第13章 超静定结构.ppt

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1、第第1313章章 超静定结构超静定结构13.1 超静定结构的一般概念超静定结构的一般概念13.2 力法基本原理与力法的典型方程力法基本原理与力法的典型方程13.3 力法计算举例力法计算举例13.4 对称性的利用对称性的利用13.5 等截面单跨超静定梁的杆端内力等截面单跨超静定梁的杆端内力13.6 位移法基本原理与位移法典型方程位移法基本原理与位移法典型方程13.7 位移法计算举例位移法计算举例13.8 超静定结构的特性超静定结构的特性13.1 13.1 超静定结构的一般概念超静定结构的一般概念13.1.1 13.1.1 超静定结构的性质超静定结构的性质结构的支座反力和各截面的内力均可以用静力平

2、衡结构的支座反力和各截面的内力均可以用静力平衡条件唯一确定条件唯一确定静定结构。静定结构。BAFBFAyFAx结构的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平结构的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定衡条件唯一确定超静定结构。超静定结构。FCCBFBAFAyFAx静定结构和超静定结构都是几何不变体系。静定结构和超静定结构都是几何不变体系。若从简支梁中撤去支杆若从简支梁中撤去支杆B，就变成了几何可变体系；，就变成了几何可变体系；若从连续梁中撤去支杆若从连续梁中撤去支杆C，则其仍为几何不变体系。，则其仍为几何不变体系。支杆支杆C是多余约束。是多余约束。静定结构是没有多余约束的几何不变体

3、系；静定结构是没有多余约束的几何不变体系；超静定结构则是有多余约束的几何不变体系。超静定结构则是有多余约束的几何不变体系。多余约束并不是没用的，它可以调整结构的内力和多余约束并不是没用的，它可以调整结构的内力和位移，减小弯矩和挠度，故从提高结构承载力的角位移，减小弯矩和挠度，故从提高结构承载力的角度来看，它并不是多余的。度来看，它并不是多余的。FCCBFBAFAyFAxBAFBFAyFAx超静定结构的主要性质：超静定结构的主要性质：（1）仅由平衡条件不能确定所有约束的反力，）仅由平衡条件不能确定所有约束的反力，还须考察变形条件；还须考察变形条件；（2）其受力情况与材料的物理性质、截面的几）其受

4、力情况与材料的物理性质、截面的几何性质有关；何性质有关；（3）因制造误差、支座移动、温度改变等原因，）因制造误差、支座移动、温度改变等原因，超静定结构能够产生内力。超静定结构能够产生内力。13.1.2 超静定次数的确定超静定次数的确定超静定结构中多余约束的个数称为超静定次数。超静定结构中多余约束的个数称为超静定次数。结构的超静定次数可以采用撤去多余约束使超静结构的超静定次数可以采用撤去多余约束使超静定结构成为静定结构的方法来确定：定结构成为静定结构的方法来确定：如果从原结构中去掉如果从原结构中去掉n个约束，结构就变为静定个约束，结构就变为静定结构，则称原结构为结构，则称原结构为n次超静定结构。

5、次超静定结构。（1）撤去一根支杆或切断一根链杆，相当于拆）撤去一根支杆或切断一根链杆，相当于拆掉一个约束。掉一个约束。X1X1X1（2）将一个固定端支座改为固定铰支座或在连）将一个固定端支座改为固定铰支座或在连续杆上加一个单铰，相当于拆掉一个约束。续杆上加一个单铰，相当于拆掉一个约束。X1X1X1（3）撤去一个固定铰支座或撤去一个单铰，相）撤去一个固定铰支座或撤去一个单铰，相当于拆掉两个约束。当于拆掉两个约束。X2X2X1X1X1X2（4）撤去一个固定端支座或切断一个梁式杆，）撤去一个固定端支座或切断一个梁式杆，相当于拆掉三个约束。相当于拆掉三个约束。X3X2X1X3X1X2X3X2X1共有共

6、有7个多余约束。个多余约束。举例：举例：13.1.3 计算超静定结构的基本方法计算超静定结构的基本方法计算超静定结构的基本方法有两种计算超静定结构的基本方法有两种力法、位移法。力法、位移法。力法是以多余约束力作为基本未知量，即先把多力法是以多余约束力作为基本未知量，即先把多余力求出来，而后求出原结构的全部内力。余力求出来，而后求出原结构的全部内力。位移法是以位移（结点的线位移及角位移）作为位移法是以位移（结点的线位移及角位移）作为基本未知量，先求位移，再求结构的内力。基本未知量，先求位移，再求结构的内力。不论力法或位移法，处理问题的基本思路都一样：不论力法或位移法，处理问题的基本思路都一样：把

7、不会算的超静定结构通过会算的基本结构来计把不会算的超静定结构通过会算的基本结构来计算。算。计算的步骤可以概括为：计算的步骤可以概括为：（1）选取基本结构；）选取基本结构；（2）消除基本结构与原有体系之间的差别。）消除基本结构与原有体系之间的差别。消除差别的条件将表现为一组代数方程，解之可消除差别的条件将表现为一组代数方程，解之可求出基本未知量。求出基本未知量。13.2 13.2 力法基本原理力法基本原理与力法的典型方程与力法的典型方程13.2.1 13.2.1 力法基本原理力法基本原理把支座把支座B作为多余约束撤去，代以一个相应的未作为多余约束撤去，代以一个相应的未知力知力X1的作用，则得到悬

8、臂梁（静定结构）。的作用，则得到悬臂梁（静定结构）。lMAFAyFAxFBEIBAqBqAX1若设法将若设法将X1求出，则原结构就转化为在荷载和求出，则原结构就转化为在荷载和X1共同作用下的静定结构的计算问题。共同作用下的静定结构的计算问题。因此，多余未知力是求解该问题的关键，称为力因此，多余未知力是求解该问题的关键，称为力法的法的基本未知量基本未知量。将原超静定结构中去掉多余约束后所得到的静定将原超静定结构中去掉多余约束后所得到的静定结构称为力法的结构称为力法的基本结构基本结构。将基本结构在原有荷载和多余未知力共同作用下将基本结构在原有荷载和多余未知力共同作用下的体系称为力法的的体系称为力法

9、的基本体系基本体系。基本体系是将超静定结构的计算问题转化为静定基本体系是将超静定结构的计算问题转化为静定结构计算问题的桥梁。结构计算问题的桥梁。注意，基本结构的选取并不是唯一的。注意，基本结构的选取并不是唯一的。图示简支梁也是原结构的一种基本结构。图示简支梁也是原结构的一种基本结构。ABBA为了确定为了确定X1的数值，必须考虑变形条件以建立补的数值，必须考虑变形条件以建立补充方程式。充方程式。基本体系是在荷载与基本体系是在荷载与X1共同作用下的情形共同作用下的情形只有当梁的只有当梁的B端位移正好等于零（与原结构一致）端位移正好等于零（与原结构一致）时，基本体系中的变力时，基本体系中的变力X1才

10、能正好与原超静定才能正好与原超静定结构中的多余约束力相等。结构中的多余约束力相等。+=1pABq11X1BAlX1AqB由此可看出，基本体系转化为原超静定结构的条由此可看出，基本体系转化为原超静定结构的条件是：基本体系沿多余未知力件是：基本体系沿多余未知力X1方向的位移方向的位移1应与原结构相同，即应与原结构相同，即确定多余未知力确定多余未知力X1的补充条件的补充条件变形协调条件变形协调条件以以D D11和和D D1P，分别表示未知力，分别表示未知力X1和荷载单独作用和荷载单独作用在基本体系上时，在基本体系上时，B点沿点沿X1方向的位移，则方向的位移，则 D D1基本体系在基本体系在X1处、沿

11、处、沿X1方向的位移，即方向的位移，即B的竖向位移；的竖向位移；D D11基本结构仅在未知力基本结构仅在未知力X1作用下，在作用下，在X1处、处、沿沿X1方向的位移；方向的位移；D D1P基本结构仅在荷载单独作用下，在基本结构仅在荷载单独作用下，在X1处、处、沿沿X1方向的位移。方向的位移。D D的两个下标含意是：第一个下标表示产生位移的两个下标含意是：第一个下标表示产生位移的地点和方向；第二个下标表示产生位移的原的地点和方向；第二个下标表示产生位移的原因。因。若以若以d d11表示单位力（即表示单位力（即X1=1）时基本体系沿）时基本体系沿X1方方向所产生的位移，则向所产生的位移，则力法基本

12、方程力法基本方程力法方程中的系数力法方程中的系数d11和自由项和自由项D1P都是基本结构都是基本结构在已知力作用下的位移，均可采用静定结构的在已知力作用下的位移，均可采用静定结构的位移计算方法求得。位移计算方法求得。求得求得d11和和D1P后，即可解得基本未知量后，即可解得基本未知量X1。计算计算d11和和D1P：22ql BA1plEIqBAld11EIlABX1=1首先作出基本结构仅在首先作出基本结构仅在X1=1作用下的作用下的 图和基本图和基本结构仅在荷载作用下的结构仅在荷载作用下的MP图。图。MP图图然后应用图乘法，得然后应用图乘法，得22ql BAlMP图图将将d11和和D1P代入力

13、法方程式得代入力法方程式得正号说明正号说明X1的方向与所设的方向相同。的方向与所设的方向相同。多余未知力多余未知力X1求得后，原结构中其余的支座反力求得后，原结构中其余的支座反力和任一截面的内力均可利用静力平衡条件求出，和任一截面的内力均可利用静力平衡条件求出，进而可绘出内力图。进而可绘出内力图。结构任一截面的弯矩也结构任一截面的弯矩也可利用可利用 和和MP图由叠图由叠加法求出，即加法求出，即+-BA3ql 885ql l2l2Aql 21682ql ql 28lBEIA83ql 5ql 882ql q22ql BAlMP图图M 图FQ图综上所述，力法是以超静定结构的多余约束力综上所述，力法是

14、以超静定结构的多余约束力（反力、内力）作为基本未知量，再根据基本（反力、内力）作为基本未知量，再根据基本体系在多余约束处与原结构位移相同的条件，体系在多余约束处与原结构位移相同的条件，建立变形协调的力法方程以求解多余未知力，建立变形协调的力法方程以求解多余未知力，从而把超静定结构的求解问题转化为静定结构从而把超静定结构的求解问题转化为静定结构进行分析。这就是用力法分析超静定结构的基进行分析。这就是用力法分析超静定结构的基本原理和计算方法。本原理和计算方法。13.2.2 13.2.2 力法典型方程力法典型方程以二次超静定刚架为例。以二次超静定刚架为例。撤除铰支座撤除铰支座B，并代以相应的多余未知

15、力，并代以相应的多余未知力X1和和X2，得基本体系。，得基本体系。X1和和X2即为基本未知量。即为基本未知量。AFP1CBFP2FP2FP1CAX2X1B由于原结构在支座处没有水平线位移和竖向线位由于原结构在支座处没有水平线位移和竖向线位移，因此，基本结构在荷载和多余未知力移，因此，基本结构在荷载和多余未知力X1、X2共同作用下，必须保证同样的变形条件。即共同作用下，必须保证同样的变形条件。即点沿点沿X1和和X2方向的位移、都应等于零，即方向的位移、都应等于零，即D D1基本结构在基本结构在X1、X2和荷载共同作用下在和荷载共同作用下在X1处、沿处、沿X1方向的位移，即方向的位移，即B点的水平

16、位移；点的水平位移；D D2基本结构在基本结构在X1、X2和荷载共同作用下在和荷载共同作用下在X2处、沿处、沿X2方向的位移，即方向的位移，即B点的竖向位移。点的竖向位移。将将D D1、D D2展开，表示为展开，表示为得得二次超静定结构的力法方程式。二次超静定结构的力法方程式。d dij 基本结构在基本结构在Xj=1单独作用时，在单独作用时，在Xi处、沿处、沿Xi方向的位移；方向的位移；D DiP 基本结构仅在荷载单独作用时，在基本结构仅在荷载单独作用时，在Xi处、处、沿沿Xi方向的位移。方向的位移。力法方程中的系数和自由项都是基本结构的位移，力法方程中的系数和自由项都是基本结构的位移，即静定

17、结构的位移，均可利用单位荷载法求出，即静定结构的位移，均可利用单位荷载法求出，然后求出多余未知力然后求出多余未知力X1和和X2，进而可应用静力，进而可应用静力平衡条件求出原结构的其余支座反力和全部杆平衡条件求出原结构的其余支座反力和全部杆件内力。此外，也可利用叠加原理求内力，如件内力。此外，也可利用叠加原理求内力，如任一截面弯矩任一截面弯矩M的叠加计算公式为的叠加计算公式为同一结构可以按不同的方式选取力法的基本结构同一结构可以按不同的方式选取力法的基本结构和基本未知量。上述结构也可选用下述静定结和基本未知量。上述结构也可选用下述静定结构作为基本结构。构作为基本结构。注意：因注意：因X1和和X2

18、的含义不同，方程的意义也不同。的含义不同，方程的意义也不同。X1X2X2ABCX2X1ACB对于对于n次超静定结构，可按已知变形条件建立一次超静定结构，可按已知变形条件建立一个含个含n个未知量的代数方程组，从而可解出个未知量的代数方程组，从而可解出n个个多余未知力。多余未知力。这这n个变形条件可写为个变形条件可写为n次超静定结构的力法方程，通常称为力法次超静定结构的力法方程，通常称为力法典型方程。典型方程。dii主系数。基本结构仅在单位力主系数。基本结构仅在单位力Xi=1单独作用单独作用时，在时，在Xi处沿处沿Xi自身方向上所引起的位移，其值自身方向上所引起的位移，其值恒为正，不会等于零。恒为

19、正，不会等于零。dij 副系数。基本结构由于单位力副系数。基本结构由于单位力Xj=1的作用，的作用，而在而在Xi处沿处沿Xi方向所产生的位移，其值可为正、方向所产生的位移，其值可为正、负或为零。负或为零。DiP自由项。基本结构由荷载产生的沿自由项。基本结构由荷载产生的沿Xi方向方向的位移。其值可为正、负或为零。的位移。其值可为正、负或为零。将求得的系数与自由项代入力法典型方程，解出将求得的系数与自由项代入力法典型方程，解出各多余未知力各多余未知力X1、X2、Xn。再按叠加原理（也可利用平衡条件）计算反力和再按叠加原理（也可利用平衡条件）计算反力和内力：内力：13.3 13.3 力法计算举例力法

20、计算举例力法的计算步骤：力法的计算步骤：（1）确定结构的超静定次数，选取基本未知量）确定结构的超静定次数，选取基本未知量和基本体系；和基本体系；（2）建立力法的典型方程；）建立力法的典型方程；（3）作出基本结构的各单位内力图和荷载内力）作出基本结构的各单位内力图和荷载内力图，计算典型方程中的各类系数和自由项；图，计算典型方程中的各类系数和自由项；（4）求解典型方程，得出各基本未知量；）求解典型方程，得出各基本未知量；（5）由叠加法绘制结构的内力图；）由叠加法绘制结构的内力图；（6）校核。）校核。13.3.1 13.3.1 超静定梁和刚架超静定梁和刚架例131 计算图示两端固定梁，并绘制弯矩图计

21、算图示两端固定梁，并绘制弯矩图M和剪力图和剪力图FQ。EI=常数。常数。lAqBEI解：（1）选择基本体系）选择基本体系三次超静定结构。选基本体系如图所示。三次超静定结构。选基本体系如图所示。（2）列力法方程）列力法方程X1X2X3lAqBEIlAqBEI（3）计算系数和自由项）计算系数和自由项1X1=1BAX2=11BA图图82ql qBAFN3=1M3=0X3=1BA图MP图1X1=1BAX2=11BA图图FN3=1M3=0X3=1BA在计算在计算d d33时，因为弯矩时，因为弯矩 =0，故需要考虑轴向，故需要考虑轴向变形的影响，因而变形的影响，因而（4）解力法方程，求基本未知量）解力法方

22、程，求基本未知量将系数和自由项代入力法方程，化简得将系数和自由项代入力法方程，化简得X3=0表明两端固定梁在垂直于梁轴线的荷载作用表明两端固定梁在垂直于梁轴线的荷载作用下并不产生水平反力。下并不产生水平反力。因此力法方程可直接写为因此力法方程可直接写为（5）作内力图）作内力图1）弯矩图）弯矩图 利用弯矩叠加公式利用弯矩叠加公式计算杆端弯矩，并绘制弯矩图。计算杆端弯矩，并绘制弯矩图。242ql 122ql ql 212BAlAqBEIM 图2）剪力图）剪力图 利用已利用已作出的弯矩图，作出的弯矩图，取杆件为隔离体，取杆件为隔离体，再由平衡条件计再由平衡条件计算出杆端的剪力，算出杆端的剪力，然后作

23、出剪力图。然后作出剪力图。lAqBEI-+ql 22ql AB242ql 122ql ql 212BAM 图FQ图例132 试计算图示刚架，并绘制内力图。试计算图示刚架，并绘制内力图。3m3m6mEI2=2EI1EI180kNACB解：（1）选择基本体系）选择基本体系基本未知量：基本未知量：X1、X2，基本体系如图。，基本体系如图。（2）列力法方程）列力法方程3m3m6mEI2=2EI1EI180kNACB80kNX2X1BCA（3）计算系数和自由项）计算系数和自由项6BCAX1=166X2=1ABC图图80kN240240ABC6BCAX1=166X2=1ABC图图MP图（4）求基本未知量）

24、求基本未知量（5）作内力图）作内力图弯矩图弯矩图弯矩图如图。弯矩图如图。18102ABC3636M图（kNm）作剪力图作剪力图18102ABC363634BCA469+22M图（kNm）FQ图（kN）作轴力图作轴力图从以上结果可以看出：在荷载作用下，多余力以从以上结果可以看出：在荷载作用下，多余力以及结构内力的大小只与各杆的相对刚度有关。及结构内力的大小只与各杆的相对刚度有关。34BCA469+22FQ图（kN）946BCA22FN图（kN）13.3.2 13.3.2 铰接排架铰接排架用力法计算铰接排架的原理、步骤，与超静定梁用力法计算铰接排架的原理、步骤，与超静定梁和刚架的计算相同。但因链杆

25、的刚度，在计算和刚架的计算相同。但因链杆的刚度，在计算系数和自由项时，不计链杆轴向变形的影响，系数和自由项时，不计链杆轴向变形的影响，只考虑柱的弯矩对变形的影响。只考虑柱的弯矩对变形的影响。X1X1FFEA=F例133 图示单层单跨厂房排架，图示单层单跨厂房排架，I1=I，I2=2I，各杆各杆E均相等，试用力法计算图示风荷载作用均相等，试用力法计算图示风荷载作用下所引起的排架柱的弯矩图。下所引起的排架柱的弯矩图。q=1kN/mq=2kN/mBAI2I2I1I1DCEA=解：（1）选择基本体系）选择基本体系此排架为一次超静定结构。基本未知力此排架为一次超静定结构。基本未知力X1，基本，基本体系如

26、图。体系如图。（2）列力法方程）列力法方程X1X1q=1kN/mBI2I1DCI1I2Aq=2kN/mq=1kN/mq=2kN/mBAI2I2I1I1DCEA=（3）计算系数和自由项）计算系数和自由项6622X1=118364422图MP图（kNm）（4）求多余未知力）求多余未知力（5）作弯矩图）作弯矩图利用弯矩叠加公式利用弯矩叠加公式可得弯矩图。可得弯矩图。6622X1=118364422BA424.6229.4图M图（kNm）MP图（kNm）13.4 13.4 对称性的利用对称性的利用在实际的建筑结构工程中，很多结构是对称的，在实际的建筑结构工程中，很多结构是对称的，可以利用结构的对称性，

27、适当的选取基本结构，可以利用结构的对称性，适当的选取基本结构，使力法典型方程中尽可能多的副系数及自由项使力法典型方程中尽可能多的副系数及自由项等于零，从而使计算工作得到简化。等于零，从而使计算工作得到简化。13.4.1 13.4.1 结构和荷载的对称性结构和荷载的对称性1结构的对称性结构的对称性，包含以下两个方面：结构的对称性，包含以下两个方面：（1）结构的几何形状、尺寸和支承情况对某一）结构的几何形状、尺寸和支承情况对某一轴对称；轴对称；（2）杆件截面尺寸和材料弹性模量也对此轴对）杆件截面尺寸和材料弹性模量也对此轴对称。称。hl/2l/2yyEI2EI2EI1对称轴EI2EI2EI1EI1x

28、xb/2b/2a/2a/2yy对称轴对称轴kkllEIEI对称轴2荷载的对称性任何荷载都可以分解为两部分：一部分是对称荷任何荷载都可以分解为两部分：一部分是对称荷载，另一部分是反对称荷载。载，另一部分是反对称荷载。对称荷载对称荷载绕对称轴对折后，对称轴两边的荷绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载彼此重合。载彼此重合。反对称荷载反对称荷载绕对称轴对折后，对称轴两边的绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载正好相反。荷载正好相反。+=aaCFPaaCFPa2FPC13.4.2 13.4.2 取对称基本体系的计算取对称基本体系的计算计算对称结构时，应考虑利用对称的基本体系进计算对称结构时，应考虑利用对称的基本体

29、系进行计算。行计算。可沿对称轴上梁的中间截面可沿对称轴上梁的中间截面C切开，所得的基本切开，所得的基本体系是对称的。体系是对称的。根据力的对称性分析，根据力的对称性分析，X1、X2是对称力，是对称力，X3是反是反对称力。对称力。力法方程力法方程对称未知力对称未知力X1和和X2所产生的弯矩图和及变形图是所产生的弯矩图和及变形图是对称的；对称的；反对称未知力反对称未知力X3所产生的弯矩图及变形图是反对所产生的弯矩图及变形图是反对称的。称的。X1=12FPX3X3X1X1X2X2X2=1X3=1因此，力法方程的系数因此，力法方程的系数于是，力法方程可简化为于是，力法方程可简化为力法方程的自由项，也同

30、样可以简化。力法方程的自由项，也同样可以简化。在对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变在对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变形图是对称的，而形图是对称的，而 图是反对称的。图是反对称的。因此，反对称未知力因此，反对称未知力X3=0，只需用前两式计算未，只需用前两式计算未知力知力X1和和X2即可。即可。FPFPX1X1X2X2X3=0FPFP因此因此MP图在反对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和在反对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变形图是反对称的，而变形图是反对称的，而 图和图和 图是对称的。图是对称的。此时，对称未知力此时，对称未知力X1=X2=0，只需用式第三式计，只需用式第三

31、式计算反对称未知力算反对称未知力X3即可。即可。FPFPX1=X2=0X3FPFP因此因此MP图从上述分析可得到如下结论：从上述分析可得到如下结论：（1）对称结构在对称荷载作用下，变形是对称的，）对称结构在对称荷载作用下，变形是对称的，支座反力和内力也是对称的。因此，对称的基本支座反力和内力也是对称的。因此，对称的基本体系在对称荷载作用下，反对称的未知力必等于体系在对称荷载作用下，反对称的未知力必等于零，只需计算对称未知力。零，只需计算对称未知力。（2）对称结构在反对称荷载作用下，变形是反对称）对称结构在反对称荷载作用下，变形是反对称的，支座反力和内力也是反对称的。因此，对称的，支座反力和内力

32、也是反对称的。因此，对称的基本体系在反对称荷载作用下，对称的未知力的基本体系在反对称荷载作用下，对称的未知力必等于零，只需计算反对称未知力。必等于零，只需计算反对称未知力。（3）若结构对称，外荷载不对称时，可将外荷载分）若结构对称，外荷载不对称时，可将外荷载分解为对称荷载和反对称荷载而分别计算，然后叠解为对称荷载和反对称荷载而分别计算，然后叠加。加。13.4.3 13.4.3 取半边结构计算取半边结构计算根据对称结构在对称荷载和反对称荷载作用下受根据对称结构在对称荷载和反对称荷载作用下受力和变形的特点，可以利用半边结构来计算对力和变形的特点，可以利用半边结构来计算对称结构。称结构。1 1奇数跨

33、对称刚架奇数跨对称刚架（1）对称荷载作用）对称荷载作用（2）反对称荷载作用）反对称荷载作用2偶数跨对称刚架（1）对称荷载作用）对称荷载作用（2）反对称荷载作用）反对称荷载作用变形是对称的，对称轴上的截面变形是对称的，对称轴上的截面C移到对称轴上移到对称轴上的的C，只有竖向位移，水平位移和转角为零。，只有竖向位移，水平位移和转角为零。受力也是对称的，在对称轴截面受力也是对称的，在对称轴截面C上只有对称内上只有对称内力力弯矩和轴力，反对称内力弯矩和轴力，反对称内力剪力等于剪力等于零。零。qCCEBAD1 1奇数跨对称刚架奇数跨对称刚架（1）对称荷载作用）对称荷载作用因此，从对称轴切开取半边结构计算

34、时，对称轴因此，从对称轴切开取半边结构计算时，对称轴截面截面C处的支座可取为定向支座。处的支座可取为定向支座。qCADqCCEBAD（2）反对称荷载作用）反对称荷载作用变形是反对称的，对称轴上截面变形是反对称的，对称轴上截面C移到移到C，C点有点有水平位移和转角，竖向位移为零。水平位移和转角，竖向位移为零。受力也是反对称的，在对称轴截面受力也是反对称的，在对称轴截面C上只有反对上只有反对称内力称内力剪力，而对称内力剪力，而对称内力弯矩和轴力弯矩和轴力等于零。等于零。FPEDCCBAFP因此，取半边结构计算时，因此，取半边结构计算时，C端可取为可动铰支端可取为可动铰支座。座。FPCADFPEDC

35、CBAFP2 2偶数跨对称刚架偶数跨对称刚架（1）对称荷载作用）对称荷载作用由变形的对称性可知，由变形的对称性可知，C点的水平位移和转角等点的水平位移和转角等于零。柱于零。柱CD没有弯矩和剪力（忽略柱没有弯矩和剪力（忽略柱CD的轴的轴向变形），只有轴力。向变形），只有轴力。而而C点左右两侧的横梁截面则有一对互相平衡的点左右两侧的横梁截面则有一对互相平衡的力矩、轴力以及和柱力矩、轴力以及和柱CD轴力平衡的对称的剪力。轴力平衡的对称的剪力。qFCEDBA因此，沿对称轴切开取半边结构计算时，因此，沿对称轴切开取半边结构计算时，C端可端可取为固定支座。取为固定支座。qCEAqFCEDBA（2）反对称荷

36、载作用）反对称荷载作用因变形的反对称性，对称柱因变形的反对称性，对称柱CD有弯曲变形，对有弯曲变形，对称轴上称轴上C点经变形移到点经变形移到C点，刚结点点，刚结点C有转角，有转角，C点的竖向位移为零。点的竖向位移为零。相应的反对称受力情形是在对称轴上的柱相应的反对称受力情形是在对称轴上的柱CD有有弯矩和剪力，而无轴力。弯矩和剪力，而无轴力。FPIFCEBACDFP如果从柱如果从柱CD切开，即将柱切开，即将柱CD分解为两根位于对分解为两根位于对称轴两侧而抗弯刚度为的分柱，则一个两跨对称轴两侧而抗弯刚度为的分柱，则一个两跨对称刚架分为两个对称的单跨半结构刚架，计算称刚架分为两个对称的单跨半结构刚架

37、，计算简图可简化为图示情形。简图可简化为图示情形。FPIFCEBACDFPFPC1I2D1AE当绘制出半边结构的内力图后，就可根据内力图当绘制出半边结构的内力图后，就可根据内力图图形的对称关系或反对称关系画出另一侧半边图形的对称关系或反对称关系画出另一侧半边结构的内力图。结构的内力图。在对称荷载作用下，对称结构的弯矩图、轴力图在对称荷载作用下，对称结构的弯矩图、轴力图是对称的，剪力图是反对称的；是对称的，剪力图是反对称的；在反对称荷载作用下，对称结构的弯矩图、轴力在反对称荷载作用下，对称结构的弯矩图、轴力图是反对称的，剪力图是对称的。图是反对称的，剪力图是对称的。13.4.4 13.4.4 对

38、称结构计算举例对称结构计算举例例134 求作图示单跨对称刚架的弯矩图。求作图示单跨对称刚架的弯矩图。6m6m20kN2EI2EI3EI解：（：（1）对称性分析）对称性分析三次超静定对称刚架，非对称荷载。三次超静定对称刚架，非对称荷载。可将其分解为对称荷载和反对称荷载两部分。可将其分解为对称荷载和反对称荷载两部分。在对称荷载作用下，忽略横梁轴向变形，只有横在对称荷载作用下，忽略横梁轴向变形，只有横梁承受压力梁承受压力10kN，其他杆件无内力。，其他杆件无内力。反对称荷载作用下的内力计算如下。反对称荷载作用下的内力计算如下。10kN10kN10kN10kN6m6m20kN2EI2EI3EI（2）基

39、本体系）基本体系在反对称荷载作用下，基本体系如图所示。在反对称荷载作用下，基本体系如图所示。（3）力法方程）力法方程X110kN10kN10kN10kN（4）系数和自由项）系数和自由项10kN10kN6060X110kN10kN3333X1=1（5）解力法方程）解力法方程图MP图（6）作弯矩图）作弯矩图刚架弯矩图如图刚架弯矩图如图2727273333M图（kNm）13.5 13.5 等截面单跨超静定梁等截面单跨超静定梁的杆端内力的杆端内力在超静定结构的计算中，常常用到等截面单跨超在超静定结构的计算中，常常用到等截面单跨超静定梁的杆端内力。静定梁的杆端内力。常用的等截面单跨超静定梁有三种类型，也

40、叫做常用的等截面单跨超静定梁有三种类型，也叫做三种类型单元。三种类型单元。lABAlBAl单跨超静定梁由于荷载、温度改变等作用所产生单跨超静定梁由于荷载、温度改变等作用所产生的杆端弯矩和杆端剪力，通常称为的杆端弯矩和杆端剪力，通常称为固端弯矩固端弯矩和和固端剪力固端剪力。上述固端力在位移法中经常用到，为方便应用，上述固端力在位移法中经常用到，为方便应用，将其列于表中，以便查阅。将其列于表中，以便查阅。注意：注意：AB杆杆A端的弯矩，以顺时针转向为正；端的弯矩，以顺时针转向为正；AB杆杆A端的剪力，以使杆件绕另一端顺时针端的剪力，以使杆件绕另一端顺时针旋转者为正；旋转者为正；q qA固定端固定端

41、A的角位移，以顺时针转向为正；的角位移，以顺时针转向为正；D DA固定端或铰支座的线位移，以使杆件绕另固定端或铰支座的线位移，以使杆件绕另一端顺时针旋转者为正；一端顺时针旋转者为正；i 杆件的线刚度，其大小为，其大小为 i=EI/lb b 杆件的弦转角，其大小为，其大小为b b=D D/l，以顺，以顺时针转向为正。时针转向为正。13.6 13.6 位移法基本原理位移法基本原理与位移法典型方程与位移法典型方程13.6.1 13.6.1 位移法基本原理位移法基本原理力法是以多余约束力作为基本未知量，通过变形力法是以多余约束力作为基本未知量，通过变形条件建立力法方程，求出未知量后，再通过平条件建立力

42、法方程，求出未知量后，再通过平衡条件来计算结构全部内力的一种计算方法；衡条件来计算结构全部内力的一种计算方法；位移法则是以结构的结点位移作为基本未知量，位移法则是以结构的结点位移作为基本未知量，通过平衡条件建立位移法方程，求出位移后，通过平衡条件建立位移法方程，求出位移后，利用位移和内力之间的关系来计算杆件或结构利用位移和内力之间的关系来计算杆件或结构内力的一种计算方法。内力的一种计算方法。位移法的基本原理位移法的基本原理图示刚架在给定荷载作用下发生变形，在忽略杆图示刚架在给定荷载作用下发生变形，在忽略杆件轴向变形条件下，结点件轴向变形条件下，结点C只发生角位移。只发生角位移。当用位移法计算时

43、，将结点角位移作为基本未知当用位移法计算时，将结点角位移作为基本未知量。若能设法将位移求出，则量。若能设法将位移求出，则CB和和CA各杆的各杆的变形就可求出，从而可求出各杆的内力。变形就可求出，从而可求出各杆的内力。qCqCql2l1AEI2BCEI1现讨论如何求基本未知量现讨论如何求基本未知量q qC，计算分为两步：，计算分为两步：（1）增加约束，将结点位移锁住。）增加约束，将结点位移锁住。原结构变为两根超静定杆件。荷载作用下的弯矩原结构变为两根超静定杆件。荷载作用下的弯矩可用力法求出（可直接查表得到）。可用力法求出（可直接查表得到）。这时，在结点这时，在结点C处的附加约束上产生了一个约束处

44、的附加约束上产生了一个约束反力矩反力矩F1p122ql1ql1212ABCq规定约束反力矩以顺时针方向为正。规定约束反力矩以顺时针方向为正。qCqCql2l1AEI2BCEI1（2）为了消除现结构与原结构的差别，使结点）为了消除现结构与原结构的差别，使结点C产生角位移产生角位移q qC。两根超静定杆在两根超静定杆在C端有转角端有转角q qC时弯矩图可由力法时弯矩图可由力法求出（可直接查表得到）求出（可直接查表得到）。这时，由于结点。这时，由于结点C发生转角而在附加约束上产生的约束反力矩为发生转角而在附加约束上产生的约束反力矩为uCuCqCqCBA4EIl1l12EI1qC2EI2l2F11F1

45、p122ql1ql1212ABCqqCqCql2l1AEI2BCEI1这里将实际结构的受力和变形分解成了两部分：这里将实际结构的受力和变形分解成了两部分：一部分是荷载单独作用下的结果。此时只有荷载一部分是荷载单独作用下的结果。此时只有荷载作用，而无结点作用，而无结点C的角位移；的角位移；另一部分是结点位移单独作用下的结果。此时只另一部分是结点位移单独作用下的结果。此时只有结点有结点C的角位移，而无荷载作用。的角位移，而无荷载作用。反过来，将两种状态叠加起来，即成为实际结构。反过来，将两种状态叠加起来，即成为实际结构。=+F1p122ql1ql1212ABCqqCqCql2l1AEI2BCEI1

46、uCuCqCqCBA4EIl1l12EI1qC2EI2l2F11实际结构在结点实际结构在结点C处是没有约束反力矩的，因此处是没有约束反力矩的，因此等效条件为等效条件为=+F1p122ql1ql1212ABCq将将qC代回，按叠加法即可得到原结构的解。代回，按叠加法即可得到原结构的解。uCuCqCqCBA4EIl1l12EI1qC2EI2l2F11qCqCql2l1AEI2BCEI1位移法的基本思路和解题过程：位移法的基本思路和解题过程：（1）位移法的基本未知量是结点位移。）位移法的基本未知量是结点位移。（2）位移法的基本方程是平衡方程。）位移法的基本方程是平衡方程。（3）建立位移法基本方程的方

47、法是：先将结点）建立位移法基本方程的方法是：先将结点位移锁住，求各超静定杆件分别在荷载以及在位移锁住，求各超静定杆件分别在荷载以及在结点位移作用下的结果，将以上两个结果进行结点位移作用下的结果，将以上两个结果进行叠加，使附加约束中的约束反力等于零，即得叠加，使附加约束中的约束反力等于零，即得位移法的基本方程。位移法的基本方程。（4）求解位移法方程，得到基本未知量，从而）求解位移法方程，得到基本未知量，从而求出各杆内力。求出各杆内力。13.6.2 13.6.2 位移法基本未知量和基本体系位移法基本未知量和基本体系用位移法计算超静定结构时，首先需要确定基本用位移法计算超静定结构时，首先需要确定基本

48、未知量和基本体系。未知量和基本体系。位移法的基本未知量是结点角位移和结点线位移。位移法的基本未知量是结点角位移和结点线位移。位移法的基本体系是将基本未知量通过添加附加位移法的基本体系是将基本未知量通过添加附加约束的方式完全锁住后，得到的超静定杆的综约束的方式完全锁住后，得到的超静定杆的综合体。合体。下面讨论如何确定基本未知量和选取基本体系。下面讨论如何确定基本未知量和选取基本体系。刚架有刚架有4结点结点A、B、C、D，都没有线位移。都没有线位移。A和和B是固定端，转角等于零；是固定端，转角等于零；C是铰结点，可以不取作为基本未知量；是铰结点，可以不取作为基本未知量；D是刚结点，可以转动，转角为

49、是刚结点，可以转动，转角为q qD。只要计算出结点角位移只要计算出结点角位移q qD，就可以得到杆端角位，就可以得到杆端角位移移q qDA、q qDB、q qDC。因此，将因此，将q qD取作为基本未知量，用取作为基本未知量，用D D1表示。表示。DCDBDAD(D)FPBCAFP1DCAB结点角位移的数目就等于结构刚结点的数目。结点角位移的数目就等于结构刚结点的数目。因此在结点因此在结点D加一个控制结点加一个控制结点D转动的附加约束，转动的附加约束，称为称为刚臂。得到的无结点位移的结构，称为。得到的无结点位移的结构，称为基基本结构本结构。把基本结构在荷载和基本未知位移共同作用下的把基本结构在

50、荷载和基本未知位移共同作用下的体系，称为体系，称为基本体系基本体系。BCDAFP1DCAB平面杆件体系的一个结点在平面内有两个自由度平面杆件体系的一个结点在平面内有两个自由度平面内一个结点有两个线位移。平面内一个结点有两个线位移。图示刚架有三个结点图示刚架有三个结点D、E和和F，则共有六个结点，则共有六个结点线位移（每个结点分别有竖直方向和水平方向线位移（每个结点分别有竖直方向和水平方向两个线位移）。两个线位移）。BCAFEDF以上是只有结点角位移情况，现在讨论结点线位以上是只有结点角位移情况，现在讨论结点线位移基本未知量的确定。移基本未知量的确定。假设：假设：（1）忽略各杆轴力引起的轴向变形