三个内角的观测值：其闭合差 为消除闭合差，须对三个角度进行改正，即 第21页/共51页满足条件的改正数可以有无限多组，见下表：根据最小二乘原理，应使改正数改正数第第1 1组组第第2 2组组第第3 3组组第第4 4组

14、组第第5 5组组 V V V V V V+6+6+6+6+6+6+4+4+20+20-6-6-4-4+6+6+16+16+3+3-1-1+16+16+6+6+5+5+7+7vvvv108108452452308308266266110110第22页/共51页 二、等精度直接平差二、等精度直接平差 （一）求最或然值算术平均值 设对某未知量进行了一组等精度观测，观测值分别为L1，L 2，Ln，该量的真值设为X，各观测值的真误差为1，2，n。i=Li-X （i=1，2，n）将各式取和再除以次数将各式取和再除以次数nv结论结论等精度直接观测值的最或然值等精度直接观测值的最或然值各观测值的算术平均值。各

15、观测值的算术平均值。由于由于所以所以第23页/共51页（二）观测值的改正数（二）观测值的改正数观测值的最或是值与观测值之差，即：观测值的最或是值与观测值之差，即：将上列等式相加，得将上列等式相加，得 即：一组观测值的改正值之和恒等于零。这一特性可以作为计算中的校核计算中的校核。第24页/共51页uu 根据真误差计算等精度观测值中误差：根据真误差计算等精度观测值中误差：在很多情况下由于真值的不可知，导致真误差的不可知。但是，有时可将理论值视为真值，例如：三角形内角和为180等。例：设等精度观测n个三角形的三个内角，试根据三角形闭合差计算测角中误差。解：三角形闭合差：三、评定精度三、评定精度第25

16、页/共51页 而根据中误差传播定律，可得三角形闭合差的中误差为：其中，m为测角中误差。将此式代入上式得：此式即著名的菲列罗公式菲列罗公式，通常用于计算三角测量的测角中误差。但当三角形的个数大于20时，由此公式算出的测角中误差才比较可靠。根据中误差的定义公式得三角形闭合差的中误差为：根据中误差的定义公式得三角形闭合差的中误差为：第26页/共51页 设某量的n个等精度观测值为l1，l2,，ln，其真误差和 改正数分别为：于是有：将上列n个等式两边分别平方平方，并求其和，再除以求其和，再除以n n，则有：上式中，考虑到中误差的定义公式，可得：uu 根据观测值的改正数计算其中误差根据观测值的改正数计算

17、其中误差根据观测值的改正数计算其中误差根据观测值的改正数计算其中误差推导过程见下页第27页/共51页推导过程如下：推导过程如下：第28页/共51页 设观测值的中误差为m，算术平均值的中误差为M，则应用误差传播定律于算术平均值的计算公式，则有：故算术平均值的中误差为：uu算术平均值的中误差算术平均值的中误差算术平均值的中误差算术平均值的中误差 例：对某角等精度观测例：对某角等精度观测6 6次，其观测值见下表。试求观测值的最或然值、观次，其观测值见下表。试求观测值的最或然值、观测值的中误差以及最或然值的中误差。测值的中误差以及最或然值的中误差。第29页/共51页例：例：第30页/共51页5.5 不

18、等精度直接平差 一、广义算术平均值 设对未知量进行了n次同精度观测，得 ；现将n个观测值分成两组，其中第一组有n1 个观测值，第二组有n2个观测值，则 。将两组观测值分别进行平差计算。分别求得两组观测值的算术平均值，并以 及 表示为：（1）第31页/共51页 设观测值的中误差为m，则它们的中误差可求得，为：（2）根据全部同精度观测值求该未知量的最或然值为：（3）得 （4）第32页/共51页 从上式可见，如果将L1 及 L2 看成两个不同精度观测值，则为求被观测量的最或然值时，在本例的情况下，只要考虑求得它们的观测次数n1和n2，并代入（4）式就可求得。为了得出由不同精度观测值求被观测量的最或然

19、值的一般公式，可将（2）式代入（4）式，得 （5）从上式可见，如果将上式中的 m2 换成另一常数，并不影响x的值。在测量工作中，令 （6）第33页/共51页 则 （7）可以看出，Li 的精度愈高，则mi愈小，而pi愈大，相应的Li在x中的比重就大。反之，Li的精度愈低，即mi愈大，而 pi 愈小，相应的 Li在x中的比重就小。所以，也可以说：pi值的大小，权衡了观测值 Li 在x中所占比重的大小，故称 pi为Li的权。对于同精度观测值的算术平均值 L 来说，其权就是参与计算的观测值的次数。第34页/共51页 当对某未知量进行了n次不同精度观测，得 ，其相应的权为 ，求该量的最或然值时，可将（7

20、）式扩充为：称上式为广义算术平均值，或带权平均值。第35页/共51页 二、权 求权的基本公式为（6）式，即 式中 是任意常数。这个 值含有什么意义呢？可见：当 时，所以 是权等于1的观测值的中误差，通常称等于1的权为单位权，权为1的观测值为单位权观测值。而 为为单单位位权权观观测测值值的的中中误误差差，简简称称为为单位权中误差。单位权中误差。第36页/共51页 权反映了观测值之间的相互精度关系权反映了观测值之间的相互精度关系。就计算p值来说，不在乎权本身数值的大小，而在于确在于确定它们之间的比例关系定它们之间的比例关系。由（5）式可知：（m）值的不同，对x 值的计算毫无影响，即它并不改变最或然

21、值的计算结果。（5）第37页/共51页uu 距离测量中根据边长确定权距离测量中根据边长确定权 例：按同等精度丈量三条边长，得S1，S2，S3，相应的长度为3km，4km，6km。试确定三条边边长观测值的权。解：由于按同精度丈量，所以每千米的丈量中误差相同。设每千米丈量中误差为mkm，则边长Si的中误差为：将其代入权的定义公式得：第38页/共51页 在本例中，取C为12km，则得S1，S2，S3的权分别为4，3，2。此时S为12km时的权为1。也就意味着，以以12km12km的观测为单位权观测的观测为单位权观测，则相应的权为单位权相应的权为单位权，相应的中误差为单位权中误差相应的中误差为单位权中

22、误差。由此还可以看出，上式中C C的含义就是单位权观测的含义就是单位权观测。第39页/共51页u 水准测量中根据水准路线长度或测站数定权水准测量中根据水准路线长度或测站数定权 例：设一个水准网由四条同一等级的水准路线所构成。设四条水准路线的路线长度为S1=4km，S2=2km，S3=1km，S4=3km，相应的测站数为n1=50，n2=25，n3=10，n4=40。试分别按路线长度和测站数来确定这四条水准路线观测高差的权。解：由于这四条水准路线是按同一等级观测的，所以它们每千米观测高差中误差mkm和每测站观测高差中误差m站均是相同的，则第i条路线观测高差的中误差为：第40页/共51页 将其代入

23、权的定义公式得：令则，第i条水准路线观测高差的权为：在本例中，当按各水准按路线长度定权时，若取C为12km，则各水准路线观测高差的权分别为3，6，12，4；当按各水准路线的测站数定权时，若取C为100，则各水准路线观测高差的权分别为2，4，10，2.5。第41页/共51页 【例例】设以不等精度观测某角度，各观测结果的中误差分别设以不等精度观测某角度，各观测结果的中误差分别 为为：m1=11，m2=2=2，m3=3=3，则它们的权各为则它们的权各为第42页/共51页二、不等精度观测值的最或然值 设对某未知量进行了一组不等精度观测，观测值分设对某未知量进行了一组不等精度观测，观测值分别为别为L1，

24、L 2，Ln，其对应的权为其对应的权为p1，p2，pn，则加权平均值即为不等精度观测值的最或然值则加权平均值即为不等精度观测值的最或然值。计计算公式为算公式为：第43页/共51页三、评定精度三、评定精度加权平均值公式加权平均值公式第44页/共51页 【例例】水准测量中从已知高程点水准测量中从已知高程点A、B、C出发得出发得O点的三个高程观测值点的三个高程观测值Hi及各水准及各水准路线的长度路线的长度Li，求求O点高程的最或然值点高程的最或然值Ho及其中误差及其中误差M。第45页/共51页 小结小结 1.测量误差及其产生的原因 仪器的原因 人的原因 外界环境的影响 2.测量误差的分类与处理原则

25、系统误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。偶然误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。续第46页/共51页 误差的处理原则 系统误差对观测结果的影响显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对情况不明的系统误差，采用不同时间的多次观测。消除系统误差的常用的有效方法：消除系统误差的常用的有效方法：检校仪器：求改正数 采用合理的观测方法。消除或削弱偶然误差的有效方法：消除或削弱偶然误差的有效方法：适当提高仪

26、器等级 进行多余观测，求最或是值。续第47页/共51页 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；值；值；值；绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；绝对值相等的正、负误差具有大致相

27、等的频率；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。3.3.偶然误差的特性偶然误差的特性续第48页/共51页 4.4.观测成果的精度评定指标观测成果的精度评定指标 .中误差中误差 观测个数总是有限的观测个数总是有限的nn 中误差是标准差的近似值估值；同精度观测值对应着一个误差分布，即对应着中误差是标准差的近

28、似值估值；同精度观测值对应着一个误差分布，即对应着一个标准差和中误差。一个标准差和中误差。.极限误差（）容许误差极限误差（）容许误差 偶然误差的绝对值大于偶然误差的绝对值大于2 2倍中误差的约占误差总数的倍中误差的约占误差总数的55，故以，故以2 2倍中误差作为倍中误差作为允许的误差极限，允许的误差极限，允允=2m =2m .相对中误差相对中误差 用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量,即即m/L=1/Nm/L=1/N。续第49页/共51页 5 5 5 5、误差的传播规律及应用、误差的传播规律及应用、误差的传播规律及应用、误差的传播规律及应用一、和差函数的中误差一、和差函数的中误差二、线性函数和倍数函数的中误差二、线性函数和倍数函数的中误差三、一般函数的中误差三、一般函数的中误差作业：P1391、4、5、7、9第50页/共51页感谢您的观看！第51页/共51页