数学文化六.ppt

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1、1开篇：开篇：v算术给予我们一个用之不尽的算术给予我们一个用之不尽的,充满有趣真理充满有趣真理的宝库。这些真理不是孤立的，而是已相互的宝库。这些真理不是孤立的，而是已相互最密切的关系并立着，而且随着科学的每一最密切的关系并立着，而且随着科学的每一成功的进展，我们不断地发现这些真理间的成功的进展，我们不断地发现这些真理间的新的，完全意外的接触点。新的，完全意外的接触点。G.F.G.F.高斯高斯v数学，科学的皇后；数论，数学的皇后。数学，科学的皇后；数论，数学的皇后。G.F.G.F.高斯高斯24.14.1初等数论基础初等数论基础 4.1.14.1.1什么是数论什么是数论v 数论是研究整数性质的一个

2、数学分数论是研究整数性质的一个数学分支。它主要包括初等数论、解析数论、支。它主要包括初等数论、解析数论、代数数论、丢番图逼近、超越数论等，代数数论、丢番图逼近、超越数论等，还有其它分支，现代数论已深入到数学还有其它分支，现代数论已深入到数学的一切分支。的一切分支。34.14.1初等数论基础初等数论基础 4.1.14.1.1什么是数论什么是数论v 初等数论以算术方法为主，但初等初等数论以算术方法为主，但初等数论中的一些问题的研究促进了新的数数论中的一些问题的研究促进了新的数学分支的产生。同时一些方法的出现也学分支的产生。同时一些方法的出现也产生了新的研究方法。到目前为止，还产生了新的研究方法。到

3、目前为止，还有初等数论的一些问题没有解决，而且有初等数论的一些问题没有解决，而且多是一些很有意思的问题。多是一些很有意思的问题。44.14.1初等数论基础初等数论基础 4.1.14.1.1什么是数论什么是数论v 数论的特点：看起来容易，实际上数论的特点：看起来容易，实际上往往很难。做数论的大多是数学家中的往往很难。做数论的大多是数学家中的大师，而且一般是最聪明的一些人，这大师，而且一般是最聪明的一些人，这些人大多都是全才。些人大多都是全才。v 特别注意的是一些数学功力不够的特别注意的是一些数学功力不够的年轻人不要轻易陷到数论难题的旋涡里。年轻人不要轻易陷到数论难题的旋涡里。54.1.24.1.

4、2素数与合数素数与合数 自然数分为三类：自然数分为三类：1)1)1 1；2)2)P P，只有自然数只有自然数1 1和和P P是是它的因数；它的因数；3)3)n,n,有两个以上大于有两个以上大于1 1的因数；的因数；4)4)2)2)类中的数叫素数，又叫质数，如类中的数叫素数，又叫质数，如2,3,5,7,11,13,17,2,3,5,7,11,13,17,5)5)3)3)类中的数叫合数，如类中的数叫合数，如4,6,8,9,24,56,65,4,6,8,9,24,56,65,64.1.34.1.3素数表素数表v引理引理 每一个合数每一个合数n n至少有一个素因数至少有一个素因数筛法（埃拉多斯染尼）：

5、要求出不超过筛法（埃拉多斯染尼）：要求出不超过N N的一的一切素数，根据引理只需要把不超过切素数，根据引理只需要把不超过 的素数的素数的倍数划去即可，这是因为不超过的倍数划去即可，这是因为不超过N N的合数的的合数的最小素因数总是不超过最小素因数总是不超过 的。的。例例求不超过求不超过6060的全体素数。的全体素数。74.1.34.1.3素数表素数表v欧几里德证明了有无穷个素数。但是至今没有欧几里德证明了有无穷个素数。但是至今没有找到素数的模型或产生素数的有效工具。大家找到素数的模型或产生素数的有效工具。大家可能会问，数论有用吗？大素数有用吗？在过可能会问，数论有用吗？大素数有用吗？在过去一般

6、认为数论是最抽象的数学分支，与应用去一般认为数论是最抽象的数学分支，与应用无关。英国大数学家哈代曾认为纯数学，特别无关。英国大数学家哈代曾认为纯数学，特别是数论与战争无关。然而二战以后却让数学应是数论与战争无关。然而二战以后却让数学应用的面貌发生了根本性的变化，数学已渗透到用的面貌发生了根本性的变化，数学已渗透到社会的一切领域中去了。社会的一切领域中去了。84.1.34.1.3素数表素数表 目前，各国的核导弹都由密码系统所控制，目前，各国的核导弹都由密码系统所控制，而数论已成为控制成千上万颗的核导弹的密码而数论已成为控制成千上万颗的核导弹的密码系统的理论基础。系统的理论基础。最好的密码是用素数

7、制造的，极难破译。最好的密码是用素数制造的，极难破译。v如用计算机算出两个如用计算机算出两个100100位的素数的乘积是一位的素数的乘积是一件容易的事，但如果给出一个件容易的事，但如果给出一个200200位的数，让位的数，让你找出它的分解式来，那就困难的多。你找出它的分解式来，那就困难的多。94.1.44.1.4算术基本定理算术基本定理v另一种算术：定义所有的偶数为一个数集另一种算术：定义所有的偶数为一个数集H H，H H中中不能分解为其余两个偶数的积的记为素偶数，而不能分解为其余两个偶数的积的记为素偶数，而能分解为其余两个偶数的积的数记为合偶数。能分解为其余两个偶数的积的数记为合偶数。v则则

8、2 2，6 6，1010，1414，1818为素偶数为素偶数,4,8,12,16,4,8,12,16为合为合偶数偶数,不难看出不难看出,每一个偶数每一个偶数,或者是素偶数或者是素偶数,或者是或者是合偶数合偶数.但其分解不唯一。如但其分解不唯一。如 420=6*70=10*42=14*30420=6*70=10*42=14*30。104.1.44.1.4算术基本定理算术基本定理v定理定理1 1每个大于每个大于1 1的整数要么是素数，要么是若的整数要么是素数，要么是若干素数的乘积。干素数的乘积。v定理定理2 2（算术基本定理）一个数的素因数分解（算术基本定理）一个数的素因数分解式是唯一的。式是唯一

9、的。v证明：用反证法，设证明：用反证法，设C C是不满足以上条件最小的数是不满足以上条件最小的数vC=C=pq,ppq,p 是最小的素数，则是最小的素数，则q q有唯一的素因数分解。有唯一的素因数分解。v则必有则必有C=C=kl,kkl,kp,ql plp,ql pl0-pl=(k-p)l0v但但p|c,p|c,所以所以p|d=p|d=kl-pl,p|lkl-pl,p|l或或p|(k-p),p|(k-p),矛盾。矛盾。114.1.54.1.5费马（费马（1601-16651601-1665）素数）素数在寻找素数的历史中在寻找素数的历史中,人们还不满足于仅仅寻找一人们还不满足于仅仅寻找一个一个的

10、具体的素数个一个的具体的素数,他们想到他们想到,要是有一个公式要是有一个公式,用用这个公式能够源源不断地求出所有的素数这个公式能够源源不断地求出所有的素数,那该多那该多好啊好啊!于是一场漫无边际的寻找素数公式的风潮席于是一场漫无边际的寻找素数公式的风潮席卷数百年的历史卷数百年的历史.可是可是,素数的分布如此没有规律素数的分布如此没有规律,以至于有道于此的以至于有道于此的数学家无从下手数学家无从下手,只好盲目地猜测只好盲目地猜测,也没有经过证明也没有经过证明,很难说一个公式到底对不对很难说一个公式到底对不对.一六四零年一六四零年,费马提出了一个猜测费马提出了一个猜测:124.1.54.1.5费马

11、素数费马素数一切形如一切形如 (x=1,2,3,.)(x=1,2,3,.)的数都是素数的数都是素数.就是今天我们所看到的就是今天我们所看到的“费马素数费马素数”.一般用一般用 来表示来表示.的确的确,n=0,1,2,3,4,n=0,1,2,3,4时时,得出的都是素数得出的都是素数:于是于是,费马宣称他找到了表示素数的公式费马宣称他找到了表示素数的公式.我们我们把形如把形如 的数称为费马素数的数称为费马素数.134.1.54.1.5费马素数费马素数然而然而,67,67年后的年后的17321732年年,二十五岁的年轻数学家欧拉二十五岁的年轻数学家欧拉发现发现:225+1=4294967297=24

12、225+1=4294967297=24(27)4+1(27)4+1 =(5 =(53+1)(27)4+13+1)(27)4+1 =(27=(275-54+1)(27)4+15-54+1)(27)4+1 =(1+27=(1+275)(27)4+1-(275)(27)4+1-(275)45)4 =(1+27 =(1+275)(27)4+(1-275)(27)4+(1-275)1+(275)1+(275)25)2 =641 =64167004176700417144.1.54.1.5费马素数费马素数18801880年年,兰凯又证明了兰凯又证明了F F6 6=27477=274776728042131

13、072167280421310721也是个也是个合数合数.接着人们陆续发现接着人们陆续发现n=7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,23,25,26,27,28,n=7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,23,25,26,27,28,29,30,32,36,38,39,42,52,55,58,62,63,29,30,32,36,38,39,42,52,55,58,62,63,66,71,73,75,77,81,91,93,99,117,125,144,147,150,201,205,66,71,73,75,77,8

14、1,91,93,99,117,125,144,147,150,201,205,207,215,226,228,250,255,267,268,275,207,215,226,228,250,255,267,268,275,284,287,298,316,329,334,398,416,452,544,556,637,692,7284,287,298,316,329,334,398,416,452,544,556,637,692,744,931,1551,1945,2023,2089,2456,3310,44,931,1551,1945,2023,2089,2456,3310,4724,6537

15、,6835,9428,9448,23471,.4724,6537,6835,9428,9448,23471,.等等都是合数等等都是合数.却再却再也没有找到一个费马素数也没有找到一个费马素数.154.1.54.1.5费马素数费马素数故事仍在继续故事仍在继续费马数后来又出现在用直尺和圆规作正多边形这费马数后来又出现在用直尺和圆规作正多边形这样一个完全不同的问题中。样一个完全不同的问题中。古希腊人对于寻找用圆规和直尺（无刻度的）作正多边形的方古希腊人对于寻找用圆规和直尺（无刻度的）作正多边形的方法十分感兴趣，当然对于等边三角形和正方形之些简单的情形，法十分感兴趣，当然对于等边三角形和正方形之些简单的

16、情形，利用不断地平分中心角的方法，他们能够作出具有利用不断地平分中心角的方法，他们能够作出具有4 4，8 8，1616，3232，2 2n n,或或3 3，6 6，1212，2424，3 32 2n n,个顶点的正多个顶点的正多边形，此外他们还能作正五边形，因此，也能作出具有边形，此外他们还能作正五边形，因此，也能作出具有5 5，1010，2020，4040，5 52 2n n,个顶点的正多边形，这样又可以得到个顶点的正多边形，这样又可以得到别外一系列的正多边形。别外一系列的正多边形。由于正十五由于正十五边边形的中心解是形的中心解是2424这这可由正五可由正五边边形中心角形中心角7272及正三

17、角形的中心角及正三角形的中心角120120来作出，由第一个角的两倍减去来作出，由第一个角的两倍减去第二个角得到。因此，我第二个角得到。因此，我们们能能够够作出作出边边数数为为1515，3030，6060，120120，15152 2n n,的正多的正多边边形。形。164.1.54.1.5费马素数费马素数对于正多边形的作图，直到数学家高斯对于正多边形的作图，直到数学家高斯（GaussGauss，1777185517771855）在）在18011801年发表了数论的年发表了数论的划时代著作划时代著作算术研究算术研究，才有了突破性的进，才有了突破性的进展。展。高斯超过希腊数学家的，不仅是他给出了一个

18、高斯超过希腊数学家的，不仅是他给出了一个利用圆规和直尺作正十七边形的方法，更重要利用圆规和直尺作正十七边形的方法，更重要的是他解决了哪些正多边形可以这样作出，而的是他解决了哪些正多边形可以这样作出，而哪些则不能哪些则不能 。174.1.54.1.5费马素数费马素数 定理定理4 4对奇数对奇数n n，当且仅当当且仅当n n是一个费马素数，是一个费马素数，或是若干个不同的费马素数的乘积时，正或是若干个不同的费马素数的乘积时，正n n边边形才能用直尺和圆规作出来。形才能用直尺和圆规作出来。从这个定理从这个定理,可以看出可以看出,对奇数对奇数n n，正，正3 3边形和正边形和正5 5边形可边形可以作出

19、以作出,但不能作出正但不能作出正7 7边形边形,因为因为7 7不是费马素数不是费马素数,也不也不能作出正能作出正9 9边形边形,因为因为9=3*39=3*3是两个相等的费马素数的乘是两个相等的费马素数的乘积积,也不能作出正也不能作出正1111边形和正边形和正1313边形边形,但可以作出正但可以作出正1515边边形和正形和正1717边形边形,然后就是然后就是51,85,255,257,51,85,255,257,这个定理的证明要借助伽罗瓦理论这个定理的证明要借助伽罗瓦理论.184.1.64.1.6完全数与梅森数完全数与梅森数梅森（梅森（MersenneMersenne Marin 1588-16

20、48 Marin 1588-1648），），法国数学家，法国数学家，自然哲学家和宗教学家，他在自然哲学家和宗教学家，他在16441644年提出了梅森素数，年提出了梅森素数，梅森素数的提出是探索素数公式的开始，在数论史上梅森素数的提出是探索素数公式的开始，在数论史上具有开拓性的意义。具有开拓性的意义。v定义定义形如形如 的数叫做梅森的数叫做梅森数，其中是素数的梅森数叫做梅森素数。数，其中是素数的梅森数叫做梅森素数。例例194.1.64.1.6完全数与梅森数完全数与梅森数梅森提出的问题虽然有启发性但判断有误。梅森提出的问题虽然有启发性但判断有误。他说，他说，然而，验证结果却是：然而，验证结果却是：

21、204.1.64.1.6完全数与梅森数完全数与梅森数v定理定理5 5证明略证明略据今为止发现的梅森数有据今为止发现的梅森数有3434个是素数。个是素数。从第从第1313个，即个，即M M521521开始，都是借助计算机陆续发现的。开始，都是借助计算机陆续发现的。214.1.64.1.6完全数与梅森数完全数与梅森数梅森数中梅森数中是否有无穷多个素数？这是一个没有解是否有无穷多个素数？这是一个没有解决的问题。决的问题。猜想：猜想：224.1.64.1.6完全数与梅森数完全数与梅森数v定义定义 一个自然数一个自然数n n称为完全数，如果它的全称为完全数，如果它的全 部因数之和等于部因数之和等于2n.

22、2n.234.1.64.1.6完全数与梅森数完全数与梅森数 244.1.64.1.6完全数与梅森数完全数与梅森数 回到完全数的问题。古希腊人已经知道回到完全数的问题。古希腊人已经知道4 4个完个完全数：全数：6 6，2828，496496，81288128。猜想：猜想：1 1）第）第n n个完全数恰有个完全数恰有n n位数字；位数字；2 2）偶完）偶完全数总是交替地以全数总是交替地以6 6和和8 8结尾。结尾。可惜这两个猜想都是错误的，不存在可惜这两个猜想都是错误的，不存在5 5位数字位数字的完全数，第的完全数，第5 5个完全数是个完全数是1515世纪发现的，它是世纪发现的，它是3355033

23、633550336。第。第6 6个完全数是个完全数是85898690568589869056，它的末位，它的末位数字也是数字也是6 6，而不是，而不是8 8。可以证明，偶完全数总是。可以证明，偶完全数总是以以6 6和和8 8 结尾，但不一定交替出现。结尾，但不一定交替出现。254.1.64.1.6完全数与梅森数完全数与梅森数 可以看到，完全数十分稀少，我们现在还不能可以看到，完全数十分稀少，我们现在还不能确定是否有无限个完全数。确定是否有无限个完全数。关于所有完全数的一般形式，欧几里得已经关于所有完全数的一般形式，欧几里得已经部分地解决了这个问题。他证明了：部分地解决了这个问题。他证明了：26

24、4.1.64.1.6完全数与梅森数完全数与梅森数v定理定理6 6这个定理说明，是否有无穷多个偶完全数的问题这个定理说明，是否有无穷多个偶完全数的问题归结为是否有无穷多个梅森素数的问题。由于目归结为是否有无穷多个梅森素数的问题。由于目前只知道前只知道3434个梅森素数，所以只知道个梅森素数，所以只知道3434个偶完全个偶完全数。数。274.1.64.1.6完全数与梅森数完全数与梅森数284.1.64.1.6完全数与梅森数完全数与梅森数294.1.64.1.6完全数与梅森数完全数与梅森数 目前只知道有目前只知道有3434个偶完全数。个偶完全数。是否有奇完全数？又是一个没有解决的问题！是否有奇完全数

25、？又是一个没有解决的问题！借助计算机可以证明：借助计算机可以证明：1)1)若若n n为奇完全数为奇完全数,则则n10n10300300；2)2)若若n n为奇完全数，则为奇完全数，则n n必有一个大于必有一个大于100110100110的的素因数素因数;3)3)若若n n为奇完全数，则为奇完全数，则n n的互异的素因数的个数的互异的素因数的个数至少是至少是8.8.304.1.74.1.7高斯的功绩高斯的功绩高斯（高斯（Gauss Carl Gauss Carl FriedrickFriedrick 1777-1855 1777-1855），），与阿基与阿基米德和牛顿并列为历史上最伟大的数学家。

26、米德和牛顿并列为历史上最伟大的数学家。v2424岁发表岁发表算术研究算术研究，是数学史上最出色的成，是数学史上最出色的成果之一。果之一。v利用数论对正利用数论对正n n边形作图问题提出了代数解法。边形作图问题提出了代数解法。v使用了复数，并在使用了复数，并在18311831年借助复数的平面表示建年借助复数的平面表示建立了严密的复数理论。立了严密的复数理论。v是首先认识到非欧几何存在的人，并奠定了曲面是首先认识到非欧几何存在的人，并奠定了曲面内蕴几何学的基础。内蕴几何学的基础。31324.24.2素数定理与哥德巴赫猜想素数定理与哥德巴赫猜想 4.2.14.2.1素数定理素数定理v定理定理1 1

27、素数有无穷多个。素数有无穷多个。v证明证明:反证法反证法v哈代评价说：哈代评价说：“我们最好还是回到古希腊人那我们最好还是回到古希腊人那里去，我要叙述并证明希腊数学中两个有名的里去，我要叙述并证明希腊数学中两个有名的定理，这两个定理都很简单。定理，这两个定理都很简单。”“在思想和演在思想和演算上都很简单，但毫无疑问它们是最高水平的算上都很简单，但毫无疑问它们是最高水平的定理。每一个定理现在仍然像它们刚发现时那定理。每一个定理现在仍然像它们刚发现时那样生机勃勃而举足轻重样生机勃勃而举足轻重两千年的岁月没有使两千年的岁月没有使它们产生一点陈旧感。它们产生一点陈旧感。”334.24.2素数定理与哥德

28、巴赫猜想素数定理与哥德巴赫猜想 4.2.14.2.1素数定理素数定理v欧几里得的证明带来了一个有趣的问题，如欧几里得的证明带来了一个有趣的问题，如 2*3*5*7*11+12*3*5*7*11+1这样的数是不是素数？这样的数是不是素数？v 344.24.2素数定理与哥德巴赫猜想素数定理与哥德巴赫猜想 4.2.14.2.1素数定理素数定理v定理定理2 2相邻素数的间距要多大有多大。相邻素数的间距要多大有多大。v证明证明:通过举例证明通过举例证明,存在存在999999个连续的自个连续的自然数然数,其中没有一个是素数其中没有一个是素数,它们是它们是:v1000!+2,1000!+3,1000!+41

29、000!+2,1000!+3,1000!+4 1000!+1000 1000!+1000。v同样的方法可以造出更大的间隔同样的方法可以造出更大的间隔,这样就这样就完成了定理的证明。完成了定理的证明。354.24.2素数定理与哥德巴赫猜想素数定理与哥德巴赫猜想 4.2.14.2.1素数定理素数定理v 2 2和和3 3是唯一一对相差为是唯一一对相差为1 1的素数。的素数。2 2和和5 5是唯一一是唯一一对相差为对相差为3 3的素数。的素数。2 2和和7 7是唯一一对相差为是唯一一对相差为5 5的素数。的素数。不存在一对相差为不存在一对相差为7 7的素数。的素数。v 相差为相差为2 2的素数比较多，

30、我们称其为孪生素数的素数比较多，我们称其为孪生素数,如如 3,53,5；5,75,7；11,13 11,13；17,1917,19；29,3129,31；41,4341,43 v孪生素数对的个数是有限还是无限是数论中最高深孪生素数对的个数是有限还是无限是数论中最高深的研究课题之一。的研究课题之一。v 364.24.2素数定理与哥德巴赫猜想素数定理与哥德巴赫猜想 4.2.14.2.1素数定理素数定理定理定理3(3(素数定理素数定理)定理定理4 4（切比雪夫（切比雪夫18481848）18961896年，法国数学家阿达马和泊松几乎同时相年，法国数学家阿达马和泊松几乎同时相互独立证明了素数定理。但比

31、较初等的证明直互独立证明了素数定理。但比较初等的证明直到到19491949年才给出年才给出。374.2.24.2.2哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想17421742年，德国数学家哥德巴赫（年，德国数学家哥德巴赫（Christian Christian Goldbach,1690-1764Goldbach,1690-1764）在和欧拉的几次通信中，提出了在和欧拉的几次通信中，提出了关于正整数和素数之间关系的两个推测，即：关于正整数和素数之间关系的两个推测，即：（A A）每一个不小于每一个不小于6 6的偶数都是两个奇素数之和；的偶数都是两个奇素数之和；（B B）每一个不小于每一个不小于9 9的奇数都是三个

32、奇素数之和；的奇数都是三个奇素数之和；这就是著名的哥德巴赫猜想。这就是著名的哥德巴赫猜想。我们把猜想（我们把猜想（A A）称为称为“关于偶数的哥德巴赫猜想关于偶数的哥德巴赫猜想”；把猜想（把猜想（B B）称为称为“关于奇数的哥德巴赫猜想关于奇数的哥德巴赫猜想”。由（由（A A）的正确性可以推出（的正确性可以推出（B B）的正确性。的正确性。384.2.24.2.2哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想6=3+3 8=3+5 6=3+3 8=3+5 10=5+5 12=5+7 10=5+5 12=5+7 14=7+7=3+11 16=3+13=5+1114=7+7=3+11 16=3+13=5+1118=5+

33、13=7+11 20=3+17=7+13 18=5+13=7+11 20=3+17=7+13 22=3+19=5+17=11+11 24=5+19=7+17=11+13 22=3+19=5+17=11+11 24=5+19=7+17=11+13 26=3+23=7+19=13+13 28=5+23=11+1726=3+23=7+19=13+13 28=5+23=11+1730=7+23=11+19=13+17 30=7+23=11+19=13+17 394.2.24.2.2哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想欧拉虽然没能证明这两个猜想，但肯定上述猜想欧拉虽然没能证明这两个猜想，但肯定上述猜想是正确的。直至

34、今天人们还不能最后的肯定它的是正确的。直至今天人们还不能最后的肯定它的真伪真伪，为了证明它人们付出了艰巨的努力。为了证明它人们付出了艰巨的努力。从提出猜想到从提出猜想到1919世纪结束这世纪结束这160160年，虽然许多年，虽然许多数学家对它进行了研究，但是没有得到任何实质数学家对它进行了研究，但是没有得到任何实质性的结果。这些研究大多是对猜想进行数值的验性的结果。这些研究大多是对猜想进行数值的验证（有人企图推翻它），提出一些简单的关系式证（有人企图推翻它），提出一些简单的关系式或进行一些新的推测。或进行一些新的推测。404.2.24.2.2哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 19001900年，希尔伯

35、特提出了年，希尔伯特提出了2323个比较重要的没个比较重要的没有解决的数学问题，并期待在新世纪有较大的突有解决的数学问题，并期待在新世纪有较大的突破。哥德巴赫猜想是其第八个问题的一部分。破。哥德巴赫猜想是其第八个问题的一部分。19121912年，年，朗道比较悲观的认为，即使要证明：朗道比较悲观的认为，即使要证明：“存在一个正整数存在一个正整数k k，使每一个大于等于使每一个大于等于2 2的整数的整数都是不超过都是不超过k k个素数之和。个素数之和。”也是非常困难的。也是非常困难的。19211921年，哈代认为哥德巴赫猜想可能是没有解年，哈代认为哥德巴赫猜想可能是没有解决的数学问题中的最困难的一

36、个。决的数学问题中的最困难的一个。414.2.24.2.2哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 但是，从但是，从19201920年开始，哥德巴赫猜想陆续取得年开始，哥德巴赫猜想陆续取得了一系列的突破。了一系列的突破。19371937年，苏联数学家年，苏联数学家阿阿 .维诺克拉多夫（维诺克拉多夫（1891-1891-19831983）证明了每一个充分大的奇数都是三个奇素数的）证明了每一个充分大的奇数都是三个奇素数的和。和。19381938年，华罗庚及一些国外的数学家独立地年，华罗庚及一些国外的数学家独立地证明了，证明了，哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想对对几乎所有的偶数都成立。几乎所有的偶数都成立。424.2.24

37、.2.2哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 殆素数指素因数个数不超过某一常数的自然数，殆素数指素因数个数不超过某一常数的自然数，每一个充分大的偶数都是素因数个数分别不超过每一个充分大的偶数都是素因数个数分别不超过a a和和b b的殆素数之和，记为（的殆素数之和，记为（a a，b b）。）。定理定理4(4(布朗布朗1920)1920)每一个充分大的偶数都可每一个充分大的偶数都可以表示为素因数个数不超过以表示为素因数个数不超过9 9的两个殆素数之和，的两个殆素数之和，即即(9,9)(9,9)成立。成立。定理定理5(5(瑞尼瑞尼,1948),1948)存在一个正常数存在一个正常数c,c,使每使每一个充分大的偶

38、数都可以表为一个素数与一个不一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个不超过超过c c的殆素数之和，即（的殆素数之和，即（1 1，c c）成立。成立。434.2.24.2.2哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想v19561956年，王元证明了年，王元证明了(3,4)(3,4)。同年，阿。同年，阿 .维诺克拉维诺克拉多夫证明了多夫证明了(3,3)(3,3)。19571957年，王元又证明了年，王元又证明了(2,3)(2,3)。v19621962年，潘承洞证明了年，潘承洞证明了(1,5)(1,5)。19631963年，潘承洞年，潘承洞与巴尔巴恩又分别证明了与巴尔巴恩又分别证明了(1,4)(1,4)。196519

39、65年，阿年，阿 .维诺维诺克拉多夫，布赫夕塔布与朋比尼都证明了克拉多夫，布赫夕塔布与朋比尼都证明了(1,3)(1,3)。444.2.24.2.2哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想v19661966年，我国著名数学家陈景润对筛法作了年，我国著名数学家陈景润对筛法作了重要改进之后证明了（重要改进之后证明了（1 1，2 2），也称），也称1+21+2。v这是一个非常杰出的成就。这是一个非常杰出的成就。v从从19371937年以来，许多数学家年以来，许多数学家哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想都都做了许多工作，并取得了巨大的进展。尽管如做了许多工作，并取得了巨大的进展。尽管如此，人们还看不到此，人们还看不到哥德巴赫猜想

40、解决的最后日哥德巴赫猜想解决的最后日程。程。454.2.24.2.2哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想v有关素数的十二个未解决的问题：有关素数的十二个未解决的问题：1 1）是否存在大于）是否存在大于2 2的偶数，不是两个素数之和？的偶数，不是两个素数之和？2 2）是否存在大于）是否存在大于2 2的偶数，不是两个素数的差？的偶数，不是两个素数的差？3 3）是否存大无穷多对孪生素数？）是否存大无穷多对孪生素数？4 4）是否存在无穷多个梅森素数？）是否存在无穷多个梅森素数？5 5）是否存在无穷多个梅森数是复合数？）是否存在无穷多个梅森数是复合数？6 6）是否存在无穷多个费马素数）是否存在无穷多个费马素数？46

41、4.2.24.2.2哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想v有关素数的十二个未解决的问题：有关素数的十二个未解决的问题：7 7）是否存在无穷多个费马数是复合数？）是否存在无穷多个费马数是复合数？8 8）是否存在无穷多个素数具有）是否存在无穷多个素数具有 的形式，其中的形式，其中x x是是整数？整数？9 9）是否存在无穷多个素数具有）是否存在无穷多个素数具有 的形式，其中的形式，其中k k是给定的整数？是给定的整数？1010）对每一个整数）对每一个整数n n，是否在是否在n n2 2与（与（n+1n+1）2 2之间都至少之间都至少存在一个素数？存在一个素数？474.2.24.2.2哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想v有关素数的十二个未解决的问题：有关素数的十二个未解决的问题：1111）对每一个整数）对每一个整数n1n1，是否在是否在n n2 2与与n n2 2+n+n间都至少存在间都至少存在一个素数？一个素数？12)12)是否有无穷多个素数，其每一位都是是否有无穷多个素数，其每一位都是1 1（如，（如，1111，111111111111111111111111111111111111）？）？48