D偏导数高等数学.pptx

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1、定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意:第1页/共22页同样可定义对同样可定义对 y 的偏导数的偏导数若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在,第2页/共22页例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为(请自己写出)第3页/共22页二元函数偏导数的几何意义二元函

2、数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的第4页/共22页函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：注意：但在该点不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!第5页/共22页例例1.求求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共22页例例2.设设证:例3.求的偏导数.(P14 例4)解:求证机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共22页偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程已知理想气

3、体的状态方程求证:证:说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,第8页/共22页二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:第9页/共22页类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为第10页/共22

4、页例例5.求函求函数数解:注意:此处但这一结论并不总成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 第11页/共22页例如例如,二者不等机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共22页例例6.证明函数证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共22页则证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有

5、而初等(证明略)第14页/共22页内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共22页思考与练习思考与练习解答提示:P73 题 5P73 题 5,6即 xy0 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共22页P73 题题6(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共22页作业作业P18 1（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共22页备用题备用题 设方程确定 u 是 x,y 的函数,连续,且求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共22页感谢您的观赏第22页/共22页