(2.1)--实用大众线性代数课件第２章.ppt

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1、第第2 2章章 矩阵运算及其应用矩阵运算及其应用 把多个线性系统相互联接，构成更大、更把多个线性系统相互联接，构成更大、更复杂的系统，是线性代数要完成的重要任复杂的系统，是线性代数要完成的重要任务，这就需要建立矩阵代数的理论和算法。务，这就需要建立矩阵代数的理论和算法。2.1.1 2.1.1 矩阵的加法矩阵的加法四超市上下两个半年的销售清单四超市上下两个半年的销售清单 上半年销售表上半年销售表大米大米面粉面粉食油食油超市一超市一1501502502505050超市二超市二250250500500100100超市三超市三300300700700120120超市四超市四45045085085080

2、80 下半年销售表下半年销售表大米大米面粉面粉食油食油超市一超市一1801803503506060超市二超市二300300550550120120超市三超市三350350850850150150超市四超市四500500850850100100例例2.1 2.1 四个超市销售情况如四个超市销售情况如下下表表：全年里的销售情况所对应的矩阵全年里的销售情况所对应的矩阵C C，例例2.1 2.1 把上把上表表内容内容写成矩阵写成矩阵形式：形式：2.1.2 2.1.2 矩阵的数乘矩阵的数乘例例2.2 2.2 甲、乙、丙三位同学在期末考试中，甲、乙、丙三位同学在期末考试中，4 4门课程门课程的成绩分别由的

3、成绩分别由矩阵矩阵A A给出，而他们的平时成绩则由给出，而他们的平时成绩则由矩阵矩阵B B给给出，若期末考试成绩占总成绩的出，若期末考试成绩占总成绩的9090，而平时成绩占，而平时成绩占1010，请请计算计算这三名同学的总成绩。这三名同学的总成绩。解：用矩阵解：用矩阵C C表示表示总成绩，显然有总成绩，显然有:C=C=0.9A+A+0.1B=B=数乘的定义及运算规则数乘的定义及运算规则定义定义2.2 2.2 数数与矩阵与矩阵 的乘积，简称数乘，记作的乘积，简称数乘，记作A A或或A A ，规定为，规定为数乘的定义及运算规则数乘的定义及运算规则矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算，运算规律：矩阵

4、的加法和数乘统称为矩阵的线性运算，运算规律：（1 1）加法交换律：）加法交换律：A+B=B+A A+B=B+A（2 2）加法结合律：）加法结合律：A+(B+C)=(A+B)+C A+(B+C)=(A+B)+C（3 3）数乘结合律：）数乘结合律：（4 4）数乘分配律：）数乘分配律：矩阵的乘法矩阵的乘法例例2.3 2.3 有甲、乙、丙、丁有甲、乙、丙、丁4 4个服装厂，一个个服装厂，一个月的产量情况由表月的产量情况由表2.52.5给出，若甲厂生产给出，若甲厂生产8 8个月，乙厂生产个月，乙厂生产1010个月，丙厂生产个月，丙厂生产5 5个月，个月，而丁厂生产而丁厂生产9 9个月，则共生产帽子、衣服

5、、个月，则共生产帽子、衣服、裤子各多少？用矩阵来描述。裤子各多少？用矩阵来描述。表表2.5 2.5 服装厂的月产量服装厂的月产量甲甲乙乙丙丙丁丁帽帽20204 42 27 7衣衣101018185 56 6裤裤5 57 716163 3矩阵乘法定义矩阵乘法定义 定义定义2.3 2.3 设设A A是是m mss矩阵，矩阵，B B是是snsn矩阵，那么矩阵，那么A A与与B B的的乘积是一个乘积是一个mnmn矩阵矩阵C C，记作，记作C=A*BC=A*B。其中。其中C C的各个元素为：的各个元素为：矩阵乘法矩阵乘法3 3要点：要点：（1 1）ABAB可乘条件：可乘条件：A A的列数的列数=B=B的

6、行数的行数（2 2）ABAB乘积乘积C C的形状：的形状：A A的行的行*B B的列的列（3 3）ABAB乘积乘积C C的元素构成：的元素构成：A A的行与的行与B B的列的内积的列的内积矩阵乘法不符合交换律矩阵乘法不符合交换律例如例如1 1：但但BABA，就没有，就没有意义。意义。例如例如2 2：定义定义2.42.4线性变换线性变换对于对于变变量量 ，若它们能由，若它们能由变量变量 线性表示，即有：线性表示，即有：则称此关系式为变量到变量的线性变换。可以则称此关系式为变量到变量的线性变换。可以写成输出向量写成输出向量Y Y等于系数矩阵等于系数矩阵A A左乘输入向量左乘输入向量X X：例例2.

7、5 2.5 多次线性变换等价于矩阵连乘多次线性变换等价于矩阵连乘设设写成写成Y=AXY=AX及及 写成写成=BT=BT则有：则有：线性方程组看做矩阵乘式线性方程组看做矩阵乘式线性方程组线性方程组可看成系数矩阵可看成系数矩阵A A与输入变量与输入变量X X的乘积：的乘积：A*X=bA*X=b例例2.62.6已知已知 ，求，求ABAB和和BABAABABBABA不成立，因为内阶数不等。不成立，因为内阶数不等。例例例例2.7 2.7 2.7 2.7 已知已知已知已知求求求求ABABABAB和和和和BABABABA。解：解：矩阵乘法与标量乘法的不同矩阵乘法与标量乘法的不同（1 1）矩阵乘法不满足交换律

8、，即在一般情况下）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下ABABBA.BA.（2 2）不能由）不能由AB=0AB=0，推出，推出A=0A=0或或B=0.B=0.比如比如 却有却有AB=0.AB=0.（3 3）不能由）不能由AC=AB,A0,AC=AB,A0,推出推出B=CB=C。上题若设。上题若设 ，同样有，同样有AB=AC=0AB=AC=0，但，但BCBC。要注意，有些我们习惯的标量运算的公式，其中隐含地包要注意，有些我们习惯的标量运算的公式，其中隐含地包含了乘法交换律，这些公式在矩阵运算中也不能使用。如含了乘法交换律，这些公式在矩阵运算中也不能使用。如 矩阵乘法满足的规律矩阵乘法满足的规律(

9、1)(1)(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)(2)(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)CA(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BCAC+BC(3)(3)(AB)=(AB)=(A)B=A(A)B=A(B)B)(4)(4)A AmnmnI In n=I=Im mA Amn mn=A=Amnmn(5)(5)设设A A，B B均为下（上）三角方阵，则均为下（上）三角方阵，则C=ABC=AB也是下也是下（上）三角方阵，且（上）三角方阵，且C C的对角主元逐项等于的对角主元逐项等于A A和和B B的的对角主元的乘积。对角主元的乘积。如如，2.1.4 2.1.4 矩阵的转置矩阵的转置

10、 定义定义2.5 2.5 设设A A是一个是一个m mnn矩阵，将矩阵中所有矩阵，将矩阵中所有i i行行j j列的元列的元素素a(i,j)a(i,j)换到换到j j行行i i列位置，得到的一个列位置，得到的一个nmnm矩阵，称为矩阵，称为A A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作A AT T，在，在MATLABMATLAB中记作中记作AA。例如：例如：2.1.4 2.1.4 矩阵的转置矩阵的转置 矩阵转置满足以下运算规律矩阵转置满足以下运算规律：（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）定义定义 如果阶方阵满足如果阶方阵满足A AT TA A，则称，则称A A为对称矩阵。为对称矩阵。如如：2.2 2

11、.2 矩阵的逆矩阵的逆引例引例 已知变量到变量的线性变换已知变量到变量的线性变换 现在要研究它的逆运算，即变量现在要研究它的逆运算，即变量Y Y到变量到变量X X的线性变换的线性变换:X=VYX=VY 称称V V为为A A的逆矩阵。对于数的乘法的逆矩阵。对于数的乘法y=axy=ax，想用变量来表示，想用变量来表示变量，当变量，当a a00时，可写成时，可写成x=ax=a-1-1y y。自然地联想到，是否可。自然地联想到，是否可以把式（以把式（2.2.12.2.1）中的系数矩阵也）中的系数矩阵也“搬搬”到等式的另一边，到等式的另一边，从而得到该式的逆变换：从而得到该式的逆变换：A A-1-1Y=

12、XY=X逆矩阵是否存在？如果存在，又如何求得？这是一个极逆矩阵是否存在？如果存在，又如何求得？这是一个极为重要的问题。为重要的问题。2.2.1 2.2.1 逆矩阵的定义逆矩阵的定义定义定义2.7 2.7 设为设为A A为为n n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n n阶方阵阶方阵V V，使得，使得AV=IAV=In n，其中，其中I In n为为n n阶单位矩阵，则称为阶单位矩阵，则称为A A可逆矩阵或是可逆矩阵或是可逆的，并称可逆的，并称V V为为A A的逆矩阵。的逆矩阵。如果如果A A的逆矩阵为的逆矩阵为V V，记，记A A-1-1=V=V，显然，显然，V V的逆矩阵为的逆矩阵为A A，记记V

13、V-1-1=A=A，我们也称矩阵，我们也称矩阵A A和矩阵和矩阵V V互逆。互逆。例例2.8 2.8 设设 故故A,BA,B互逆，互逆，C,DC,D也互逆。也互逆。2.2.2 逆矩阵的性质1.1.如果矩阵如果矩阵A A可逆，则可逆，则A A的逆矩阵唯一。的逆矩阵唯一。2.2.若若A A和和B B为同阶可逆方阵，且满足为同阶可逆方阵，且满足AB=IAB=I，则，则BA=IBA=I，即矩阵，即矩阵A A和和B B互逆。互逆。3.3.若若A A可逆，则可逆，则A A-1-1也可逆，且也可逆，且(A(A-1-1)-1-1=A=A。4.4.若若A A可逆，数可逆，数0 0，则，则A A可逆，且可逆，且

14、(A)A)-1-1=A=A-1-1-1-15.5.若若A A、B B均为均为n n阶可逆方阵，则阶可逆方阵，则ABAB也可逆，且也可逆，且(AB)(AB)-1-1=B=B-1-1A A-1-1。此性质可推广至此性质可推广至k k个同阶方阵连乘的情况：个同阶方阵连乘的情况：逆矩阵的求法：逆矩阵的求法：1.1.按定义求，设二阶方阵按定义求，设二阶方阵A A的逆阵为的逆阵为V V，按乘法规则展开，得到关于四个未知数按乘法规则展开，得到关于四个未知数v vijij的四个线性方程，的四个线性方程，解出：解出：即即但这个求逆方法太复杂，二阶矩阵要解四个联立方程，三阶矩但这个求逆方法太复杂，二阶矩阵要解四个

15、联立方程，三阶矩阵就要解阵就要解9 9个联立方程，个联立方程，。计算量最少的矩阵求逆方法是高。计算量最少的矩阵求逆方法是高斯消元法，将在斯消元法，将在2.42.4节介绍。节介绍。2.2.3 2.2.3 逆矩阵看作矩阵除法逆矩阵看作矩阵除法MATLABMATLAB中对逆矩阵的计算提供了多种内部函数，工程中只中对逆矩阵的计算提供了多种内部函数，工程中只需调用，不必自己编程。下面列举几种函数或运算符，它需调用，不必自己编程。下面列举几种函数或运算符，它增强了编程的灵活性。调用时注意，增强了编程的灵活性。调用时注意，A A必须是必须是nnnn方阵。方阵。(1)(1)逆函数逆函数 V=inv(A)V=i

16、nv(A)；(2)(2)负指数负指数V=A-1V=A-1；特别有趣的是，尽管矩阵理论中没有矩阵除法的定义，但特别有趣的是，尽管矩阵理论中没有矩阵除法的定义，但MATLABMATLAB创新地把创新地把“乘以逆阵乘以逆阵”看作除法，因为有左乘和右看作除法，因为有左乘和右乘的不同，运算符也有左除乘的不同，运算符也有左除”和右除和右除”/”/”的差别。的差别。(3)(3)左除左除 V=Aeye(n)V=Aeye(n)；A A-1-1B B可写成算式可写成算式ABAB，B B可以不是方可以不是方阵，但其行数要等于阵，但其行数要等于n n。(4)(4)右除右除 V=eye(n)/AV=eye(n)/A；B

17、ABA-1-1可写成算式，可写成算式，B/AB/A，B B可以不是可以不是方阵，但其列数要等于方阵，但其列数要等于n n。2.3 2.3 矩阵的分块矩阵的分块将矩阵将矩阵A A分为若干个小矩阵，每一个小矩阵称为分为若干个小矩阵，每一个小矩阵称为A A的子块的子块 最有用的分块方法是按行和按列分块。如下所示，最有用的分块方法是按行和按列分块。如下所示，其中其中为行向量，为行向量，为列向量为列向量矩阵矩阵A A既可看作行向量既可看作行向量的组合，也可以看作列向量的组合，也可以看作列向量的组合。的组合。分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则矩阵分块以后，其加减、数乘、乘法、转置等四则运算矩阵分块以后，

18、其加减、数乘、乘法、转置等四则运算规则仍然适用。所以分块矩阵相加时，两个矩阵及其子规则仍然适用。所以分块矩阵相加时，两个矩阵及其子矩阵必须保持同型；相乘时，左乘矩阵及其子矩阵的列矩阵必须保持同型；相乘时，左乘矩阵及其子矩阵的列数必须等于右乘矩阵及其子矩阵的行数。数必须等于右乘矩阵及其子矩阵的行数。设设：其中其中例例2.92.9分块乘法举例分块乘法举例利用分块矩阵的概念，把下列线性方程组写成向量等式。利用分块矩阵的概念，把下列线性方程组写成向量等式。解：线性方程组的矩阵可看做四个列矩阵（列向量）乘以解：线性方程组的矩阵可看做四个列矩阵（列向量）乘以四个行元素：四个行元素：化成了向量等式。化成了向

19、量等式。2.4 2.4 初等矩阵初等矩阵2.4.1 2.4.1 用矩阵乘法实现行初等变换用矩阵乘法实现行初等变换方程组的三种初等变换都可以用初等矩阵左乘方程组的三种初等变换都可以用初等矩阵左乘A A来实现。来实现。(1)(1)消元变换阵左乘消元变换阵左乘A A得：得：(2)(2)位置位置变换阵左乘变换阵左乘A A得：得：(3)(3)数乘变换阵左乘数乘变换阵左乘A A得：得：初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵这三种初等变换矩阵是可逆的：这三种初等变换矩阵是可逆的：其逆阵为：其逆阵为：关于初等矩阵和方阵的定理关于初等矩阵和方阵的定理把三种初等矩阵统称为把三种初等矩阵统称为Q Q，总结出两个定理。，总

20、结出两个定理。定理定理2.1 2.1 设设A A是一个矩阵，对是一个矩阵，对A A施行一次初等行变换，施行一次初等行变换，其结果等于在其结果等于在A A的左边乘以相应的的左边乘以相应的m m阶初等矩阵阶初等矩阵Q Q。关于初等矩阵和方阵的定理关于初等矩阵和方阵的定理定理定理2.2 2.2 设设A A为为n n阶方阵，那么下面各命题等价，互阶方阵，那么下面各命题等价，互为充要条件为充要条件:A A是可逆矩阵；是可逆矩阵；线性方程组线性方程组Ax=0Ax=0只有零解；只有零解；A A可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵；可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵；A A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。可

21、以表示为有限个初等矩阵的乘积。定理定理.的证明的证明定理定理2.2 2.2 设设A A为为n n阶方阵，那么下面各命题等价，互为充要阶方阵，那么下面各命题等价，互为充要条件条件:A A是可逆矩阵；是可逆矩阵；线性方程组线性方程组Ax=0Ax=0只有零解；只有零解；A A可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵；可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵；A A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。可以表示为有限个初等矩阵的乘积。证明证明:（1 1）A A是可逆矩阵，则存在是可逆矩阵，则存在A A-1-1，用，用A A-1-1同时左乘线同时左乘线性方程组性方程组Ax=0Ax=0的两边，有的两边，有:A:A-1-

22、1Ax=AAx=A-1-10=00=0，则，则x=0 x=0，即线性，即线性方程组方程组Ax=0Ax=0只有零解。只有零解。定理定理.的证明的证明定理定理2.2 2.2 设设A A为为n n阶方阵，那么下面各命题等价，互为充要阶方阵，那么下面各命题等价，互为充要条件条件:A A是可逆矩阵；是可逆矩阵；线性方程组线性方程组Ax=0Ax=0只有零解；只有零解；A A可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵；可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵；A A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。可以表示为有限个初等矩阵的乘积。证明证明:（2 2）线性方程组线性方程组Ax=0Ax=0只有零解，说明系数矩阵只有零解，说

23、明系数矩阵A A经过若干次初等行变换后，其行最简形必然是单位矩阵经过若干次初等行变换后，其行最简形必然是单位矩阵I In n。即即A A可以经过有限次初等变换化为单位矩阵可以经过有限次初等变换化为单位矩阵InIn。定理定理.的证明的证明定理定理2.2 2.2 设设A A为为n n阶方阵，那么下面各命题等价，互为充要阶方阵，那么下面各命题等价，互为充要条件条件:A A是可逆矩阵；是可逆矩阵；线性方程组线性方程组Ax=0Ax=0只有零解；只有零解；A A可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵；可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵；A A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。可以表示为有限个初等矩阵的乘积。

24、证明证明:（3 3）A A可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵I In n 。由于初等变换是可逆的，故。由于初等变换是可逆的，故I In n也可以经过有限次初等行也可以经过有限次初等行变换化为变换化为A A。再利用定理。再利用定理2.12.1知，存在初等矩阵知，存在初等矩阵Q Q1 1,Q,Q2 2,Q,Qn n，使得使得Q Q1 1Q Q2 2QQn n I In n=A=A，即得，即得A=QA=Q1 1Q Q2 2QQn n 。定理定理.的证明的证明定理定理2.2 2.2 设设A A为为n n阶方阵，那么下面各命题等价，互为充要阶方阵，那么下面各命题等价

25、，互为充要条件条件:A A是可逆矩阵；是可逆矩阵；线性方程组线性方程组Ax=0Ax=0只有零解；只有零解；A A可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵；可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵；A A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。可以表示为有限个初等矩阵的乘积。证明证明:（4 4）由于由于A=QA=Q1 1Q Q2 2QQn n ，而初等矩阵是可逆的，而初等矩阵是可逆的，又根据逆矩阵的性质知，可逆矩阵的乘积也可逆，故又根据逆矩阵的性质知，可逆矩阵的乘积也可逆，故A A是可是可逆矩阵。逆矩阵。2.4.2.4.2 2 用用初等行变换初等行变换求求逆矩阵逆矩阵方法：方法：把把矩阵矩阵A A和同阶单位矩阵

26、和同阶单位矩阵I I并排放置，构成矩阵并排放置，构成矩阵A,I,A,I,对该矩阵进行初等行变换，如果把矩阵对该矩阵进行初等行变换，如果把矩阵A A化为单化为单位矩阵位矩阵I I时，原来的单位矩阵时，原来的单位矩阵I I就变为矩阵就变为矩阵A A的逆矩阵了。的逆矩阵了。即：即：理论依据：理论依据：如果如果A A可逆，即存在矩阵可逆，即存在矩阵 ，而必有，而必有 ，其中，其中Q Q为初等矩阵，对矩阵进行初等行为初等矩阵，对矩阵进行初等行变换，也就是对其左乘初等矩阵，于是有：变换，也就是对其左乘初等矩阵，于是有：求逆阵例求逆阵例2.112.11设设 判断判断A A、B B是否可逆，如果可逆，求之。是

27、否可逆，如果可逆，求之。解：程序为：解：程序为：A=1,3,-2;-3,-6,5;1,1,-1,C=A,eye(3),Uc=rref(C)A=1,3,-2;-3,-6,5;1,1,-1,C=A,eye(3),Uc=rref(C)B=3,6,2;2,4,1;1,2,1,D=B,eye(3),Ud=rref(D)B=3,6,2;2,4,1;1,2,1,D=B,eye(3),Ud=rref(D)运行结果：运行结果：A A-1-1存在，存在，B B-1-1不存在，因不存在，因B B秩为，不能变为秩为，不能变为单位矩阵。单位矩阵。2.6 2.6 应用实例应用实例例例2.14 2.14 某厂生产三种产品，

28、每件产品的成本及每季某厂生产三种产品，每件产品的成本及每季度生产件数如表所示。度生产件数如表所示。试提供该厂每季度的总成本分类表。试提供该厂每季度的总成本分类表。成本成本(元元)产品产品A A产品产品B B产品产品C C原材料原材料0.100.100.300.300.150.15劳动劳动0.300.300.400.400.250.25企业管理费企业管理费0.100.100.200.200.150.15产品产品夏夏秋秋冬冬春春A A40004000450045004500450040004000B B20002000280028002400240022002200C C5800580062006

29、20060006000600060002.6.1 2.6.1 成本核算问题成本核算问题解：用矩阵来描述此问题，设产品分类成本矩阵为解：用矩阵来描述此问题，设产品分类成本矩阵为，季度产量矩阵为，季度产量矩阵为P P，则有：，则有：按按Q=M*PQ=M*P可计算出以下的分类成本，用可计算出以下的分类成本，用sumsum命令进行命令进行列相加。列相加。成本（元）成本（元）夏夏秋秋冬冬春春全年全年原材料原材料1870187022202220207020701960196081208120劳动劳动345034504020402038103810358035801486014860企业管理费企业管理费16

30、70167019401940183018301740174071807180总成本总成本6990699081808180771077107280728030160301602.6.2 2.6.2 特殊矩阵的生成特殊矩阵的生成生成特殊规则的矩阵，可用单列乘单行的矩阵乘法。如生成特殊规则的矩阵，可用单列乘单行的矩阵乘法。如可令可令则则 是一个是一个10211021的矩阵。的矩阵。例例2.162.16范德蒙矩阵的生成范德蒙矩阵的生成解：这里除了用列向量乘行向量之外，还用了解：这里除了用列向量乘行向量之外，还用了MatlabMatlab的符的符号运算功能。程序号运算功能。程序pla216pla216为

31、：为：syms x1 x2 x3 x4 real syms x1 x2 x3 x4 real%定义实符号变量定义实符号变量x=x1,x2,x3,x4;y=0:3;x=x1,x2,x3,x4;y=0:3;%生成符号行矩阵生成符号行矩阵x x和行矩阵和行矩阵y yA=x*ones(1,4)A=x*ones(1,4)%列乘行生成方阵列乘行生成方阵A AB=ones(4,1)*y B=ones(4,1)*y%列乘行生成方阵列乘行生成方阵B BV=A.B%V=A.B%两个方阵作元素群求幂两个方阵作元素群求幂结果：结果：2.6.4 2.6.4 图及其矩阵表述图及其矩阵表述例例例例2.182.182.182

32、.18 航线图航线图航线图航线图图为图为1 1，2 2，3 3，4 4四个城市之间的空四个城市之间的空运航线，用有向图表示。则该图可运航线，用有向图表示。则该图可以用航路矩阵表示：其中第一行为以用航路矩阵表示：其中第一行为由第一个城市出发的航班，分别可由第一个城市出发的航班，分别可以到城市以到城市3 3、4 4，.因此在因此在3 3、4 4两列处两列处的元素为的元素为1 1，其余为零。以此类推可，其余为零。以此类推可以写出其他各行的元素，构成邻接以写出其他各行的元素，构成邻接矩阵矩阵A1A1。多次转机到达矩阵的计算多次转机到达矩阵的计算若要分析经过一次转机（也就是坐两次航班）能到达的若要分析经

33、过一次转机（也就是坐两次航班）能到达的城市，可以将邻接矩阵与自己相乘，得到城市，可以将邻接矩阵与自己相乘，得到A2A2 A12A12来求来求得。实际意义就是把第一次航班的到站再作为起点，求得。实际意义就是把第一次航班的到站再作为起点，求下一个航班的终点。下一个航班的终点。经过两次以内转机能够到达的航路矩阵应为：经过两次以内转机能够到达的航路矩阵应为：2.6.5 2.6.5 网络的矩阵分割和连接网络的矩阵分割和连接在电路设计中，经常要把复杂的电在电路设计中，经常要把复杂的电路分割为局部电路，每一个电路都路分割为局部电路，每一个电路都用一个网络用一个网络“黑盒子黑盒子”来表示。来表示。“黑盒子黑盒

34、子”的输入为的输入为u1u1，i1i1，输出为，输出为u2u2，i2i2，都有两个变量，因此其输，都有两个变量，因此其输入输出关系用入输出关系用2222矩阵矩阵A A来表示来表示（如右图）：（如右图）：A A被称为该电路的传输矩阵。传输被称为该电路的传输矩阵。传输矩阵的元素可以用理论计算，也可矩阵的元素可以用理论计算，也可用实验测试的方法取得。把复杂的用实验测试的方法取得。把复杂的电路分成许多串接局部电路，分别电路分成许多串接局部电路，分别求出或测出它们的传输矩阵，再相求出或测出它们的传输矩阵，再相乘起来，得到总的传输矩阵，可以乘起来，得到总的传输矩阵，可以使分析和测量电路的工作简化。使分析和

35、测量电路的工作简化。网络分解成矩阵串接网络分解成矩阵串接A2A1例例2.192.19网络的矩阵分割网络的矩阵分割按图列出第一个子网络的电路方程为：按图列出第一个子网络的电路方程为：写成矩阵方程：写成矩阵方程：第二个子网络的电路方程，第二个子网络的电路方程，写成矩阵方程为：写成矩阵方程为：例例2.192.19网络的矩阵分割网络的矩阵分割综上可以得出电路传输矩阵综上可以得出电路传输矩阵A A：A2A1第二章要求掌握的概念和计算第二章要求掌握的概念和计算1.1.矩阵乘法（包括分块乘法）的定义矩阵乘法（包括分块乘法）的定义；2.2.行初等变换和左乘初等矩阵的等价性；行初等变换和左乘初等矩阵的等价性；3

36、.3.如何用单列如何用单列m1m1向量乘单行向量乘单行1n1n向量构成向量构成mnmn矩阵以矩阵以简化矩阵赋值；简化矩阵赋值；4.4.弄清矩阵弄清矩阵A,IA,I经经rrefrref函数行化简后求逆矩阵的原理；函数行化简后求逆矩阵的原理；掌握矩阵求逆函数掌握矩阵求逆函数inv(A)inv(A)，第二章要求掌握的概念和计算第二章要求掌握的概念和计算5.5.掌握逆矩阵的定义及用逆矩阵求方程组解的方法，特掌握逆矩阵的定义及用逆矩阵求方程组解的方法，特别是左除和右除的概念和用法；别是左除和右除的概念和用法；6.6.矩阵乘积的逆与逆矩阵的乘积次序要颠倒，矩阵乘积的逆与逆矩阵的乘积次序要颠倒，inv(A*

37、B)=inv(B)*inv(A)inv(A*B)=inv(B)*inv(A)，转置也是如此。，转置也是如此。7.7.MATLABMATLAB实践：矩阵的四则运算和元素群运算，分块运算，实践：矩阵的四则运算和元素群运算，分块运算，用矩阵乘法求解方程组用矩阵乘法求解方程组。8 8.MATLAB.MATLAB函数：函数：eye,diag,inv,sumeye,diag,inv,sum，矩阵运算符矩阵运算符,(左除左除),/(),/(右除右除),),2.5 lu2.5 lu分解分解2.5 行阶梯变换等价于LU分解前面证明了可以用初等矩阵连乘用把方阵A变成单位矩阵，这些初等矩阵连乘积就是A的逆阵V，即V

38、A=I。如果只把A变成行阶梯矩阵U U为止（特别是少了数乘变换D），把这过程中初等变换E和P的连乘积取为L-1，即L-1A=U，写成A=LU。相当于把矩阵A A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U乘积。这种变换称为lu变换。其调用格式为：L,U=lu(A)它返回的结果是一个对角元素均为1的下三角矩阵L L和一个上三角矩阵U U。这个变换实质上是高斯消元法表示为矩阵乘法的一种形式。用例1.4中矩阵A,b的数据求lu分解例例2.122.12增广矩阵为C，经三次消法变换（乘以E1E2E3）消去左下方三个元素后，成为上三角阵这些都是消法变换，相当于三个下三角消法阵的连乘，所以L仍然是下三角阵用U1

39、=ref1(C)得到的U1与U相同.如果变换中出现行交换，得到的下三角阵L就不标准，各行有些交换，称为准下三角阵，见下例。下三角矩阵和准下三角矩阵列出这些矩阵相乘的结果，主要是提供读者做笔算时作为参考，读者最好用软件来检验这些结果，学完这本书后就不要再用笔算了！像这道题，可直接调用lu分解，键入语句：L1,U1=lu(A)。细致的检验可执行程序pla212，看其结果。还要说明一下L为什么是下三角矩阵。从上一节知道，消法矩阵E及其逆阵E-1都是下三角矩阵，本例的行阶梯变换中只用E，根据矩阵相乘的规则（5），它们的连乘积也必定是下三角矩阵。但商用软件中还要多次用行交换矩阵P来保证消元法的精度。这会使得最后的下三角矩阵L不那末标准，各行有些颠倒，故称之为准下三角矩阵。例例2.132.13把矩阵 进行lu分解，求出U U及L。键入L,U=lu(A)，得到结果上三角阵U是标准的行阶梯形，下三角阵L就不大标准，要进行行交换,12,2,43,31,才能成为真正的下三角阵，且其对角元素都是。