材料力学13能量法.ppt

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1、前面讨论了求简单结构的位移：前面讨论了求简单结构的位移：三角架三角架以切代弧以切代弧梁梁积分法（繁琐）、叠加法（不方便）积分法（繁琐）、叠加法（不方便）在外力作用下，利用在外力作用下，利用功能原理功能原理求结构指定点位移求结构指定点位移的方法叫的方法叫能量法。能量法。局限性局限性1 1、能量法：、能量法：第十三章第十三章 能量法能量法能量法的特点能量法的特点1 1解题简单、适用性广；解题简单、适用性广；2 2不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性 问题；（只讨论线弹性问题）问题；（只讨论线弹性问题）3 3可求解静定与超静定问题；可求解静定与

2、超静定问题；工程结构形状复杂，受力复杂。工程结构形状复杂，受力复杂。利用能量法可以利用能量法可以求结构任一指定点的任意方向的位移，且求求结构任一指定点的任意方向的位移，且求解过程简单。解过程简单。求位移的普遍方法求位移的普遍方法功能原理功能原理 物体受力产生弹性变形时，外力作用点将沿力的方向产生位移，物体受力产生弹性变形时，外力作用点将沿力的方向产生位移，因而外力要作功，若不计动能的变化和其它的能量损失。因而外力要作功，若不计动能的变化和其它的能量损失。外力功外力功W物体所储存的应变能物体所储存的应变能V。2 2、应变能和、应变能和功能原理功能原理应变能：应变能：在外力作用下，物体因产生弹性变

3、形而储存的能在外力作用下，物体因产生弹性变形而储存的能量称为弹性应变能，也称量称为弹性应变能，也称变形能变形能。3 3、线弹性体（线弹性结构）、线弹性体（线弹性结构）（1）材料服从胡克定律。（2）变形微小，各力的作用互不影响。（4）线弹性结构受到充分约束，在任何外力作用下没有 刚体位移。即：位移是由变形引起。讨论对象：线弹性体。讨论对象：线弹性体。应用应用叠加原理叠加原理的条件的条件（3）任一点的位移与载荷呈线性齐次关系。1 1、拉压、拉压Pl l静载静载P加载过程中始终有加载过程中始终有外力功外力功P lP l应变能应变能xq(x)dxdxFN(x)FN(x)dFN(x)q(x)dx略去高阶

4、微量，认为略去高阶微量，认为dx只承受只承受FN(x)P=FN应变能密度（变形比能）应变能密度（变形比能）P13-2 杆件变形能计算杆件变形能计算2 2、扭转、扭转加载过程中始终有加载过程中始终有外力功外力功me 应变能应变能T=mel 当扭矩随截面位置变化时当扭矩随截面位置变化时me 静载静载me l3 3、弯曲、弯曲加载过程中始终有加载过程中始终有外力功外力功m m 应变能应变能M=mm 静载静载纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲M=M(x)理论证明：理论证明：剪力对变形的影响很小，剪切剪力对变形的影响很小，剪切应变能远远小于弯曲应变能。应变能远远小于弯曲应变能。P1P2应变能的特点：应变能的特

5、点：应变能的特点：应变能的特点：（2）应变能的数值恒为正值；）应变能的数值恒为正值；（3）应变能为载荷的二次函数，同种类型荷载的变形能）应变能为载荷的二次函数，同种类型荷载的变形能不不能叠加。能叠加。（1）基本变形的应变能通式：）基本变形的应变能通式：F-F-广义力广义力泛指力或力偶矩；泛指力或力偶矩；d-d-广义位移广义位移为线位移或角位移；为线位移或角位移；证明证明1）共同作用下：F1LF2L2）单独作用下：3）单独作用下：证毕证毕。F1LF2（4 4）弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值，与加载弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值，与加载的次序无关；的次序无关；先施加先施加P

6、1再施加再施加P2P1保持不变，作功为保持不变，作功为P1P2l1l2CABP2作功为作功为总功为：总功为：AB又伸长又伸长先施加先施加P2再施加再施加P1AB又伸长又伸长P2保持不变，作功为保持不变，作功为P1作功为作功为总功仍为上述表达式。总功仍为上述表达式。总功仍为上述表达式。总功仍为上述表达式。（5）应变能是可逆的。）应变能是可逆的。(跳板跳水跳板跳水)分析：分析：求简支梁求简支梁外力外力P作用点作用点C的挠度。的挠度。例例labPCAB1)1)求反力求反力2)2)弯矩方程弯矩方程AC段：段：CB段：段：(0 x1 a)解：解：直接利用功能原理求位移的实例直接利用功能原理求位移的实例3

7、)3)由功能原理由功能原理(0 x2 b)结果大于零，说明位移的方向与力的方向一致。结果大于零，说明位移的方向与力的方向一致。只适用于结构上有一个载荷，要求载荷作用点沿载荷方向的位移。只适用于结构上有一个载荷，要求载荷作用点沿载荷方向的位移。x1x2RARB利用能量法求解时，所列弯矩方程应便于求解。13-3 应变能应变能的普遍表达式的普遍表达式基础知识基础知识 线弹性结构线弹性结构线弹性结构线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。广义 线弹性结构上任

8、意一点的广义位移与各广义力成线性齐线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性齐次关系。次关系。比例加载比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方向的位移与该点的广义力成正比。即即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。积的二分之一的总和。采用比例加载采用比例加载F1、F2、F3外力外力0比例比例0 1、2、3位移位移比例比例 应变能只取决于受力变形的最终状态，因此可采用便于计算的方式计算应变能。克拉贝依隆原理对于组合变形对于组合变形Fs(x)Fs(x)k是用来修正横力弯曲时切应力不沿截面均匀分布的修正系数，是用来修正横

9、力弯曲时切应力不沿截面均匀分布的修正系数，它的数值和截面形状有关。矩形它的数值和截面形状有关。矩形k=6/5=6/5；圆形；圆形k=10/9=10/9。对于双向弯曲，弯矩沿形心主轴分解对于双向弯曲，弯矩沿形心主轴分解,换成换成 若杆件及杆系的变形是以弯曲变形为主的，因轴力和剪力远小若杆件及杆系的变形是以弯曲变形为主的，因轴力和剪力远小于弯矩对变形的影响，故在计算这类杆件的变形时，通常不计轴力于弯矩对变形的影响，故在计算这类杆件的变形时，通常不计轴力和剪力的影响。和剪力的影响。例例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由端自由端B的挠度。的挠度。解

10、：解：变形能的应用变形能的应用 1.1.计算变形能计算变形能 2.2.利用功能原理计算变形利用功能原理计算变形 F例题：悬臂梁在自由端承受集中力例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶及集中力偶矩矩Me作作用。设用。设EI为常数，试求梁的应变能。为常数，试求梁的应变能。LFMeAB解：解：弯矩方程弯矩方程 变形能变形能LFMeAB 当当F和和Me分分别作用时别作用时 用普遍定理用普遍定理13-4 互等定理互等定理位移发生点位移发生点荷载作用点荷载作用点F1F2F1F2F2F1功的互等定理功的互等定理:位移互等定理位移互等定理:即：即：F F1 1 力在由力在由F F2 2力引起的位移上所作的

11、功，等于力引起的位移上所作的功，等于F F2 2力在由力在由F F1 1力引起的位移上所作的功。力引起的位移上所作的功。即：即：F F2 2引起的引起的F F1 1 作用点沿作用点沿 F F1 1方向的位移，等于同方向的位移，等于同样大小的力样大小的力F F1 1 引起的引起的F F2 2作用点沿作用点沿 F F2 2方向的位移。方向的位移。(1)(1)互等定理只适用于线弹性结构；互等定理只适用于线弹性结构；说明：说明：(2)(2)互等定理中的力与位移应理解为广义力和相互等定理中的力与位移应理解为广义力和相应的广义位移。则位移互等定理中的相同大小的应的广义位移。则位移互等定理中的相同大小的力为

12、力为数值数值相同，位移相同也仅代表相同，位移相同也仅代表数值相同数值相同，量，量纲对应。纲对应。（3 3）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变形引起的位移只是由变形引起的位移.例：求图示简支梁例：求图示简支梁C截面的挠度。截面的挠度。F 例：求图示悬臂梁中点例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移处的铅垂位移 。F(a)FkAB1 2 3AB(b)例（a）中Fk=10KN时，1、2、3点的挠度分别为 若（b）中1、2、3点作用荷载F1=50KN，F2=40KN，F3=20KN，求k点的挠度？解：解：由功的互等定理由功的互等定理即即13-5 卡氏定理

13、卡氏定理若只给若只给 以增量以增量 ，其余不变，在，其余不变，在 作用下，原各力作用点将作用下，原各力作用点将产生位移产生位移变形能的增加量：变形能的增加量：略去二阶小量，则：略去二阶小量，则：如果把原有诸力看成第一组力，把如果把原有诸力看成第一组力，把 看作第二组力，根据互等看作第二组力，根据互等定理：定理：所以：所以：变形能对任一载荷变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于的偏导数，等于Fi作用点沿作用点沿Fi方向的位移方向的位移卡氏第二定理卡氏第二定理举例举例利用功能原理ABFLwA=？L/2L/2CABFwC=？（1 1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体）卡氏第二定理只适用于线性弹性体）卡氏

14、第二定理只适用于线性弹性体）卡氏第二定理只适用于线性弹性体说明：说明：说明：说明：（2 2）F Fi i 为广义力为广义力为广义力为广义力，i i为相应的位移为相应的位移为相应的位移为相应的位移一个力一个力一个力一个力一个力偶一个力偶一个力偶一个力偶一对力一对力一对力一对力一对力偶一对力偶一对力偶一对力偶一个一个一个一个线位移线位移线位移线位移一个一个一个一个角位移角位移角位移角位移相对线位移相对线位移相对线位移相对线位移相对角位移相对角位移相对角位移相对角位移（3 3）卡氏第二定理的应用）卡氏第二定理的应用）卡氏第二定理的应用）卡氏第二定理的应用 （a a）轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩轴向拉

15、伸与压缩轴向拉伸与压缩 （b b）扭转扭转扭转扭转 （c c）弯曲弯曲弯曲弯曲（4 4）平面桁架平面桁架平面桁架平面桁架（5 5）组合变形组合变形组合变形组合变形例例 外伸梁受力如图所示外伸梁受力如图所示,已知弹性模量已知弹性模量EI.梁材料为线弹性体梁材料为线弹性体.求梁求梁C C截面的挠度和截面的挠度和A A截面的转角截面的转角.FABCMelaF FR RA AF FRBRBABAB:BCBC:ABClaF FR RA AFx1x2解解解解:MeF FRBRBABClaF FR RA AFx1x2Me（）例题例题 刚架结构如图所示刚架结构如图所示.弹性模量弹性模量EI已知。材料为线弹性已

16、知。材料为线弹性.不考不考虑轴力和剪力的影响，计算虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和截面的转角和D截面的水平位移截面的水平位移.ABCDaa2aMe解解:在在C截面虚设一力偶截面虚设一力偶 Ma,在在D截面虚设一水平力截面虚设一水平力F.FRDFRAxFRAyMMa aF FCDCD:CBCB:ABAB:x2x3ABCDaa2aMex1FRDFRAxFRAyMMa aF F2axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）MMa aF F 例：求图示悬臂梁中点例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移处的铅垂位移 。结果为负，说明位移与所虚加的力方向相反。结果为负，说明位移与所虚加的力方向相反。1

17、3-7 单位荷载法单位荷载法 莫尔积分莫尔积分 一、莫尔定理的推导一、莫尔定理的推导一、莫尔定理的推导一、莫尔定理的推导 求任意点求任意点求任意点求任意点A A的位移的位移的位移的位移w wA A F1F2A计算弹性变形比较简便的方法计算弹性变形比较简便的方法 A图图图图b b 变形能为变形能为变形能为变形能为a aA图图图图F1F2=1F0AF1F2图图图图c cwAF F0 0=1=1 （1 1）先在）先在）先在）先在A A点作用单点作用单点作用单点作用单位力位力位力位力F F0 0,再作用再作用再作用再作用F F1 1、F F2 2力力力力（2 2）三个力同时作用时）三个力同时作用时）三

18、个力同时作用时）三个力同时作用时 任意截面的弯矩任意截面的弯矩任意截面的弯矩任意截面的弯矩:变形能变形能变形能变形能:莫尔积分（单位载荷法莫尔积分（单位载荷法莫尔积分（单位载荷法莫尔积分（单位载荷法/单位力法）单位力法）单位力法）单位力法）桁架：桁架：桁架：桁架：二、普遍形式的莫尔积分二、普遍形式的莫尔积分二、普遍形式的莫尔积分二、普遍形式的莫尔积分 注意注意注意注意:上式中上式中上式中上式中 应看成广义位移应看成广义位移应看成广义位移应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相把单位力看成与广义位移相把单位力看成与广义位移相把单位力看成与广义位移相对应的广义力对应的广义力对应的广义力对应的广义力

19、.将计算挠度、转角的公式写成统一的形式将计算挠度、转角的公式写成统一的形式将计算挠度、转角的公式写成统一的形式将计算挠度、转角的公式写成统一的形式若需要我们求结构上两点的相对位移，若需要我们求结构上两点的相对位移，怎么办？怎么办？在两点的相应的位移处，施加一对方向相反的单位力，再用莫尔积分计算，即可求得相应位移。若求两个截面的相对转角，就在两个截面上作用转向相反的一对单位力偶。三、使用莫尔定理的注意事项三、使用莫尔定理的注意事项三、使用莫尔定理的注意事项三、使用莫尔定理的注意事项 （5 5）莫尔积分必须遍及整个结构）莫尔积分必须遍及整个结构）莫尔积分必须遍及整个结构）莫尔积分必须遍及整个结构.

20、（1 1）MM（x x）：结构在原载荷下的内力）：结构在原载荷下的内力）：结构在原载荷下的内力）：结构在原载荷下的内力;（3 3）所加广义单位力与所求广义位移之积）所加广义单位力与所求广义位移之积）所加广义单位力与所求广义位移之积）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲必须为功的量纲必须为功的量纲必须为功的量纲;（2 2）去掉主动力去掉主动力去掉主动力去掉主动力,在所求在所求在所求在所求 广义位移点广义位移点广义位移点广义位移点,沿所求沿所求沿所求沿所求广义广义广义广义位移的方向加广义单位力时位移的方向加广义单位力时位移的方向加广义单位力时位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力结构

21、产生的内力结构产生的内力结构产生的内力;M(xM(x)（4 4）与与与与MM（x x）的坐标系必须一致）的坐标系必须一致）的坐标系必须一致）的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可每段杆的坐标系可每段杆的坐标系可每段杆的坐标系可自由建立自由建立自由建立自由建立;MM（x x）（6 6）若积分为正，则）若积分为正，则）若积分为正，则）若积分为正，则1 1 为正，为正，为正，为正，说明说明说明说明 方向与相应单位力相同。方向与相应单位力相同。方向与相应单位力相同。方向与相应单位力相同。求求A点竖直位移。点竖直位移。求求A点水平位移。点水平位移。AAA求求A点转角。点转角。“相应相应”的含的含义义结构受力

22、如图结构受力如图APq111AB求求A、B两点相对位移。两点相对位移。1111 1+2=AB1 1+1 2=1 AB 1 2AB求求A、B两点相对转角。两点相对转角。结构受力如图结构受力如图qABP1P2利用单位载荷法，求线弹性结构位移的步骤：1、计算载荷作用下结构的内力。、计算载荷作用下结构的内力。（内力方程要简单，便于积分）（内力方程要简单，便于积分）2、计算单位载荷作用下结构的内力。、计算单位载荷作用下结构的内力。（画出单位载荷作用图！）（画出单位载荷作用图！）3、代入公式计算。、代入公式计算。计算刚架的位移时，一般忽略轴力、剪力。计算刚架的位移时，一般忽略轴力、剪力。x1baqABC

23、x2x1求求C点挠度点挠度ABC 1x2baPABC 求求A点转角点转角AB1x1x2C x1x2例例1：试用莫尔：试用莫尔定理计算图定理计算图(a)所所示悬臂梁自由端示悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。例题例题 2 已知如图，求已知如图，求A点的垂直位移及点的垂直位移及B截面的转角。截面的转角。BC段：段：AB段：段：x1x2PabABCEIEIEIEIx1x2ABC1BC段：段：AB段：段：解：解：（）(1)载荷作用于结构的内力载荷作用于结构的内力(内侧受拉为正内侧受拉为正)(2)单位载荷作用于结构的内力单位载荷作用于结构的内力(3)代入公式代入公式求求yA例题例题 2 已知如图，

24、求已知如图，求A点的垂直位移及点的垂直位移及B截面的转角。截面的转角。BC段：段：AB段：段：x1x2PabABCEIEIEIEI解：解：(1)载荷作用于结构的内力载荷作用于结构的内力x1x2ABC1求求 BBC段：段：AB段：段：(2)单位载荷作用于结构的内力单位载荷作用于结构的内力(3)代入公式代入公式负号表示负号表示 B与单位力偶方向相反，顺时针。与单位力偶方向相反，顺时针。考虑考虑BC 杆轴力对杆轴力对A点竖直位移的影响。点竖直位移的影响。PabABCEIEI结论：结论：轴力对细长杆的位移影响很小，一般忽略不计。轴力对细长杆的位移影响很小，一般忽略不计。BC 段：段：FN=PA点竖直向

25、下的位移增加点竖直向下的位移增加 l。设杆的截面为圆形，设杆的截面为圆形，ab4d，比较，比较 l 和和 yA：C aaqABEI例例3：求简支梁求简支梁A端转角。端转角。解：解：CB段：段：AC段：段：1.载荷作用下的内力载荷作用下的内力(先求支反力先求支反力)2.单位载荷作用下的内力单位载荷作用下的内力CB段：段：AC段：段：3.代入公式计算。代入公式计算。1x1x2x1x2ABC 13-8 计算计算莫尔积分的图乘法莫尔积分的图乘法 等直杆的情况下等直杆的情况下等直杆的情况下等直杆的情况下,莫尔积分中的莫尔积分中的莫尔积分中的莫尔积分中的EIEI为常量为常量为常量为常量,可提到积可提到积可

26、提到积可提到积分号外面分号外面分号外面分号外面只需计算只需计算只需计算只需计算:因为因为因为因为 是由是由是由是由单位力或单单位力或单单位力或单单位力或单位力偶位力偶位力偶位力偶引起的弯矩引起的弯矩引起的弯矩引起的弯矩,故沿杆长方故沿杆长方故沿杆长方故沿杆长方向的向的向的向的 图一般是由直线或折图一般是由直线或折图一般是由直线或折图一般是由直线或折线组成线组成线组成线组成.MM(x x)图一般是曲线图一般是曲线图一般是曲线图一般是曲线.MM(x x)MM(x x)ldxxCxCMM(x x)MM(x x)MMC CMM常见几何图形的面积和形心公式如下：常见几何图形的面积和形心公式如下：二次凹抛

27、物线二次凹抛物线bChbChC二次凸抛物线二次凸抛物线顶点：顶点：切线水平，切线水平，即剪力为零。即剪力为零。b二次凸抛物线二次凸抛物线Ch顶点顶点lab三角形三角形Chl直角三角形直角三角形hC顶点顶点顶点顶点注意：注意：(5)用叠加法作弯矩图求解较容易。用叠加法作弯矩图求解较容易。（2）当直线弯矩图分段时，必须分段图乘，然后求和。当直线弯矩图分段时，必须分段图乘，然后求和。（3）当当M 图为直线时，图乘关系可颠倒。图为直线时，图乘关系可颠倒。纵坐标纵坐标（4）其它内力也有类似的图乘关系。其它内力也有类似的图乘关系。w w 曲线弯矩图的面积曲线弯矩图的面积；曲线弯矩图曲线弯矩图面积面积的的形

28、心对应的形心对应的直线弯矩图直线弯矩图的值。的值。乘积有正负。乘积有正负。（1）M、在杆同侧（符号相同），在杆同侧（符号相同），乘积为正。乘积为正。l/4qABEIlABl1 1B Al/2l/21 1求梁中点的挠度求梁中点的挠度。求求B点转角点转角 。分两段分两段一段一段ABl1 11 1求求B点转角。点转角。载荷弯矩图为直线，载荷弯矩图为直线，图乘关系可以颠倒。图乘关系可以颠倒。ABlmmw w 曲线弯矩图的面积曲线弯矩图的面积；曲线弯矩图面积曲线弯矩图面积的的形心对应的形心对应的直线弯矩图直线弯矩图的值。的值。其它内力的图乘关系：其它内力的图乘关系：只考虑弯矩时：只考虑弯矩时：叠加法作载

29、荷弯矩图可以可以分别画分别画分别画分别画各个载荷单独作用于各个载荷单独作用于结构结构 的弯矩图。的弯矩图。也可以画到一个图中。也可以画到一个图中。杆件异侧受拉，画两侧；杆件异侧受拉，画两侧；杆件同侧受拉：先画直线弯矩图，以此为杆件同侧受拉：先画直线弯矩图，以此为 基线基线基线基线，再画另一弯矩图。，再画另一弯矩图。qa2/2C AB利用叠加法画弯矩图。利用叠加法画弯矩图。qAB2aaC C qAB qa2/2 叠加法：叠加法：几个几个载荷载荷共共同作用所引起的某一截面同作用所引起的某一截面的弯矩，等于各的弯矩，等于各载荷载荷单独单独作用于结构时所引起的弯作用于结构时所引起的弯矩总和。矩总和。注

30、意：弯矩图的叠加注意：弯矩图的叠加是纵坐标的叠加！是纵坐标的叠加！C AB 求求C点挠度。点挠度。qAB2aaC qa2/2C1w w 1w w 2C2w w 3C3（1）叠加法作载荷弯矩图叠加法作载荷弯矩图（2 2）作单位力弯矩图）作单位力弯矩图（3 3）进行图乘）进行图乘解解：qa2/2C qABEIaaaD qa2/2C qABEIaaaD C qABEIaaaD（1）叠加法作载荷弯矩图叠加法作载荷弯矩图（2 2）作单位力弯矩图）作单位力弯矩图1aw w 3w w2（3 3）进行图乘）进行图乘为负，方向向上。为负，方向向上。C1C2C3C qABEIaaaD 解解：例：例：已知如图，利用

31、图乘法已知如图，利用图乘法求求D点竖直位移。点竖直位移。w w 1C qABEIaaaD qa2/2qa2/2（1）叠加法作载荷弯矩图叠加法作载荷弯矩图（2 2）作单位载荷的弯矩图）作单位载荷的弯矩图1简化作法解解：例：例：已知如图，利用图乘法已知如图，利用图乘法求求D点竖直位移和转角。点竖直位移和转角。a1求求D点转角点转角 1 111l l l 解：解：例例 求图示刚架求图示刚架C点的竖直位移和水平位移。点的竖直位移和水平位移。已知已知EI。qllBA221ql221ql221qlM图图 例：图示刚架，例：图示刚架，EI=const。求。求A截面的水截面的水平位移平位移 AH 和转角和转角

32、A。CL12TU41解：解：例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示悬臂梁自由端示悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。LFF解解（1）求自由端的挠度）求自由端的挠度Fm=1(2)求自由端的转角求自由端的转角例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示简支梁的最大挠度和最大示简支梁的最大挠度和最大转角。转角。qM解解（1）简支梁的最大挠度简支梁的最大挠度（2）求最大转角）求最大转角最大转角发生在两个支座处最大转角发生在两个支座处 例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示悬臂梁自由端示悬臂梁自由端B的的挠度和转角。挠度和转角。CL12TU35解：解：例：试用图乘法求图示悬臂梁中点例：试用图乘法求图示悬

33、臂梁中点C处的处的铅垂位移。铅垂位移。CL12TU36解：解：例：图示梁，抗弯刚度为例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载，承受均布载荷荷q及集中力及集中力X作用。用图乘法求：作用。用图乘法求：(1)集中力作用端挠度为零时的集中力作用端挠度为零时的X值；值；(2)集中力作用端转角为零时的集中力作用端转角为零时的X值。值。CL12TU37F解：解：(1)F(2)例：图示梁的抗弯刚度为例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求，试求D点的点的铅垂位移。铅垂位移。CL12TU38解：解：例：图示开口刚架，例：图示开口刚架，EI=const。求。求A、B两两截面的相对角位移截面的相对角位移 AB 和沿和沿P力作用线方向的力作用线方向的相对线位移相对线位移 AB。CL12TU39解：解：例：用图乘法求图示阶梯状梁例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转截面的转角及角及E截面的挠度。截面的挠度。CL12TU40解：解：