医用高等数学第六章课件.pptx

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1、第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念常微分方程常微分方程微分方程的阶微分方程的阶解微分方程解微分方程微分方程的初识条件微分方程的初识条件微分方程的通解微分方程的通解微分方程的特解微分方程的特解微分方程的几何意义微分方程的几何意义第1页/共45页一、微分方程概念一、微分方程概念 定定义义:把把联联系系自自变变量量、未未知知函函数数及及未未知知函函数数导导数数（或（或微分微分）的关系式称为微分方程）的关系式称为微分方程.例例：判断：判断下列关系式是否是微分方程下列关系式是否是微分方程第2页/共45页注意：注意：一一个个关关系系式式要要成成为微微分分方方程程，要要求求该关关系系式式中中

2、必必须含含有有未未知知函函数数的的导数数或或微微分分，但但其其中中的的自自变量量或或未知函数可以不未知函数可以不显含含.如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为个，则这样的微分方程称为常微分常微分方程。方程。第3页/共45页如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分偏微分方程方程。微分方程：微分方程：含有未知函数的导数含有未知函数的导数（或微分）的方程。（或微分）的方程。常微分方程：常微分方程：未知函数是一元函数未知函数是一元函数的微分方程的微分方程。偏微分方程：偏微分方程：未知函数是多元函数未知函数是多元函数的微分方程

3、。的微分方程。第4页/共45页二、微分方程的阶二、微分方程的阶（Order）定定义义：微微分分方方程程中中出出现现的的未未知知函函数数的的最最高高阶阶导导数数或或微微分分的阶数称为微分方程的阶数的阶数称为微分方程的阶数.第5页/共45页三、微分方程的解三、微分方程的解（Value）第6页/共45页三、微分方程的解三、微分方程的解（Value）解微分方程解微分方程：求解未知数的过程 微分方程的通解微分方程的通解：解中含有任意常数且个数与微分方程的阶数相同 初始条件初始条件：所给定的自变量的值及对应的函数值和导数值 微分方程的特解微分方程的特解：通解中任意常数为确定值时的解第7页/共45页四、微分

4、方程的几何意义四、微分方程的几何意义积分曲线：积分曲线：微分方程的特解微分方程的特解 的几何图形，称为微分方程的的几何图形，称为微分方程的一条积分曲线。一条积分曲线。第8页/共45页6.2 6.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程一、变量可分离的微分方程一、变量可分离的微分方程行如：行如：解法：解法：两边积分有两边积分有第9页/共45页例：例：1 1、求微分方程、求微分方程 的通解。的通解。2 2、求微分方程、求微分方程满足初始条件满足初始条件 的特解的特解第10页/共45页二、齐次微分方程二、齐次微分方程解法：令解法：令则则代入有代入有第11页/共45页例例3 3.求微分方程的特解求

5、微分方程的特解例例4 4.求解微分方程求解微分方程第12页/共45页6.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程 二、柏努利方程二、柏努利方程 第13页/共45页一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程第14页/共45页第15页/共45页第16页/共45页第17页/共45页第18页/共45页第19页/共45页例例2.求解微分方程求解微分方程第20页/共45页二、柏努利方程二、柏努利方程令：第21页/共45页例例3.3.求微分方程求微分方程第22页/共45页6.46.4三种特殊类型的高阶微分方程三种特殊类型的高阶微分方程

6、第23页/共45页第24页/共45页特点：方程中不显含未知函数特点：方程中不显含未知函数 y.解上述一阶方程，得 原方程变为这是一个以 p 为未知函数的一阶方程；解法解法 再积分一次，得通解：第25页/共45页例例2 2 求方程 的通解.第26页/共45页3.3.型的微分方程型的微分方程特点：特点：方程的右端不显含方程的右端不显含x解法：解法：设设则则于是方程化为于是方程化为此方程为一阶微分方程。此方程为一阶微分方程。第27页/共45页例例4 4 解方程解解即代入原方程得 两边积分 第28页/共45页最后得原方程的通解,(含两个任意常数),分离变量 两边积分 即第29页/共45页6.5 6.5

7、 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程形如：形如：称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程当当 时，方程时，方程称为二阶线性齐次微分方程称为二阶线性齐次微分方程第30页/共45页一、线性微分方程解的结构一、线性微分方程解的结构定理定理1 1：如果如果 是线性是线性 齐次方程齐次方程的解，则的解，则 和和也是线性齐次方程的解。也是线性齐次方程的解。第31页/共45页线性相关线性相关：如果：如果 与与 之比之比为常数。为常数。线性无关线性无关：如果：如果 与与 之比之比不为常数。不为常数。第32页/共45页定理定理2 2：如果如果 是线性齐次是线性齐次方程方程的两个线性无关解，则该

8、方的两个线性无关解，则该方程的通解为程的通解为第33页/共45页定理定理3 3：如果如果 是二阶线性非齐次是二阶线性非齐次方程方程齐次方程齐次方程的通解，则的通解，则非齐次方程的通解为非齐次方程的通解为的一个特解，的一个特解，是相应的是相应的第34页/共45页二、二阶线性常系数齐次微分方程二、二阶线性常系数齐次微分方程形如：形如：特征根法：特征根法：1 1、特征方程、特征方程2 2、求特征方程的根，即特征根、求特征方程的根，即特征根3 3、根据特征根的不同情况，写、根据特征根的不同情况，写出相应的齐次方程的通解。出相应的齐次方程的通解。第35页/共45页若特征根为若特征根为（1 1）当）当 是

9、两个不相等的实根是两个不相等的实根齐通解为：齐通解为：（2 2）当）当 是两个相等的实根，是两个相等的实根，齐通解为齐通解为（3 3）当）当是一对共轭是一对共轭复根，齐通解为复根，齐通解为第36页/共45页例：例：1 1、求微分方程、求微分方程的通解。的通解。2 2、求微分方程、求微分方程的通解。的通解。3 3、求微分方程、求微分方程满足满足的特解。的特解。第37页/共45页6.6、二阶线性常系数非齐次微分方程、二阶线性常系数非齐次微分方程非齐通解非齐通解=非齐特解非齐特解+齐通解齐通解因此求二阶常系数非齐次微分方程因此求二阶常系数非齐次微分方程的通解时，须先求出相应的齐次方的通解时，须先求出

10、相应的齐次方程的通解，再求出非齐次微分方程程的通解，再求出非齐次微分方程的一个特解即可。的一个特解即可。第38页/共45页（1 1）自由项）自由项的的 m m 次多项式次多项式其中其中 是常数，是常数，是关于是关于 x x特解形式为特解形式为其中其中 是与是与 同次的多项式同次的多项式不是特征根不是特征根是单特征根是单特征根是重根是重根第39页/共45页例：例：1 1、求微分方程、求微分方程的通解的通解2 2、求微分方程、求微分方程的通解的通解第40页/共45页（2 2）当自由项）当自由项其中其中 是常数，是常数，和和 分别分别是是 次和次和 次多项式次多项式特解形如：特解形如：第41页/共45页其中其中 是两个待定的是两个待定的 m m 次次多项式，多项式，不是特征根不是特征根是特征根是特征根第42页/共45页例：例：1 1、求微分方程、求微分方程的通解的通解2 2、求微分方程、求微分方程满足满足的特解。的特解。第43页/共45页总结：总结：可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程几种类型的高阶微分方程二阶常系数线性微分方程第44页/共45页谢谢您的观看！第45页/共45页