函数的奇偶性讲义（教师用）(共7页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 函数的奇偶性一、函数奇偶性 设函数的定义域为，如果对于内任意一个，都有，且，那么这个函数叫做奇函数设函数的定义域为，如果对于内任意一个，都有，且，那么这个函数叫做偶函数奇函数的图象关于原点成中心对称图形 偶函数的图象关于轴成轴对称图形二、方法归纳1.函数的定义域是关于原点的对称点集（即对就有），是其具有奇偶性的必要条件2.在公共定义域内：两个偶函数的和、差、积、商均为偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积、 商是偶函数； 偶函数与奇函数的积、商是奇函数3.判断函数的奇偶性应把握： 若为具体函数，严格按照定义判断，注意定义域的对称性和变换中的等价性 若为抽象函数，在依

2、托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性和合理性 4.定义在关于原点的对称点集上的任意函数，总可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和即，其中为偶函数， 为奇函数5.奇（偶）函数性质的推广：若函数的图象关于直线对称，则；F 提 示对任意实数x都成立若函数的图象关于点对称，则；三、典型例题精讲例1（1）函数 的图象( )A关于x轴对称B关于y轴对称 C关于原点对称D关于直线x1对称 解析：由， 是奇函数，图象关于原点对称答案：C【技巧提示】用定义判定函数的奇偶性需要对函数解析式进行恒等变形，不要轻易断定是非奇非偶函数F 提 示分段函数的奇偶性判断须注意各段中解析式的作用范围（2）分段函数奇偶性的

3、判定又例：函数的奇偶性解析：当时，；当时，是奇函数例2已知是偶函数而且在(0，)上是减函数，判断在(，0)上的增减性并加以证明解析：函数在(，0）上是增函数设x1x20，因为是偶函数，所以，由假设可知x1x20，又已知在(0，)上是减函数，于是有，即，由此可知，函数在(，0)上是增函数【技巧提示】具有奇偶性的函数，其定义域关于原点的对称性，使得函数在互为对称的区间内的单调性具有对应性“偶函数半增半减，奇函数一增全增” 例3定义在区间(，)上的奇函数为增函数，偶函数在区间0，)上的图象与的图象重合，设0，给出下列不等式： （1）f()f()g()g()； （2）f()f()g()g()； （3）

4、f()f()g()g()； （4）f()f()g()g() 其中成立的是（ ） A (1)与(4) B (2)与(3) C (1)与(3) D (2)与(4) 解析：根据函数、的奇偶性将四个不等式化简，得： （1）f()f()g()g()； （2）f()f()g()g()； （3）f()f()g()g()； （4）f()f()g()g() 再由题义，有 显然（1）、（3）正确，故选C【技巧提示】具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性，因而往往与不等式联系紧密F 提 示抽象函数常常集函数性质、图象、定义域与值域等问题于一身，既能考查函数的概念与性质，又能考查学生的思维

5、能力，并且概念抽象、构思新颖、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高，它在高中数学教材中虽很少涉及到，但在各类高考模拟试题中常常见到，也是近年来高考试题中的新宠又例：偶函数在定义域为R，且在（，0上单调递减，求满足 的的集合解析：偶函数在（，0上单调递减，在0，）上单调递增根据图象的对称性，等价于解之，满足条件的的集合为（1，）例4设是(，)上的奇函数，当0x1时，则等于( )A0.5 B 0.5 C 1.5 D 1.5解析： 0.5答案：B【技巧提示】 这里反复利用了和，后面的学习我们会知道这样的函数具有周期性又例：如果函数在R上为奇函数，且在(1，0)上是增函数，试比较，的大小关系_解析：为R上的

6、奇函数， ，又在(1，0)上是增函数且1 ， 答案：例5函数的定义域为，且满足对于任意，有 （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明；解：（1）令，得； （2）令，得，令，得 ，即为偶函数 【技巧提示】赋值法是解决抽象函数问题的切入点常赋值有0，1，1，2，2，等等例6已知函数在(1，1)上有定义，1，当且仅当0x1时0，且对任意x、y(1，1)都有，试证明： (1) 为奇函数；(2) 在(1，1)上单调递减证明：(1) 由，令xy0，得0，令yx，得0， 为奇函数(2)先证在(0，1)上单调递减令0x1x21，则f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f()0x1x21，x2x10，1

7、x1x20，0，又(x2x1)(1x2x1)(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1，01，由题意知f()0，即f(x2)f(x1)在(0，1)上为减函数，又为奇函数且f(0)0在(1，1)上为减函数【技巧提示】这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如等等，一般的求解最为常见赋值技巧常为令或等。本例中第一问求解特殊函数值的过程中就采用了这两个技巧；对于(2)，判定的范围是解题的焦点练习一、 选择题1函数f(x)(x1) ，x(1,1)()A是奇函数 B是偶函数C既是奇函数又是偶函数 D是非奇非偶函数答案：B解析：x(1,1)，x10.f(x)(x1) .f(x)f(x)f(x)为

8、偶函数故选B.2函数f(x)x的图象关于()Ay轴对称 B直线yx对称C坐标原点对称 D直线yx对称答案：C解析：f(x)x是奇函数，f(x)的图象关于原点对称，故选C.3下列说法错误的个数为()图象关于坐标原点对称的函数是奇函数； 图象关于y轴对称的函数是偶函数；奇函数的图象一定过坐标原点； 偶函数的图象一定与y轴相交A4 B3 C2 D1答案：C解析：由奇、偶函数的性质，知说法正确；对于，如f(x)，x(，0)(0，)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以说法错误；对于，如f(x)，x(，0)(0，)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以说法错误故选C.4已知f(x)是定义在R上的奇函

9、数，f(3)2，则下列各点在函数f(x)图象上的是()A(3，2) B(3,2) C(2，3) D(3，2)答案：D解析：f(x)在R上为奇函数，f(3)f(3)2，f(3)2，故选D.5设函数yf(x)在区间D上是奇函数，函数yg(x)在区间D上是偶函数，则函数H(x)f(x)g(x)在区间D上是()A偶函数 B奇函数 C即奇又偶函数 D非奇非偶函数答案：B解析：由f(x)是奇函数得f(x)f(x)，g(x)是偶函数得g(x)g(x)，H(x)f(x)g(x)f(x)g(x)H(x)，所以H(x)f(x)g(x)在区间D上为奇函数6函数f(x)ax2bx2ab是定义在a1,2a上的偶函数，则

10、ab()A B. C0 D1答案：B解析：由偶函数的定义，知a1,2a关于原点对称，所以2a1a，解得a.又f(x)为偶函数，则b0. 所以ab.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_答案：(2,0)(2,5解析：由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f(x)在5,0)的图象，由图象可以看出，不等式f(x)0 的解集是(2，0)(2,5，如图所示8.已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，则f(x)在R上的解析式为_答案：f(x)解析：令x0，则x0，f(x)(x)

11、22xx22x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)x22x，f(x)9已知f(x)在a，b上是奇函数，且f(x)在a，b上的最大值为m，则函数F(x)f(x)3在a，b上的最大值与最小值之和为_答案：6解析：因为奇函数f(x)在a，b上的最大值为m，所以它在a，b上的最小值为m，所以函数F(x)f(x)3在a，b上的最大值与最小值之和为m3(m3)6，故选D.10已知f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x23x2.若当x1,3时，f(x)的最大值为m，最小值为n，则mn的值为_答案：解析：x0时，f(x)x23x2，且f(x)是奇函数，当x0时，x0，则f(x)x23x2. 故当x0时，f

12、(x)f(x)x23x2.当x时，f(x)是增函数；当x时，f(x)是减函数因此当x1,3时，f(x)maxf，f(x)minf(3)2.m，n2，从而mn.三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)|x1|x1|； (2)f(x).解：(1)函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称因为f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，所以f(x)为奇函数(2)函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称当x1时，x1，f(x)(x)2x2f(x)；当|x|1时，|x|1，f(x)0f(x)；当x1时，x1，f(x)(x)2x2f(x)所以对一切xR，都

13、有f(x)f(x)，即函数f(x)是偶函数12.已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x22x2.(1)求f(x)的表达式；(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间解析：(1)设x0，则x0，于是f(x)(x)22x2x22x2.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)因此，f(x)x22x2.又f(0)0，f(x)(2)先画出yf(x)(x0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应yf(x)(x0)的图象，其图象如图所示由图可知，其增区间为1,0)和(0,1，减区间为(，1和1，)13已知函数f(x)是定义在(，)上的奇函数，且f.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断f(x)在(1,1)上的单调性，并且证明你的结论解析：(1)根据题意得即解得f(x).(2)任意x1，x2(1,1)，且x1x2，则f(x1)f(x2)1x1x21，x1x20,1x1x20，从而f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故f(x)在(1,1)上是增函数专心-专注-专业