dd概率论的基本概念.pptx

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1、3.2 概率论的基本概念2.随机变量的统计特性 （1）离散随机变量设xi为离散型随机变量的所有可能值；而P(xP(xi i)是取xi的概率，离散型随机变量的分布函数为F(x)=Pxx=p=xi=p(xi)xi x x xi xx （2）模拟随机变量第1页/共75页3.2 概率论的基本概念3.随机变量的数字特征 （1）均值（数学期望）E （2）方差D （3）协方差 （4）相关函数第2页/共75页3.3 3.3 随机过程的基本概念确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。描述随机信号的数学工具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机

2、变量的概念推广到时间函数。第3页/共75页 设随机试验E E的可能结果为(t)(t)，试验的样本空间S S为xx1 1(t),x(t),x2 2(t)(t)，,x xn n(t),(t),，x xi i(t)(t)是第i i次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作(t)(t)。1.随机过程的数学定义随机过程的数学定义第4页/共75页1.随机过程的数学定义随机过程举例：随机过程举例：第5页/共75页1.随机过程的数学定义随机过程的基本特征随机过程的基本特征:随机过程具有随机变量和时间函数的特点：随机过程具有随机变量和时间函数的特点：第一，它

3、是一个时间函数；第一，它是一个时间函数；第二，在固定的某一观察时刻第二，在固定的某一观察时刻t t1 1，(t(t1 1)是随机变量。是随机变量。第6页/共75页2.随机过程的统计描述设(t)表示随机过程，在任意给定的时刻t1T，(t1)是一个一维随机变量。一维分布函数：随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率，即 F1(x1,t1)=P(t1)x1 一维概率密度函数第7页/共75页2.随机过程的统计描述n维分布函数：n n维概率密度函数维概率密度函数第8页/共75页3.随机过程的一维数字特征数学期望n 方差方差第9页/共75页4.随机过程的二维数字特征n协方差函数协方差函数 自相关函数自

4、相关函数第10页/共75页4.随机过程的二维数字特征由由上面两式可得上面两式可得和和之间的关系之间的关系第11页/共75页3.4 平稳随机过程1 1.狭义平稳随机过程平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即对于任意的n和，随机过程(t)的n维概率密度函数满足则称则称(t)(t)是平稳随机过程（狭义）。是平稳随机过程（狭义）。第12页/共75页1.1.狭义平稳随机过程平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。推论：一维分布与时间t无关，二维分布只与时间间隔有关。第13页/共75页1.1.狭义平稳随机过程从而有第14页

5、/共75页2.广义平稳随机过程平稳随机过程的定义对于一切n都需成立，这在实际应用上很复杂。由平稳随机过程的均值是常数，自相关函数是的函数还可以引入另一种平稳随机过程的定义：若随机过程(t)的均值为常数，自相关函数仅是的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。第15页/共75页 平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”。若平稳随机过程的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代，则称平稳随机过程具有“各态历经性”。3.各态历经性各态历经性第16页/共75页3.各态历经性“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都

6、经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。第17页/共75页3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度自相关函数定义：R()=E(t)(t+)自相关函数的意义：平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关函数来描述自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。第18页/共75页自相关函数主要性质：R(0)=E2(t)=S -(t)的平均功率R()=R(-)-偶函数|R()|

7、R(0)-上界R()=E2(t)-(t)的直流功率R(0)-R()=2 -(t)的交流功率。3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度第19页/共75页(t)(t)的任一样本函数的功率谱密度为式中，式中，F FT T()()是是f fT T(t)(t)的频谱函数；的频谱函数；f fT T(t)(t)是是f(t)f(t)的短截函数；的短截函数；f(t)f(t)是是(t)(t)的任一实现。的任一实现。3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度第20页/共75页 由于(t)是无穷多个实现的集合，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即 (t)

8、(t)的平均功率的平均功率S S可表示成可表示成3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度第21页/共75页 由(t)功率谱密度的定义，很难直接计算功率谱。确知信号的自相关函数与其功率谱密度是傅氏变换对。对于平稳随机过程，也有类似的关系，即 3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度第22页/共75页利用二重积分换元法，则上式可化简成：于是简记为 R()P()。上称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域的基本关系式。3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度第23页/共75页 例例3-1 3-1 随随机机相相位位余余弦弦波波(t)=Acos(t)=Acos(

9、c ct+)t+)，其其中中A A和和c c均均为为常常数数，是是在在(0,2)(0,2)内内均均匀匀分分布布的的随随机机变量。求变量。求(t)(t)的自相关函数与功率谱密度。的自相关函数与功率谱密度。解解：(1)(1)先先考考察察(t)(t)是是否否广广义义平平稳稳。(t)(t)的的数数学学期期望为望为3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度第24页/共75页(t)(t)的自相关函数为：的自相关函数为：令t1=t,t2=t+,经过推导得：经过推导得：3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度第25页/共75页 因为cosc (-c)+(+c)所以，P()=(-c)+(+c)仅仅与与有有关关。由由此

10、此看看出出，(t)(t)是是宽宽平平稳稳随机过程。它的功率谱密度为：随机过程。它的功率谱密度为：3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度平稳过程的相关函数与功率谱密度第26页/共75页1.1.定义若随机过程(t)(t)的任意n n维（n=1,2,n=1,2,）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n n维正态概率密度函数表示如下：fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)3.6 3.6 高斯过程高斯过程第27页/共75页式式中中,a ak k=E(t=E(tk k)，2 2k k=E(t=E(tk k)-a)-ak k 2 2，|B|B|为为归一化协方差矩阵的行列式，即归一化协方差

11、矩阵的行列式，即1 b12 b1nB21 1 b2nBn1 bn2 1|B|B|jkjk为为行行列列式式|B|B|中中元元素素b bjkjk的的代代数数余余因因子子，b bjkjk为为归归一化协方差函数：一化协方差函数：1.1.定义定义第28页/共75页高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的M维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则即对所有jk，有bjk=0，于

12、是2.2.高斯过程的特点高斯过程的特点：第29页/共75页 =f(x1,t1)f(x2,t2)f(xn,tn)这就是说，如果高斯过程中的随机变量是互不相关的，则它们也是统计独立的。fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)=2.2.高斯过程的特点高斯过程的特点：第30页/共75页常用的是高斯过程的一维分布。高斯过程在任一时刻上的样值是一维高斯随机变量，其概率密度函数可表示为概率密度函数的曲线为2.2.高斯过程的特点高斯过程的特点：第31页/共75页 特点（1 1）f(x)f(x)对称于x=ax=a这条直线;（2），（3）a表示分布中心，表示集中程度，f(x)图形将随着的减小而变高和变窄。当a=

13、0，=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数;正态分布函数2.2.高斯过程的特点高斯过程的特点：第32页/共75页这里的 称为正态概率积分。这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下特殊函数：2.2.高斯过程的特点高斯过程的特点：第33页/共75页 误差函数互补误差函数几种函数的关系为2.高斯过程的特点：第34页/共75页3.高斯白噪声一类特殊的高斯过程高斯白噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即 这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。带随机过程。式中式中n0n0为

14、一常数，单位是瓦为一常数，单位是瓦/赫。赫。显然，白噪声的自相关函数为显然，白噪声的自相关函数为第35页/共75页 这说明，白噪声只有在这说明，白噪声只有在=0=0时才相关，而它在任意时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。两个时刻上的随机变量都是互不相关的。画出了白噪声画出了白噪声的双边带功率谱及其自相关函数的图形。的双边带功率谱及其自相关函数的图形。应当指出，我们定义的这种理想化的白噪声实际中应当指出，我们定义的这种理想化的白噪声实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率普密度均匀分布的是不存在的。但是，如果噪声的功率普密度均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，那么就可

15、以把频率范围远远大于通信系统的工作频带，那么就可以把它视为白噪声。它视为白噪声。3.高斯白噪声高斯白噪声第36页/共75页 1.1.定义定义：随随机机过过程程通通过过以以fcfc为为中中心心频频率率的的窄窄带带系系统统的的输输出出，即即是是窄窄带带过过程程。所所谓谓窄窄带带系系统统，是是指指其其通通带带宽宽度度ffcffc，且，且f fc c远离零频率的系统。远离零频率的系统。实实际际中中，大大多多数数通通信信系系统统都都是是窄窄带带型型的的，通通过过窄窄带带系系统统的的信信号号或或噪噪声声必必是是窄窄带带的的，如如果果这这时时的的信信号号或或噪噪声声又又是是随随机机的的，则则称称它它们们为为

16、窄窄带带随随机机过过程程。如如用用示示波波器器观观察察一一个个实实现现的的波波形形，则则如如下下图图所所示示，它它是是一一个个频率近似为频率近似为f fc c，包络和相位随机缓变的正弦波。，包络和相位随机缓变的正弦波。3.7 3.7 窄带随机过程窄带随机过程第37页/共75页1.定义第38页/共75页 因此，窄带随机过程因此，窄带随机过程(t)(t)可用下式表示可用下式表示:(t)=a (t)=a(t)cos(t)cosc ct+t+(t)(t),a,a(t)0 (3.7-1)(t)0 (3.7-1)等价式为等价式为 (t)=(t)=c c(t)cos(t)cosc ct-t-s s(t)si

17、n(t)sinc ct (3.7-2)t (3.7-2)其中其中 c c(t)=a(t)=a(t)cos(t)cos(t)(3.7-3)(t)(3.7-3)s s(t)=a(t)=a(t)sin(t)sin(t)(3.7-4)(t)(3.7-4)式式中中,a a(t)(t)及及(t)(t)分分别别是是(t)(t)的的包包络络函函数数和和随随机机相相位位函函数数，c c(t)(t)及及s s(t)(t)分别称为分别称为(t)(t)的同相分量和正交分量。的同相分量和正交分量。1.定义第39页/共75页 由由式式（3.7-13.7-1）至至(3.7-4)(3.7-4)看看出出，(t)(t)的的统统计

18、计特特性性可可由由a a(t)(t)，(t)(t)或或c c(t),(t),s s(t)(t)的的统统计计特特性性确确定定。反反 之之，如如 果果 已已 知知(t)(t)的的 统统 计计 特特 性性 则则 可可 确确 定定a a(t),(t),(t)(t)以及以及c c(t)(t)，s s(t)(t)的统计特性。的统计特性。1.定义第40页/共75页 设设窄窄带带过过程程(t)(t)是是平平稳稳高高斯斯窄窄带带过过程程，且且均均值值为为零零,方方差差为为2 2。下下面面将将证证明明它它的的同同相相分分量量c c(t)(t)和和正正交交分分量量s s(t)(t)也也是是零零均均值值的的平平稳稳高

19、高斯斯过过程程，而而且且与与(t)(t)具有相同的方差。具有相同的方差。(1).(1).数学期望数学期望 对式（对式（3.7-23.7-2）求数学期望）求数学期望:E(t)=EE(t)=Ec c(t)cos(t)cosc ct-Et-Es s(t)sin(t)sinc ct t (3.7-5)(3.7-5)可得可得 Ec(t)=0 Es(t)=0 (3.7-6)Ec(t)=0 Es(t)=0 (3.7-6)2.2.同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性第41页/共75页(2).(2).自相关函数自相关函数 R(t,t+)=E(t)(t+)=Ec(t)cosct-s(t)sinct c

20、(t+)cosc(t+)-s(t+)sinc(t+)=Rc(t,t+)cosctcosc(t+)-Rcs(t,t+)cosctsinc(t+)-Rc(t,t+)sinctcosc(t+)Rs(t,t+)sinctsinc(t+)(2.6-7)2.2.同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性第42页/共75页=Rc(t,t+)cosctcosc(t+)-Rcs(t,t+)cosctsinc(t+)-Rc(t,t+)sinctcosc(t+)Rs(t,t+)sinctsinc(t+)2.2.同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性第43页/共75页 式中式中Rc(t,t+)=Ec(

21、t)c(t+)Rcs(t,t+)=Ec(t)s(t+)Rsc(t,t+)=Es(t)c(t+)Rs(t,t+)=Es(t)s(t+)因因为为(t)(t)是是平平稳稳的的，故故有有 R R(t,(t,t+)=Rt+)=R ()()，这这就就要要求求式式（2.6 2.6-7 7）的的右右边边也也应应该该与与t t无无关关，而而仅仅与与时时间间间间隔隔有有关关。若若取取使使sinsinc ct=0 t=0 的的所有所有t t值，则式（值，则式（2.6-72.6-7）应变为）应变为 2.2.同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性第44页/共75页 R()=Rc(t,t+)cosc-Rcs(t

22、,t+)sinc (2.6-8)这时，显然应有这时，显然应有 Rc(t,t+)=Rc()Rcs(t,t+)=Rcs()2.2.同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性第45页/共75页所以，式（3.7-8）变为 R()=Rc()cosc-Rcs()sinc (3.7-9)再取使cosct=0的所有t值，同理有 R()=Rs()cosc+Rsc()sinc (3.7-10）2.2.同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性第46页/共75页由由以以上上的的数数学学期期望望和和自自相相关关函函数数分分析析可可知知，如如果果窄窄带带过过程程(t)(t)是是平平稳稳的的，则则c(t)c(

23、t)与与s(t)s(t)也也必必将将是是平稳的。平稳的。进进一一步步分分析析，式式（3.7-93.7-9）和和式式（3.7-103.7-10）应应同同时时成立成立，故故有有 R Rcc()=R()=Rss()()(3.7(3.7-11)11)R Rcscs()=()=R Rscsc()()(3.7 3.7-12)12)可可见见，同同相相分分量量c(t)c(t)和和正正交交分分量量s(t)s(t)具具有有相相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有2.2.同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性第47页/共75页 Rcs()=Rsc(-

24、)将上式代入式（2.6-12），可得 Rsc()=-Rsc(-)(2.6-13)同理可推得 Rcs()=-Rcs(-)(2.5-14)式（2.6-13）、（2.6-14）说明，c(t)、s(t)的互相关函数Rsc()、Rcs()都是的奇函数，在=0时 Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.6-15)第48页/共75页 于是，由式（2.6-9）及式（2.6-10）得到 R(0)=Rc(0)=Rs(0)(2.6-16)即 2=2c=2s (2.6-17)这表明(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差（因为均值为0）。另外，因为(t)是平稳的，所以(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随

25、机变量，故在式（2.6-2）中有第49页/共75页 当t=t1=0 时，(t1)=c(t1)当t=t2=/2c时，(t2)=-s(t2)所以c(t1)，s(t2)也是高斯随机变量，从而c(t)、s(t)也是高斯随机过程。又根据式（2.6-15）可知，c(t)、s(t)在同一时刻的取值是互不相关的随机变量，因而它们还是统计独立的。综上所述，我们得到一个重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。第50页/共75页 3.3.包络和相位的统计特性包络和相位的

26、统计特性设设a a,的的联联合合概概率率密密度度函函数数为为f(af(a,)，则利用概率论知识，则利用概率论知识，有有 根据式（根据式（3.7-33.7-3）和式（）和式（3.7-43.7-4）的关系）的关系 c=acos s=asin(3.7-18）由上面的分析可知，由上面的分析可知，cc和和ss的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为第51页/共75页 得到 于是(2.6-19）第52页/共75页注注意意，这这里里a a0,0,而而 在在(0(0，2)2)内内取取值值，再再利利用概率论中边际分布知识可分别求得用概率论中边际分布知识可分别求得可见可见a a服从瑞利分布；而服从瑞利分布；而(2

27、.6-20）上式方括号中的积分值为上式方括号中的积分值为1(1(根据瑞利分布的性质根据瑞利分布的性质)，故，故第53页/共75页(3.7-21）可见，可见，服从均匀分布。服从均匀分布。综综上上所所述述，我我们们又又得得到到一一个个重重要要结结论论：一一个个均均值值为为零零，方方差差为为2 2的的窄窄带带平平稳稳高高斯斯过过程程(t)(t)，其其包包络络a a(t)(t)的的一一维维分分布布是是瑞瑞利利分分布布，相相位位(t)(t)的的一一维维分分布布是是均均匀匀分分布布，并并且且就就一一维维分分布布而而言言，a a(t)(t)与与(t)(t)是统计独立的，即有下式成立：是统计独立的，即有下式成

28、立：f(a,)=f(a)f()第54页/共75页3.8 3.8 正弦波加窄带高斯过程 现在我们来求正弦波加窄带高斯噪声的包络及相应的概率密度函数。在这种情况下，被考察的混合信号形式为(3.8-1)式中，为窄带高斯过程，其均值为零；正弦波的在(0,2)上均匀分布，且假定振幅A和频率已知。显然，信号r(t)的包络函数为 第55页/共75页利用上一节的结果，如果值已给定，则zc及zs都是相互独立的随机变量，故有 Ezc=Acos Ezs=Asin3.8 3.8 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程第56页/共75页 所以，在给定相位的条件下的zc和zs的联合概率密度函数为 f(zc,zs/)=因

29、为式（2.7-1)可以改写成r(t)=zcos(ct+)的形式，所以其包络随机变量为而其相位随机变量为第57页/共75页所以，以相位所以，以相位为条件的为条件的z z和和的联合概率密度函的联合概率密度函数为数为而以相位而以相位为条件的包络为条件的包络z z的概率密度为的概率密度为3.8 3.8 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程第58页/共75页由于故有（3.8-2)3.8 正弦波加窄带高斯过程第59页/共75页 中中，I I0 0(x)(x)为为零零阶阶修修正正贝贝塞塞尔尔函函数数。当当x0 x0时时，I I0 0(x)(x)是单调上升函数，且有是单调上升函数，且有I I0 0(0)=

30、1(0)=1。因此。因此 f(z/)=f(z/)=由由上上式式可可见见，f(z/)f(z/)与与无无关关，故故正正弦弦波波加加窄窄带带高斯过程的包络概率密度函数为高斯过程的包络概率密度函数为 这这个个概概率率密密度度函函数数称称为为广广义义瑞瑞利利分分布布，也也称称莱莱斯斯（RiceRice）密密度度函函数数。如如果果A A0 0，则则上上式式便便是是式式（3.7-203.7-20），即为瑞利公式，这是预料的结果。），即为瑞利公式，这是预料的结果。(3.8-3)3.8 正弦波加窄带高斯过程第60页/共75页 现在来求f(/)，它可由下式得到：上式经积分和整理后得到(3.8-4)第61页/共75

31、页因为因为f(f(,)=f()=f(/)f()f(),),所以正弦波加窄带高斯所以正弦波加窄带高斯过程得相位概率密度函数过程得相位概率密度函数f(f()为为 这个积分比较复杂，这里就不再演算了。下图绘这个积分比较复杂，这里就不再演算了。下图绘出了在几个特定的出了在几个特定的 下的下的f(z)f(z)曲线及曲线及f(f(/)曲线。曲线。(3.8-5)3.8 正弦波加窄带高斯过程第62页/共75页3.8 正弦波加窄带高斯过程第63页/共75页3.9 随机过程通过线性系统 随随机机过过程程通通过过系系统统（或或网网络络）后后，输输出出过过程程将将是是什什么么样样的的过过程程？这这里里，我我们们只只考

32、考虑虑平平稳稳过过程程通通过过线线性性时时不不变变系系统统的的情情况况。随随机机信信号号通通过过线线性性系系统统的的分分析析，完完全全是是建建立立在在确确知知信信号号通通过过线线性性系系统统的的分分析析原原理理的的基基础础之之上上的的。我我们们知知道道，线线性性系系统统的的响响应应v vo o(t)(t)等等于于输输入入信号信号v vi i(t)(t)与系统的单位冲激响应与系统的单位冲激响应h(t)h(t)的卷积，即的卷积，即(3.9-1)第64页/共75页若若 vo(t)Vo(),vi(t)Vi(),h(t)H()，则有则有 Vo()=H()Vi()(3.9-2)若线性系统是物理可实现的，则

33、若线性系统是物理可实现的，则 vo(t)=或或 如如果果把把v vi i(t)(t)看看作作是是输输入入随随机机过过程程的的一一个个样样本本，则则v vo o(t)(t)可可看看作作是是输输出出随随机机过过程程的的一一个个样样本本。显显然然，输输入入过过程程i i(t)(t)的的每每个个样样本本与与输输出出过过程程o o(t)(t)的的相相应应样样本之间都满足下式本之间都满足下式(3.9-3)3.9 随机过程通过线性系统第65页/共75页 o(t)=(2.8-4)假假定定输输入入i(t)i(t)是是平平稳稳随随机机过过程程，现现在在来来分分析析系系统统的的输输出出过过程程o(t)o(t)的的统

34、统计计特特性性。先先确确定定输输出出过过程程的的数数学学期期望望、自自相相关关函函数数及及功功率率谱谱密密度度，再再讨讨论论输输出出过程的概率分布问题。过程的概率分布问题。1.1.输出过程输出过程o(t)o(t)的数学期望的数学期望3.9 随机过程通过线性系统第66页/共75页(2.8-5)因为因为 由由此此可可见见,输输出出过过程程的的数数学学期期望望等等于于输输入入过过程程的数学期望与的数学期望与H(0)H(0)的乘积，且的乘积，且EEo o(t)(t)与与t t无关。无关。再再利利用用了了平平稳稳性性假假设设EEi i(t-)=E(t-)=Ei i(t)=(t)=i i(常常数数)故上式

35、为故上式为求得求得所以所以(3.9-6)1.1.输出过程输出过程o(t)o(t)的数学期望的数学期望第67页/共75页2.2.输出过程输出过程o(t)o(t)的自相关函数的自相关函数 根据平稳性根据平稳性(2.8-7)根据自相关函数的定义，则有根据自相关函数的定义，则有第68页/共75页 可可见见,o o(t)(t)的的自自相相关关函函数数只只依依赖赖时时间间间间隔隔而而与与时时间间起起点点t t1 1无无关关。由由以以上上输输出出过过程程的的数数学学期期望望和和自自相相关关函函数数证证明明，若若线线性性系系统统的的输输入入过过程程是是平平稳稳的的，那那么么输输出出过过程程也也是是平稳的。平稳

36、的。2.2.输出过程输出过程o(t)o(t)的自相关函数的自相关函数 第69页/共75页3.输出过程输出过程o(t)的功率谱密度的功率谱密度令令则有则有(3.9-8)对式（对式（2.4-92.4-9）进行傅里叶变换）进行傅里叶变换,有有第70页/共75页 例例3.9.13.9.1试试求求功功率率谱谱密密度度为为n n0 0/2/2的的白白噪噪声声通通过过理理想想矩矩形形的的低低通通滤滤波波器器后后的的功功率率谱谱密密度度、自自相相关关函函数数和和噪声平均功率。噪声平均功率。解：理想低通的传输特性为解：理想低通的传输特性为根据式根据式(2.8-8)(2.8-8)输出功率谱密度为输出功率谱密度为3

37、.输出过程输出过程o(t)的功率谱密度的功率谱密度第71页/共75页而自相关函数而自相关函数R(R()为为于是，输出噪声功率于是，输出噪声功率N N即为即为R R0 0(0)(0)，即，即3.输出过程输出过程o(t)的功率谱密度的功率谱密度第72页/共75页 总总可可以以确确定定输输出出过过程程的的分分布布。其其中中一一个个十十分分有有用用的的情情形形是是：如如果果线线性性系系统统的的输输入入过过程程是是高高斯斯型型的的，则则系统的输出过程也是高斯型的系统的输出过程也是高斯型的。因因为为从从积积分分原原理理来来看看，上上式式可可表表示示为为一一个个和和式式的的极极限限，即即4.4.输出过程输出

38、过程o o(t)(t)的概率分布的概率分布 (3.9-9)从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通过式（过式（3.9-43.9-4），即），即第73页/共75页 由由于于i i(t)(t)已已假假设设是是高高斯斯型型的的，所所以以，在在任任一一时时刻刻的的每每项项i i(t-(t-k k)h()h(k k)k k都都是是一一个个高高斯斯随随机机变变量量。因因此此，输输出出过过程程在在任任一一时时刻刻得得到到的的每每一一随随机机变变量量，都都是是无无限限多多个个高高斯斯随随机机变变量量之之和和。由由概概率率论论得得知知，这这个个“和和”的的随随机机变变量量也也是是高高斯斯随随机机变变量量。这这就就证证明明，高高斯斯过过程程经经过过线线性性系系统统后后其其输输出出过过程程仍仍为为高高斯斯过过程程。更更一一般般地地说说，高高斯斯过过程程经经线线性性变变换换后后的的过过程程仍仍为为高高斯斯过过程程。但但要要注注意意，由由于于线线性性系系统统的的介介入入，与与输输入入高高斯斯过过程程相相比比，输输出出过过程程的的数数字字特特征征已经改变了。已经改变了。4.4.输出过程输出过程o o(t)(t)的概率分布的概率分布 第74页/共75页天津工业大学 信息学院 通信原理感谢您的欣赏！第75页/共75页