BB格林公式及其应用.pptx

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1、1引例：引例：计算计算积分路径沿着圆周的正向。解法：应用格林公式由于二重积分和平面的曲线那么它们两者之间能否通过定积分而联系起来？本节介绍格林公式将指出，二重积分可以化为沿区域 D 的边界曲线 L 正向的曲线积分，在平面闭区域 D 上的这就沟通了曲线积分和二重积分之间的联系。积分都是化为定积分来计算的，第1页/共39页2区域 D 分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域 D 边界L 的正向:域的内部靠左定理1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有(格林公式)函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一、一、格林公式格林公式证明：即要证第2页/共39页3证明证明:1)若D

2、既是 X-型区域,又是 Y-型区域,且则第3页/共39页4即同理可证、两式相加得:第4页/共39页52)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕第5页/共39页6引例：计算积分路径沿着圆周的正向。解法：应用格林公式第6页/共39页7例例1：利用格林公式计利用格林公式计算算L由曲线解：画出闭曲线及其所围成的区域D。1.1.简化曲线积分简单应用第7页/共39页8所以由格林公式 例例2利用了对称区间上的偶倍奇零和形心公式。第8页/共39页9例例3 3.设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得第9页/共39页10例例4：计算：计算：其中L 为折线

3、 OABO,O(0,0)A(1,0)B(1,2)解：第10页/共39页11例例5.计算计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:令设 L 所围区域为D,由格林公式知第11页/共39页12在D 内作圆周取逆时针方向,对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式,得第12页/共39页132.2.计算平面面积计算平面面积第13页/共39页14推论推论:正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的的面积面积格林公式例如,椭圆所围面积第14页/共39页15例例7：用两种方法计用两种方法计算算L由曲线解法一：第15页/共39页16例例7：用两种方法计用两种方法计算算L由曲线解法二：轮

4、换对称法第16页/共39页17例例8.计算计算其中D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:令,则利用格林公式,有3.3.简化二重积分第17页/共39页18例例9.计算计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解:(1)原式(2)原式(3)原式此题的特点：第18页/共39页19二、平面上曲线积分与路径无关的等价条二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件件定理2.设D 是单连通域,在D 内具有一阶连续偏导数,(2)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有(3)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(4)与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D

5、内是某一函数的全微分,即(1)在 D 内每一点都有第19页/共39页20证明证明(1)(2)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕第20页/共39页21说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为 证明证明(2)(3)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(2)第21页/共39页22证明证明(3)(4)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数 第22页/共39页23证明证明(4)(1)设存在函数 u(x,y)使得则P,Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有第23页/共39页24说明说明:根据定

6、理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;第24页/共39页25例例1.计计算算其中L 为上半从 O(0,0)到 A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L 所围圆周区域为D,则第25页/共39页26例例2：计算计算解：积分与路径无关统一变量化成定积分第26页/共39页27例例3：设设 C 为沿为沿从点依逆时针的半圆,计算解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点第27页/共39页28例例4.验证

7、验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使。第28页/共39页29例例5：验证验证在整个平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。解：在整个平面上都成立则所给出的微分式是全微分式。利用公式：取为起点，动点为方法一：第29页/共39页30方法二：方法二：例6：验证在整个平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。第30页/共39页31方法三：取 注：积分的起点不同，结果相差一个常数。应该选择某些特殊的点方便计算。例例5：验证验证平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。第31页/共39页32方法四：方法四：例6：验证在整个平面内是全微分式，并求出它的一个原函

8、数。第32页/共39页33例例6.验证验证在右半平面(x 0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理 2 可知存在原函数第33页/共39页34或第34页/共39页35例例7.设质点在力场设质点在力场作用下沿曲线 L:由移动到求力场所作的功W解解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.第35页/共39页36思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!第36页/共39页37内容小结内容小结1.格林公式2.等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有统一变量化为定积分加辅助线后用格林公式将积分重新组合第37页/共39页38P521 1；2(1)（2）（4）（5）（6）;3;4;5作业作业第38页/共39页39感谢您的观赏！第39页/共39页