线性代数复习典型例题.pptx

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1、-1-例12解解第1页/共45页-2-注：注：(1)(2)第2页/共45页-3-计算 n 阶行列式解将第 列都加到第一列上,得 例7第3页/共45页-4-特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。第4页/共45页-5-爪形行列式 例8特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素全为零的行列式称为爪型行列式。第5页/共45页-6-范德蒙德(Vandermonde)行列式 例9从最后一行开始,每行减去上一行的 倍.第6页/共45页-7-按最后一列展开再提取每列的公因子第7页/共45页-8-第8页/共45页-9-第9页/共45页-1

2、0-例5证明 A 和 A+2E 都可逆,并求其逆.设方阵 A 满足证证第10页/共45页-11-例6设 A,B 和 A+B 均可逆,证明 也可逆,并求其逆.证证第11页/共45页-12-例7设A为3阶方阵,求解解第12页/共45页-13-设 即有初等矩阵 使得问作一次行变换再作一次行变换继续考虑对 作行变换求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法第13页/共45页-14-解矩阵方程解例12第14页/共45页-15-第15页/共45页-16-第16页/共45页-17-证例8第17页/共45页-18-(5)设 A 是 n 阶方阵 其中 都是方阵,则称A为分块对角矩阵.第18页/

3、共45页-19-例1时，有无穷多解。，时，无解。，时，有无穷多解。问 a,b 为何值时,方程组有解,无解。解：第19页/共45页-20-例5解解：系数矩阵是方阵首选行列式法问 为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，求通解。第20页/共45页-21-分析：当 时有唯一解，当 时，此时系数矩阵中的参数已确定，方程组可能无解，也可能有无穷多解，这取决于右端项。再用初等行变换法加以判别。当 时，方程组有唯一解。当 时当 时，方程组无解。当 时，方程组有无穷多解。第21页/共45页-22-通解为第22页/共45页-23-向量 可由向量组 线性表示存在数 使即有解学会这种转换就可以了学会

4、这种转换就可以了!注意:符号混用另外,如果解唯一,则表示方法是唯一的.如果(按定义)(转换为方程组)(用矩阵的秩)方程组定理定理3.1.13.1.1第23页/共45页-24-存在不全为零的数 使即有非零解.还是转换！转换线性无关还是转换！转换线性无关向量组线性相关(按定义)(转化为方程组)齐次方程组(用矩阵的秩)把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。定理定理3.2.33.2.3证明向量组线性相关性的基本方法（向量方程）第24页/共45页-25-(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）P101推论2由它构成的n阶矩阵的行列式t 取

5、何值时,下列向量组线性相关?解解记当 t=5 时,上面向量组线性相关.例4第25页/共45页-26-设 线性无关,问 满足什么条件,线性相关.向量组:分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题,就是矩阵乘法的关系。P104则例6第26页/共45页-27-设(要讨论上面方程组何时有非零解)(由 )第27页/共45页-28-线性相关第28页/共45页-29-另证另证:由于 是列满秩矩阵,故线性相关上面秩 3殊途同归殊途同归第29页/共45页-30-例7重要结论重要结论设向量组 能由向量组线性表示为且A组线性无关。证明B组线性无关的充要条件是证法一证法一(适用于一般的线性空间)设第30页/共45页-3

6、1-例3求向量一个最大无关组,并把其余向量用该最大无关组表出.矩阵的秩=?线性无关吗?是最大无关组吗?阅读书P109例3第31页/共45页-32-第32页/共45页-33-是右边的最大无关组是左边的最大无关组总结总结矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系。引理2第33页/共45页-34-定理定理3.3.23.3.2 注注:以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混用，而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等这个原因。但对于无限向量组符号就不能混用了。向量组的秩与矩阵秩的关系三秩相等定理第34页/共45页-35-证(以前证过)例2证明齐次方程组的解集是一个向量空间.以后称为齐次方程组的解空

7、间解空间.第35页/共45页-36-定义定义设 是一向量组,称为由该向量组生成的生成的(或张成的或张成的)向量空间向量空间.记为 特别地,由矩阵 A 的列向量生成的向量空间称为 A的列空间(或称像空间或称值域).记为R(A)第36页/共45页-37-六、正交矩阵六、正交矩阵定义定义正交矩阵正交矩阵.A 是正交矩阵定理定理A 的列组是规范正交组A 的行组是规范正交组第37页/共45页-38-非齐次方程组解的存在性定理定理定理4.1.14.1.1对于非齐次非齐次方程组(4-1)向量 可由A的列向量组线性表示。第38页/共45页-39-定理定理4.1.34.1.3对于齐次齐次方程组(1)A的列向量组

8、线性无关(2)A的列向量组线性相关推论1当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3)必有非零解。第39页/共45页-40-例3证明设 ,首先证明利用这一结论证重要结论重要结论第40页/共45页-41-例4求一个齐次方程组,使它的基础解系为记之为 AB=O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知的 A 放在右边,转置,只需解然后再把这些解拼成 的列(A 的行)即可.解 得基础解系设所求的齐次方程组为 ,则取即可.解第41页/共45页-42-例7设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 是它的三个解向量,且求该方程组的通解.解取 ,则它就是解,从而也是基础解系.基础解系所含向量个数=4 3=1故非齐次方程组的通解为第42页/共45页-43-第1-4章典型例题行列式计算矩阵方程求解向量组的极大无关组及表示含参数线性方程组的解的讨论与求解(转化为向量组)第43页/共45页-44-第5、6章典型例题P 194 2P191 例1P204 4第44页/共45页-45-感谢您的观看！第45页/共45页