D74高阶线性微分方程.pptx

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1、据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:第1页/共14页n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式的一般形式为为此类方程(二阶线性微分方程)可归结为同一形式:时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y第2页/共14页证毕二、线性齐次方程解的结二、线性齐次方程解的结构构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)定理1.第3页/共14页说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的

2、判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.第4页/共14页定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见在任何区间 I 上都 线性无关.若存在不全为 0 的常数第5页/共14页两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要充要条件条件:线性相关存在不全为 0 的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为 0,则必线性相关第6页/共14页定理定理 2.是二阶线性齐次方

3、程的两个线性无关特解,数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为推论.是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解,则方程的通解为则第7页/共14页三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理 3.则是非齐次方程的通解.证:将代入方程左端,得第8页/共14页是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解.第9页/共14页定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.第10页/共14页定理定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解第11页/共14页常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例例2.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)第12页/共14页例例3.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 第13页/共14页感谢您的欣赏！第14页/共14页