经济数学无穷级数.pptx

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1、一、无穷级数的概念1、无穷级数的概念定义1设给定一个数列：称（1）为无穷级数，简称级数.一般项为无穷级数，简称级数.为数时，称为数项级数.为x的函数时，称为函数项级数.第1页/共105页前 项和称为(1)的部分和.构成一个新的数列:2、级数的收敛与发散称为部分和数列第2页/共105页记若不存在,则称级数(1)发散.若称 为级数(1)的余项若则称级数(1)收敛,且收敛和为定义23、数项级数的敛散性的概念若则称级数(1)收敛,且收敛和为第3页/共105页所以,级数发散.例1.判别级数的敛散性.解第4页/共105页例2.判别级数的敛散性.解所以,原级数收敛,且收敛和为1.第5页/共105页例4.判别

2、级数的敛散性.解:(1).级数收敛.第6页/共105页例5.讨论等比级数(几何级数)的敛散性 （q 称为级数的公比，a0）解:1).当时,发散;第7页/共105页3).当时,当时,收敛;2).当时,发散;第8页/共105页当时,发散.当时,收敛于当时,发散.第9页/共105页发散例如第10页/共105页例4.证明调和级数发散.证明反证法第11页/共105页与假设矛盾，所以,原级数必发散于是第12页/共105页二、无穷级数的基本性质性质1证第13页/共105页若则证收敛级数的线性组合仍收敛.性质2第14页/共105页性质3证加括号后得(2)(2)的前m项和相当于(1)的前n 项和.收敛级数加括号

3、后所得新级数仍收敛,且收敛和不变显然，Wm是Sn的一个子数列设(1)第15页/共105页(1).收敛级数去掉括号后所得级数未必收敛.反例:收敛,(2).若加括号后所得级数收敛,则原级数未必收敛.注意(3).若加括号后所得级数发散,则原级数发散.第16页/共105页性质4增加、去掉或改变级数的前有限项，级数敛散性不变.证级数(1)去掉前项得级数(2)为常数,故当时,与的极限同时存在或不存在.所以级数(1)与(2)具有相同的敛散性.其它情况类似可证.级数(2)的前n项和为第17页/共105页例如,与具有相同的敛散性,均收敛.但收敛和不同级数的敛散性与前有限项无关.第18页/共105页性质5证（1)

4、.条件必要而不充分,即逆命题不成立.由,不能断定收敛.收敛，（级数收敛的必要条件）若则注意第19页/共105页例如,调和级数但该级数发散(2).逆否命题成立.若则一定发散.例如,因发散第20页/共105页例4.判别级数的敛散性.解:(1).级数收敛.第21页/共105页1、正项级数及其敛散性判别正项级数：部分和数列单增：正项级数收敛 的充要条件是部分和数列有界.定理1三、常数项级数收敛性判别法2、正项级数敛散性的判别第22页/共105页(比较判别法)设1).若收敛,则收敛;2).若发散,则发散.证.定理2第23页/共105页第24页/共105页推论设都是正项级数,2）若 发散，则 发散。1）若

5、 收敛，则 收敛。第25页/共105页级数,当时收敛;当时发散.结论比较判别法:将要判定的级数与已知收敛或发散的级数作比较解发散.则当时,有第26页/共105页当时;第27页/共105页第28页/共105页例如,发散;收敛.第29页/共105页例1.判别下列级数的敛散性:解发散,故原级数发散第30页/共105页故原级数收敛.收敛,例2解第31页/共105页第32页/共105页定理3设为正项级数,(1)若则敛散性相同.(比较判别法的极限形式)第33页/共105页(2)若则第34页/共105页(2)若则第35页/共105页例1.判别下列级数的敛散性:解发散,故原级数发散第36页/共105页收敛,故

6、原级数收敛第37页/共105页发散,故原级数发散第38页/共105页例2.判别级数的敛散性:解取因发散,故原级数发散.例3.判别级数的敛散性.解 取收敛,故原级数收敛.第39页/共105页例4.判别级数的敛散性.解 而级数收敛,故原级数收敛.取第40页/共105页定理4设正项级数当时,级数收敛;当发散;当时,敛散性不定.(比值判别法)第41页/共105页解:级数收敛.级数发散.例5.判别级数的敛散性:第42页/共105页级数收敛.第43页/共105页解.级数收敛.例6.判别级数的敛散性:第44页/共105页收敛,故原级数收敛.第45页/共105页收敛,故原级数收敛.而第46页/共105页定理5

7、设正项级数当时,级数收敛;当发散;当时,敛散性不定.(柯西根值判别法)第47页/共105页例7.判别级数的敛散性:解.级数收敛.第48页/共105页级数收敛.原级数收敛.第49页/共105页2、交错级数及其判别法交错级数：或即，正负项相间的级数为交错级数。定理若满足:则级数收敛,其余项(莱布尼茨定理)且第50页/共105页证.单增且有上界,证毕故第51页/共105页例1.判定级数的敛散性:解.所以级数收敛.所以级数收敛.第52页/共105页例3.判定级数的敛散性,解原级数发散.第53页/共105页解原级数收敛.第54页/共105页（1）任意项级数：为任意实数.3、任意项级数的绝对收敛和条件收敛

8、正项级数,交错级数是任意项级数的特殊情况第55页/共105页必定收敛.证设收敛,令由正项级数比较判别法知收敛.收敛,若级数则级数定理7 第56页/共105页1).逆命题不成立.注意由性质知,收敛.证毕.第57页/共105页发散收敛.例如 第58页/共105页解故由定理知原级数收敛.对应的正项级数为第59页/共105页1).若收敛,则称为绝对收敛.2).若收敛,但发散,则称为条件收敛.（2）绝对收敛、条件收敛.正项级数收敛时一定是绝对收敛注意第60页/共105页解故由定理知原级数收敛.对应的正项级数为第61页/共105页例2.判定级数的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛?解故原级数绝对收

9、敛.第62页/共105页例3.判定级数的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛?解对应的正项级数为第63页/共105页因为所以发散第64页/共105页所以有故原级数收敛，且为条件收敛。第65页/共105页定理8设任意项级数当时,级数绝对收敛;当发散;当时,敛散性不定.第66页/共105页发散.若由比值审敛法或根值审敛法判定发散,则可以断定注意第67页/共105页例4.判定级数的敛散性,解可见，第68页/共105页总之，级数当|x|1或 x=-1时，发散.发散.收敛当 x=1时，级数当 x=1时，级数第69页/共105页1、函数项级数的概念函数项级数：（1）对确定的点若收敛，称为级数(1)的

10、一个收敛点若发散，称为级数(1)的一个发散点级数(1)收敛点的全体称为它的收敛域.四、函数项级数与 幂级数第70页/共105页对收敛域内每一点和函数:记则称为余项.例如,第71页/共105页2、幂级数及其收敛性形如：特别地（1）（2）(1)是关于的幂级数，(2)是关于的幂级数.例如,幂级数当时,它收敛于当时发散.的收敛域为:第72页/共105页(1).如果 l|x|1,发散(3).如果 l|x|=1,可能收敛可能发散2.如果 l=0,对任何 x 都绝对收敛.3.如果 l=,对 x=0 收敛，对非零 x 都发散.1.如果 l 0第73页/共105页综上 若幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴

11、上都收敛,则必有一个确定的正数 R存在,使得当时,幂级数绝对收敛;当时,幂级数发散;当时,幂级数可能收敛也可能发散;正数 R称为幂级数的收敛半径.收敛区间为:其中之一.例如,存在数R=1,当时当时发散.所以的收敛半径为收敛区间为R=1,第74页/共105页定理2.(幂级数收敛半径的求法)设对于幂级数(2)其中是(2)中相邻两项的系数.则其收敛半径为:例1.求幂级数的收敛半径与收敛区间.解所以当时,发散;当时,收敛收敛区间为:第75页/共105页例2.求幂级数的收敛区间.解当时,收敛;当时,收敛.收敛区间为:例3.求幂级数的收敛半径及收敛区间:收敛区间为:级数只在 x=0 处收敛.第76页/共1

12、05页例4.求幂级数的收敛区间.解令则幂级数变为:收敛半径当时,收敛;当时,发散.收敛区间为:即即所以,原级数的收敛区间为:第77页/共105页例5.求幂级数的收敛半径.解(利用正项级数的比值收敛法)当即时,级数收敛;当即时,级数发散所以,收敛半径为另解令则级数变为:所以,原级数的收敛半径为:第78页/共105页1、幂级数的运算设幂级数的收敛半径分别为则且1).2).其中性质1.（1）四则运算第79页/共105页（1）分析运算幂级数在收敛区域内,和函数满足:性质2在内连续;(2).在内可导,且可逐项求导;(3).在内可积,且可逐项求积;逐项求导或逐项求积后所得幂级数具有与原级数相同的收敛半径,

13、但收敛区域可能改变,主要体现在端点处.说明(1)第80页/共105页例1.求幂级数在收敛区间(-1,1)内的和函数.解设两边求导得两边积分得因所以第81页/共105页例2.求幂级数内的和函数.解:设两边积分得两边求导得另解第82页/共105页例3.求幂级数的和函数.解 幂级数的收敛区间为设两边求导,两边积分,当时,易见,所以第83页/共105页五、函数的幂级数展开1、泰勒级数2、函数展开成幂级数直接展开间接展开第84页/共105页1、泰勒级数泰勒公式若函数在某邻域内有直到阶的导数，则拉格郎日型余项(1)为的泰勒级数.若在某邻域内有任意阶导数，称(2)第85页/共105页为的泰勒级数.(2)在(

14、2)中,特别地(3)称为函数的马克劳林级数.若能展成的幂级数的话,则展开式唯一,就是它的马克劳林级数第86页/共105页2、函数展开成幂级数.1o.直接展开法(1).求出的各阶导数:(2).求函数及各阶导数在处的函数值:(3).写出幂级数:并求出收敛半径R.(4).考察当时,是否为零?若则按以下步骤进行:第87页/共105页例1.将函数展开成的幂级数.解的麦克劳林级数为:考察级数级数收敛,所以第88页/共105页例2.将函数展成的幂级数.解的麦克劳林级数为:第89页/共105页例3.将函数展成的幂级数.其中m为任意常数.解所以得级数可以证明，该级数收敛于函数第90页/共105页二项展开式特别地

15、,第91页/共105页2o.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算法则(四则法则,逐项求导逐项求积),将所给函数展成幂级数.常用的函数展开式有:第92页/共105页例4.将函数展开成的幂级数.解由知例5.将函数展开成的幂级数.解由两边求导得第93页/共105页例6.将函数展开成的幂级数.解知即若内的展式已得到,而级数处仍收敛,且处连续,则展式处也成立.由说明尤其是经过求导或求积后得到的展式,必须考虑在端点的情况.第94页/共105页解两边积分得因所以当时,收敛,当时,收敛,所以例7.将函数 展开成幂级数第95页/共105页例8.将函数 展开成 的幂级数.解两边积分得当时,当时,发散,

16、收敛.第96页/共105页例9.将函数展开成的幂级数.解由得例10.将函数展开成的幂级数.解第97页/共105页例11.将函数展开成的幂级数.解由得第98页/共105页例12.将函数展开成的幂级数.解由且得第99页/共105页利用函数的幂级数展开式进行近似计算 例1计算要求误差不超过 0.0001.解 由二项展开式4、幂级数的应用举例取第100页/共105页若取前两项和作为其近似值,其误差(截断误差)为:为了使“四舍五入”引起的误差(舍入误差)与截断误差之和不超过 0.0001,计算时应取五位小数,然后再四舍五入.说明第101页/共105页例2.计算的近似值,要求误差不超过 0.0001.解计算量太大,不可取.令得第102页/共105页例3.计算的近似值,误差不超过 0.0001.解第103页/共105页例4 计算积分的近似值，要求误差不超过0.0001解因所给积分不是广义积分，定义则它在积分区间0，1上连续.由知因所以取前三项和作为积分的近似值.第104页/共105页感谢您的观看！第105页/共105页