离散数学模型精选PPT.ppt

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1、离散数学模型第1页，此课件共84页哦离散模型离散模型 离散模型：差分方程（第离散模型：差分方程（第7 7章）、整数章）、整数规划（第规划（第4 4章）、图论、对策论、网络流、章）、图论、对策论、网络流、分析社会经济系统的有力工具分析社会经济系统的有力工具 只用到代数、集合及图论（少许）只用到代数、集合及图论（少许）的知识的知识第2页，此课件共84页哦8.1 层次分析模型层次分析模型背背景景 日常工作、生活中的决策问题日常工作、生活中的决策问题 涉及经济、社会等方面的因素涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当大作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化的作

2、用，各因素的重要性难以量化 第3页，此课件共84页哦层次分析法层次分析法是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。当我们面对决策问题时，容易发现，影响我们作决策的因素很多，其中某些因素存在定量指标，可以给以度量，但也有些因素不存在定量指标，只能定性地比较它们的强弱。Saaty于于1970年代提出层次分析法年代提出层次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process)AHP一种一种定性与定量相结合的、系定性与定量相结合的、系统化、层次化统化、层次化的分析方法的分析方法第4页，此课件共84页哦1）建立层次分析结构模型）建立层次分

3、析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则准则或指标或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。本上相对独立。2）构造成对比较阵）构造成对比较阵用成对比较法和用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。比较阵。3）计算权向量并作一致性检验）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。若通过，则特征

4、向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。组合权向量可作为决策的定量依据。一一.层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤第5页，此课件共84页哦1 建立建立层层次次结结构模型构模型在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因果关系并将这些关系分解成若干个层次。同一层次的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响,同时又支配下一层的因素或受下层因素的作用。较简单的问题通常可分解为目标层（最高层）、准则层（中间层）和方案措施层（最低层）。中间可有1个或几个层次。与其他决策问题一样，研究分析者不一定是决策者，不应自作主张地

5、作出决策。第6页，此课件共84页哦目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途例例.选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、费用、个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择居住条件等因素选择.第7页，此课件共84页哦“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归纳思维过程的归纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O，准则层，准则层C，方案层方案层P；每层有若干元素，；每层有若干元素，各层元素间的关系用各层元素间的关系用相连的直线表示。相连的直线

6、表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。步骤，给出决策问题的定量结果。第8页，此课件共84页哦2 2 构造成对比较阵和权向量构造成对比较阵和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O的重要性的重要性

7、A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1,Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地第9页，此课件共84页哦成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况一致比较一致比较不一致不一致 正互反阵正互反阵A称称一致阵一致阵允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围第10页，此课件共84页哦第11页，此课件共84页哦定理2 若A为一致矩阵，则（1）A必为正互反矩阵。（2）A的转置矩阵AT也是一致矩阵。（3）A的任意两行成比例，比例因子（即wi/wj）大于零，从而rank（A）=1（同样，A的任意两列也成比例）。（4）A的最大特征根max=n，其中

8、n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。（5）若A的最大特征根max对应的特征向量为W=（w1,wn）I，则aij=wi/wj，i,j=1,2,n。定理1 正互反矩阵A的最大特征根max必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。A的其余特征根的模均严格小于max。（证明从略）第12页，此课件共84页哦对于不一致对于不一致(但在允许范围内但在允许范围内)的成对比较阵的成对比较阵A，建议用，建议用对应于最大特征根对应于最大特征根 的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w，即，即根据定理1,2，我们可以由max是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于aij，故max比n

9、大得越多，A的非一致性程度也就越为严重，max对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X=x1,xn在对因素Z的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。第13页，此课件共84页哦2 4 6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2,9及其互反数及其互反数1,1/2,1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强aij=1,1/2,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13

10、,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，权向量，与实际对比发现，19尺度较优。尺度较优。便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：第14页，此课件共84页哦3 一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n,且且 =n时为一致阵时为一致阵定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致

11、越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标 RI随机模拟得随机模拟得到到aij,形成形成A，计算，计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR=CI/RI 当当CR0.1时，通过一致性检验时，通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下第15页，此课件共84页哦“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵

12、最大特征根最大特征根=5.073权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0163)个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数r，使邻接矩阵，使邻接矩阵A 满足满足Ar 0，A称称素阵素阵 素阵素阵A的最大特征根为正单的最大特征根为正单根根，对应正特征向量，对应正特征向量s，且且排名为排名为1，2，4，3用用s排名排名1234(4)1,2,3,4?第40页，此课件共84页哦123456

13、6支球队比赛结果支球队比赛结果排名次序为排名次序为1，3，2，5，4，6第41页，此课件共84页哦第42页，此课件共84页哦第43页，此课件共84页哦v1能源利用量；能源利用量；v2能源价格；能源价格；v3能源生产率；能源生产率；v4环境质量；环境质量；v5工业产值；工业产值；v6就业机会；就业机会；v7人口总数。人口总数。8.3 社会经济系统的冲量过程社会经济系统的冲量过程系统的元素系统的元素图的顶点图的顶点元素间的影响元素间的影响带方向的弧带方向的弧影响的正反面影响的正反面弧旁的弧旁的+、号号带符号的有向图带符号的有向图影响影响直接影响直接影响符号符号客观规律；方针政策客观规律；方针政策例

14、例 能源利用系统的预测能源利用系统的预测+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5第44页，此课件共84页哦带符号有向图带符号有向图G1=(V,E)的邻接矩阵的邻接矩阵AV顶点集顶点集 E弧集弧集定性模型定性模型-vivj+某时段某时段vi 增加导致增加导致下时段下时段vj 增加增加减少减少带符号的有向图带符号的有向图G1+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5第45页，此课件共84页哦加权有向图加权有向图G2及其邻接矩阵及其邻接矩阵W定量模型定量模型某时段某时段vi 增加增加1单位导致单位导致下时段下时段vj 增加增加wij单位单位v70.311.511.51.20.8-2-2-0.7-0

15、.5v1v2v3v4v5v6加权有向图加权有向图G2第46页，此课件共84页哦冲量过程冲量过程（Pulse Process)研究由某元素研究由某元素vi变化引起的系统的演变过程变化引起的系统的演变过程 vi(t)vi在时段在时段t 的的值值；pi(t)vi在时段在时段t 的的改变量改变量(冲量冲量)冲量过程模型冲量过程模型或或第47页，此课件共84页哦231-10010-12-21-110-11-11-10103-32-211-1能源利用系统的预测能源利用系统的预测简单冲量过程简单冲量过程初始冲量初始冲量p(0)中中某个分量为某个分量为1，其余为，其余为0的冲量过程的冲量过程若开始时能源利用量

16、有突然增加，预测系统的演变若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变设设能源利用系统的能源利用系统的 p(t)和和v(t)-110-11-100011-100000100000010000000第48页，此课件共84页哦简单冲量过程简单冲量过程S的稳定性的稳定性 任意时段任意时段S的各元素的值和冲量是否为有限的各元素的值和冲量是否为有限(稳定稳定)S不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定 S冲量稳定冲量稳定对任意对任意 i,t,|pi(t)|有界有界 S值稳定值稳定对任意对任意 i,t,|vi(t)|有界有界值稳定值稳定冲量稳定冲量稳定S的稳定性

17、取决于的稳定性取决于W的特征根的特征根记记W的非零特征根为的非零特征根为 第49页，此课件共84页哦 S冲量稳定冲量稳定|1 S冲量稳定冲量稳定|1且均为单根且均为单根 S值稳定值稳定 S冲量稳定冲量稳定且且 不等于不等于1对于能源利用系统的邻接矩阵对于能源利用系统的邻接矩阵A特征多项式特征多项式能源利用系统存在能源利用系统存在冲量不冲量不稳定稳定的简单冲量过程的简单冲量过程简单冲量过程简单冲量过程S的稳定性的稳定性 第50页，此课件共84页哦简单冲量过程的稳定性简单冲量过程的稳定性 改进的玫瑰形图改进的玫瑰形图S*带符号的有带符号的有向图双向连通，且存在一个位向图双向连通，且存在一个位于所有

18、回路上的中心顶点。于所有回路上的中心顶点。回路长度回路长度 构成回路的边数构成回路的边数回路符号回路符号 构成回路的各有向边符号构成回路的各有向边符号+1或或-1之乘积之乘积ak长度为长度为k的回路符号和的回路符号和r使使ak不等于不等于0的最大整数的最大整数 S*冲量稳定冲量稳定 若若S*冲量稳定，则冲量稳定，则S*值稳定值稳定 +-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5第51页，此课件共84页哦简单冲量过程简单冲量过程S*的稳定性的稳定性 a1=0,a2=(-1)v1v2 (-1)v2v1=1a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1+(+1)v1v3v2v1=1,a4=0,

19、a5=1,r=5 S*冲量稳定冲量稳定 (-1)v1v2(+1)v1v2(由鼓励利用变为限制利用由鼓励利用变为限制利用)a2=-1+S*冲量不稳定冲量不稳定A的的特征多项式特征多项式S*冲量稳定冲量稳定 S*冲量稳定冲量稳定|1且均为单根且均为单根v1利用量利用量,v2价格价格v7+-+-+-+v2v1v3v4v6v5第52页，此课件共84页哦 若S*冲量稳定，则冲量稳定，则S*值稳定值稳定 S*冲量稳定冲量稳定 v3能源生产率能源生产率 v5工业产值工业产值(-1)v3v5 违反客观规律违反客观规律S*值不稳定值不稳定S*值值稳定稳定(+1)v3v5(-1)v3v5能源利用系统的值不应稳定？

20、能源利用系统的值不应稳定？-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5+第53页，此课件共84页哦8.4 效益的合理分配效益的合理分配例例甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，元，甲丙合作获利甲丙合作获利5元，乙丙合作获利元，乙丙合作获利4元，元，三人合作获利三人合作获利11元。又知每人单干获利元。又知每人单干获利1元。元。问三人合作时如何分配获利？问三人合作时如何分配获利？记甲乙丙三人分配为记甲乙丙三人分配为解不唯一解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)第54页，此课件共84页哦(1)Shapley合作对策合作对策 I,v n人合作对策，人合作对策

21、，v特征函数特征函数n人从人从v(I)得到的分配，满足得到的分配，满足v(s)子集子集s的获利的获利第55页，此课件共84页哦特征函数实质上描述了各种合作产生的效益，也意味着全部合作对象参加合作是最好的。核心(Core):对任意的子集 ,记 ,都有用向量 表示合作后效益的分配，其中 是分配给第个合作人的部分。第56页，此课件共84页哦Shapley提出了以下公理：提出了以下公理：设设V是是I上的特征函数，上的特征函数，是合作对策，则有是合作对策，则有公理公理1合作获利对每人的分配与此人的标号无关。合作获利对每人的分配与此人的标号无关。公理公理2 ，即每人分配数的总和等于总获利数。，即每人分配数

22、的总和等于总获利数。公理公理3若对所有包含的若对所有包含的i i的子集的子集S S有：有：V(S-i)=V(S)，=0。即若第即若第i人在他参加的任一合作中均不人在他参加的任一合作中均不作出任何贡献，则他不应从合作中获利作出任何贡献，则他不应从合作中获利 公理公理4若此若此n n个人同时进行两项互不影响的合作，则两个人同时进行两项互不影响的合作，则两项合作的分配也应互不影响，每人的分配额即项合作的分配也应互不影响，每人的分配额即两项合作单独进行时应分配数的和两项合作单独进行时应分配数的和。第57页，此课件共84页哦公理化方法公理化方法 s 子集子集 s中的元素数目，中的元素数目，Si 包含包含

23、i的所有子集的所有子集由由 s 决定的决定的“贡献贡献”的权重的权重 Shapley值值 i 对合作对合作s 的的“贡献贡献”Shapley合作对策合作对策第58页，此课件共84页哦三人三人(I=1,2,3)经商中甲的分配经商中甲的分配x1的计算的计算 1/3 1/6 1/6 1/31 1 2 1 3 I1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3x1=13/3类似可得类似可得 x2=23/6,x3=17/61 2 2 3第59页，此课件共84页哦合作对策的应用合作对策的应用 例例1 污水处理费用的合理分担污水处理费用的合理分担20km38km河流河流三城镇地理

24、位置示意图三城镇地理位置示意图123 污水处理，排入河流污水处理，排入河流三城镇可单独建处理厂，或联三城镇可单独建处理厂，或联合建厂合建厂(用管道将污水由上游城用管道将污水由上游城镇送往下游城镇镇送往下游城镇)Q1=5Q3=5Q2=3Q污水量，污水量，L管道长度管道长度建厂费用建厂费用P1=73Q0.712管道费用管道费用P2=0.66Q0.51L第60页，此课件共84页哦污水处理的污水处理的5 种方案种方案1）单独建厂）单独建厂总投资总投资2）1,2合作合作3）2,3合作合作4）1,3合作合作总总投资投资总投资总投资合作不会实现合作不会实现第61页，此课件共84页哦5）三城合）三城合作总投资

25、作总投资D5最小最小,应联合建厂应联合建厂 建厂费：建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=453 12管道费：管道费：d2=0.66 50.51 20=30 23管道费：管道费：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73D5城城3建议：建议：d1 按按 5:3:5分担分担,d2,d3由城由城1,2担负担负城城2建议：建议：d3由城由城1,2按按 5:3分担分担,d2由城由城1担负担负城城1计算：计算：城城3分担分担d1 5/13=174C(3),城城2分担分担d1 3/13+d3 3/8=132C(1)不不同同意意D5如何分担？如何分担？第62页，此课件共84页哦特征函数特征函数v(

26、s)联合联合(集集s)建厂比单独建厂节约的投资建厂比单独建厂节约的投资三三城从城从节约投资节约投资v(I)中得到的分配中得到的分配 Shapley合作对策合作对策第63页，此课件共84页哦计算计算城城1从从节约投资中得到的分配节约投资中得到的分配x11 1 2 1 3 I 0 40 0 640 0 0 250 40 0 39 1 2 2 31/3 1/6 1/6 1/3 0 6.7 0 13 x1=19.7,城城1 C(1)-x1=210.4,城城2 C(2)-x2=127.8,城城3 C(3)-x3=217.8三城在总投资三城在总投资556中的分担中的分担x2=32.1,x3=12.2x2最

27、大，如何解释？最大，如何解释？第64页，此课件共84页哦合作对策的应用合作对策的应用 例例2 派别在团体中的权重派别在团体中的权重 90人的团体由人的团体由3个派别组成，人数分别为个派别组成，人数分别为40,30,20人。团体表决人。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。时需过半数的赞成票方可通过。虽然虽然3派人数相差很大派人数相差很大若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley合作对策合作对策计算计算各派别在团体中的权重。各派别在团体中的权重。团体团体 I=1,2,3，依次代表，依次代表3个派别个派别=否则否则，的成员超过的成员超过定义定义特征

28、函数特征函数045,1)(ssv第65页，此课件共84页哦优点：优点：公正、合理，有公理化基础。公正、合理，有公理化基础。如如n个单位治理污染个单位治理污染,通常知道第通常知道第i方单独治理的投资方单独治理的投资yi 和和n方共同治理的方共同治理的投资投资Y,及第及第i方不参加时其余方不参加时其余n-1方的投资方的投资zi(i=1,2,n).确定共同治理确定共同治理时各方分担的费用。时各方分担的费用。其它其它v(s)均不知道均不知道,无法用无法用Shapley合作对策合作对策求解求解Shapley合作对策小结合作对策小结若定义特征函数为合作的获利若定义特征函数为合作的获利(节约的投资节约的投资

29、)，则有，则有缺点：缺点：需要知道所有合作的获利，即要定义需要知道所有合作的获利，即要定义I=1,2,n的所有子集的所有子集(共共2n-1个个)的特征函数，实际上常做不到。的特征函数，实际上常做不到。第66页，此课件共84页哦设只知道设只知道无无 i 参加时参加时n-1方合作的获利方合作的获利全体合作的获利全体合作的获利求解合作对策的其他方法求解合作对策的其他方法例例.甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，元，甲丙合作获利甲丙合作获利5元，乙丙合作获利元，乙丙合作获利4元，三人元，三人合作获利合作获利11元。问三人合作时如何分配获利？元。问三人合作时如何分配

30、获利？第67页，此课件共84页哦（2）协商解）协商解11将剩余获利将剩余获利 平均分配平均分配 模模型型以以n-1方合作的获利为下限方合作的获利为下限求解求解 xi 的下限的下限第68页，此课件共84页哦（3）Nash解解 为现状点（谈判时的威慑点）为现状点（谈判时的威慑点）在此基础上在此基础上“均匀地均匀地”分配全体合作的获利分配全体合作的获利B模模型型平均分配获利平均分配获利B3）Nash解解 2）协商解）协商解第69页，此课件共84页哦（4）最小距离解）最小距离解模模型型 第第i 方的边际效益方的边际效益若令若令4）最小距离解）最小距离解 2）协商解）协商解第70页，此课件共84页哦（5

31、）满意解）满意解di现状点现状点(最低点最低点)ei理想点理想点(最高点最高点)模模型型5）基于满意度的解）基于满意度的解 2）协商解）协商解第71页，此课件共84页哦（6）Raiffi 解解与协商解与协商解x=(5,4,2)比较比较第72页，此课件共84页哦求解合作对策的求解合作对策的6种方法（可分为三类）种方法（可分为三类）Shapley合作对策合作对策A类类B类类协商解协商解Nash解解 最小距离解最小距离解满意解满意解di现状现状,ei理想理想B类类4种方法相同种方法相同第73页，此课件共84页哦例：有一资方例：有一资方(甲甲)和二劳方和二劳方(乙乙,丙丙),仅当资方与至少一劳仅当资方

32、与至少一劳方合作时才获利方合作时才获利10元，应如何分配该获利？元，应如何分配该获利？Raiffi解解C类类第74页，此课件共84页哦B类：计算简单，便于理解，可用于各方实力相类：计算简单，便于理解，可用于各方实力相差不大的情况；一般来说它偏袒强者。差不大的情况；一般来说它偏袒强者。C类：类：考虑了分配的上下限，又吸取了考虑了分配的上下限，又吸取了Shapley的的思想，在一定程度上保护弱者。思想，在一定程度上保护弱者。A类：公正合理；需要信息多，计算复杂。类：公正合理；需要信息多，计算复杂。求解合作对策的三类方法小结求解合作对策的三类方法小结第75页，此课件共84页哦 8.5 公平选举是可能

33、的吗公平选举是可能的吗?什么是选举什么是选举 所谓选举，其实质就是在评选人对候选人先后（优劣）所谓选举，其实质就是在评选人对候选人先后（优劣）次序排队的基础上，根据某一事先规定的选举规则决定出候次序排队的基础上，根据某一事先规定的选举规则决定出候选人的一个先后次序，即得出选举结果。现用选人的一个先后次序，即得出选举结果。现用I=1,2,n表表示评选人集合，用有限集示评选人集合，用有限集A=x,y,A=x,y,表示候选人集合，用表示候选人集合，用,=,=,y)i表示评选人表示评选人i认为认为x x优于优于y y，用，用(xy)表示选举结果为表示选举结果为x x优于优于y y并用并用pi表示评选人

34、表示评选人i i的的排序，排序，p表示选举结果。表示选举结果。A的排序应满足的排序应满足以下以下性质：性质：(1)(1)择一性择一性 关系式关系式(xy)(xy)、(x=y)(x=y)、(xy)(xy)i的评选人超过半数时选举结果才为的评选人超过半数时选举结果才为(xy)。有时要超过有时要超过2/3多数等多数等 例例1 1 设设I=1,2,3,A=x,y,u,v，三位评选人的选票为三位评选人的选票为 p1:xyu=vp2:yxuvp3:x=uvy 根据选举规划，结果应为根据选举规划，结果应为 P:xyuv 例例2 2 设设I=1,2,3,A=x,y,z p1:xyzp2:yzxp3:zxy 根

35、据规则，自然应有根据规则，自然应有 (xy),(yz)和和(zx)违反传递性（违反传递性（2 2）简单多数规则的主要优点是简简单多数规则的主要优点是简单易行，使用方便。但可惜的单易行，使用方便。但可惜的是这一规则有时会违反传递性是这一规则有时会违反传递性 第77页，此课件共84页哦 Borda数规则数规则 记记Bi(x)为为p1中劣于中劣于x x的候选人数目，记的候选人数目，记 ，称，称B(x)为为x x的的Borda数，数，Borda数规则规定数规则规定按按Borda数大小排列候选人的优劣次数大小排列候选人的优劣次序，即当序，即当B(x)B(y)时有时有(xy)，两关系式中的等号必须同时成立

36、。，两关系式中的等号必须同时成立。对于例对于例子子，计算出计算出B(x)=B(y)=B(z)=3 故选举结果为故选举结果为 x=y=z用用Borda数规则得出数规则得出的结果更合乎常理的结果更合乎常理 例例3 3 I=1,2,3,4,A=x,y,z,u,v，选票情况为选票情况为 p1p2p3:xyzuv P4 :yzuvx 计算得计算得 B(x)=12，B(y)=13 故选举结果为故选举结果为 yx 但有三人认为但有三人认为x x优于优于y y 用用Borda数规则得出数规则得出的结果未必合理的结果未必合理 第78页，此课件共84页哦能找到一种在任何情况下都能找到一种在任何情况下都“公平公平”

37、的选举规则吗的选举规则吗 什么是什么是“公平公平”的选举规则的选举规则 “公平公平”的选举规则应当满足的选举规则应当满足以下以下公理公理公理公理1投票人对候选人排出的所有可能排列都是可以实现的。投票人对候选人排出的所有可能排列都是可以实现的。公理公理2 如果对所有的如果对所有的i，有有(xy)i，则必须有则必须有(xy)。公理公理3如果在两次选举中，对任意如果在两次选举中，对任意I,由，由，。公理公理4如果两次选举中，每个投票人对如果两次选举中，每个投票人对x、y的排序都未改变，则对的排序都未改变，则对x、y的的排序两次结果也应相同。排序两次结果也应相同。第79页，此课件共84页哦公理公理5不

38、存在这样的投票人不存在这样的投票人i，使得对任意一对候选人使得对任意一对候选人x、y，只要只要有有(xy)i,，就必有，就必有(xy)。有满足上述公理的选举规则吗有满足上述公理的选举规则吗Arrow不可能性定理使上述想法终结不可能性定理使上述想法终结定理定理 如果至少有三名候选人，则满足公理如果至少有三名候选人，则满足公理1 1公理公理5 5的选举规划的选举规划 事实上是不可能存在的。事实上是不可能存在的。证：证：将证明由公理将证明由公理1 1公理公理4 4必可导出存在一个独裁者，从而违反了公理必可导出存在一个独裁者，从而违反了公理5 5 首先引入决定性集合的概念。首先引入决定性集合的概念。称

39、称I I的子集的子集Vxy为候选人为候选人x x、y y的决定性集合，如果由所有的决定性集合，如果由所有Vxy中的中的I I 有有(xy)(xy)i i必可导出必可导出(xy)(xy)。显然决定性集合是必定存在，由公理显然决定性集合是必定存在，由公理2 2或实际一次选举得到。或实际一次选举得到。找出所有决定性集合中含元素最少的一个，不妨仍记为找出所有决定性集合中含元素最少的一个，不妨仍记为Vxy。第80页，此课件共84页哦 证明证明 Vxy只能含有一个元素只能含有一个元素某评选人某评选人i。反证反证 假定假定Vxy至少含有两个元素，至少含有两个元素，则则V Vxyxy必可分解为两个非空集合的和

40、必可分解为两个非空集合的和 即即 与与 非空且不相交非空且不相交 ，且均不可能是任一对候选人的决定性集合，且均不可能是任一对候选人的决定性集合 假设假设 根据公理根据公理1 1，以下选举是允许的：，以下选举是允许的：当当 时，时，（xyz）i 当当 时，时，（zxy）i 当当 时，时，（yzx）i 其中其中z z是任一另外的候选人是任一另外的候选人 考察选举结果考察选举结果(xz)(xz)是不可能，否则是不可能，否则 是是x x、z z的决定性集合，故必的决定性集合，故必有有(z(zx)x)。又。又Vxy是是x x、y y的决定性能合，故必有的决定性能合，故必有(xy)(xy)。由传递性由传递

41、性(z(zx)x)。得。得 是是y y、z z的决定性集合，从而导出矛盾。的决定性集合，从而导出矛盾。以上证明说明以上证明说明Vxy不能分解不能分解，即，即Vxy=i，i为某一投票人。为某一投票人。第81页，此课件共84页哦进一步说明进一步说明：对于任意另外的候选人：对于任意另外的候选人z，V=i也是也是x、z的决定性集合的决定性集合。考虑另一次选举考虑另一次选举：(xyz)i，而（，而（yzx）jI 显然，由于全体一致意见，（显然，由于全体一致意见，（yzyz）必成立。又）必成立。又ii是是x x、y y的决定性集合，故应有（的决定性集合，故应有（x xy y）。于是，由传递性，必有）。于是

42、，由传递性，必有（x xz z）。再由公理）。再由公理4 4，y y的插入不应影响的插入不应影响x x、z z的排序，故的排序，故ii也是也是x x、z z的决定性集合。类似还可证明，如果的决定性集合。类似还可证明，如果是异议是异议于于x x、z z的任一候选人，的任一候选人，ii也是也是w w、z z的决定性集合，这就是的决定性集合，这就是说，说，评选人评选人i i是选举的独裁者是选举的独裁者。Arrow的公理系统隐含矛盾的公理系统隐含矛盾 第82页，此课件共84页哦 例例4 4 设设I=1,2,A=x,y,z，考察如下的四次选举：考察如下的四次选举：（第一次）（第一次）x xy yz z

43、（第三次）（第三次）y yz zx x x xy yz zz zy yx x 结果应有结果应有 x xy y 合理结果合理结果 y=z y=z （第二次）（第二次）x xz zy y （第四次）（第四次）x xy yz z z zx xy zy zx xy y 合理结果合理结果 x=z x=z 结果？结果？由公理由公理1 1，第四次的选举应当是，第四次的选举应当是有效有效的的 由公理由公理2 2，必须有，必须有（x xy y）(4)(4)再与第二次选举比较并根据公理再与第二次选举比较并根据公理3 3，则应有，则应有（x=zx=z）(4)(4)与第三次比较并根据公理与第三次比较并根据公理3 3，

44、应有，应有（y=zy=z）(4)(4)x xy y，x=zx=z与与y=z y=z 居然同时成立居然同时成立！第83页，此课件共84页哦改进方案改进方案 一一个个可可以以考考虑虑的的改改进进方方案案为为要要求求评评选选人人给给出出他他对对每每一一候候选选人人优优劣劣程程度度的的评评价价，然然后后按按定定量量方方式式决决定定候候选选人人的的顺顺序序，但但矛矛盾盾仍仍然然不不能能避避免免，总总可可以以构构造造出出类类似似于于Borda数数规规则则中中例那样的例子来。例那样的例子来。解解决决这这一一问问题题的的另另一一途途径径是是事事先先适适当当限限制制评评选选人人的的排排序序方方式式，使使得得可可能能出出现现的的情情况况数数减减少少，以以便便保保证证一一个个合合理理的的选选举规则的存在。举规则的存在。第84页，此课件共84页哦