常微分方程模型.ppt

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1、微分方程建模微分方程建模1案例一案例一、价格波、价格波动动模型模型 “商品商品价格价格变变化的两大特点化的两大特点”：平衡价格平衡价格应应是是 商品供需平衡商品供需平衡 的价位；的价位；趋趋于于过过程程应应具有具有惯惯性特征：呈性特征：呈现现 阻尼震阻尼震荡荡 过过程特征程特征 建立在建立在 市市场经济场经济 下下 价格价格变动变动模型模型 具体具体问题问题：试图试图建立一个建立一个 数学模型数学模型，描，描绘绘在健全的市在健全的市场场 经济经济框架下，商品价格受市框架下，商品价格受市场场机制机制调节调节，偏高或偏低，偏高或偏低 的价格将会的价格将会 自自动趋动趋于平衡于平衡。建模目的建模目的

2、：建立一个价格随：建立一个价格随时间时间演演变变,以以 阻尼振阻尼振荡荡 方式方式 逐逐渐趋渐趋于理性的于理性的 商品供需平衡价格商品供需平衡价格 的模型。的模型。2 (3)商品价格的变化速度商品价格的变化速度 p(t)与市场的与市场的 过剩需过剩需求求 D(t)S(t)有关有关.假定它们之间成假定它们之间成 正比正比 :(2)商品供应商品供应 S(t)随价格随价格 p(t)的增大而上升的增大而上升.假定它们之间的关系也近似为假定它们之间的关系也近似为 线性关系线性关系;建模假建模假设设：(1)商品需求商品需求 D(t)随价格随价格 p(t)的增大而下降的增大而下降.假定它们之间的关系近似为假

3、定它们之间的关系近似为 线性关系线性关系:3 模型建立：模型建立：4 模型分析：模型分析：当当 时时,当当时时,结论未能达到建模目的！结论未能达到建模目的！说明商品价格是说明商品价格是 单调单调 地趋向平衡价格地趋向平衡价格.5 建模假设的建模假设的 修改修改：(3)*商品价格的变化速度商品价格的变化速度 p(t)与市场的与市场的 过剩需求过剩需求 D(t)S(t)对时间对时间 t 的的 累积量有关累积量有关(即考虑过即考虑过剩剩 需求的时间滞后效应需求的时间滞后效应).(2)商品供应商品供应 S(t)随价格随价格 p(t)的增大而上升的增大而上升.假定它们之间的关系也近似为假定它们之间的关系

4、也近似为 线性关系线性关系;(1)商品需求商品需求 D(t)随价格随价格 p(t)的增大而下降的增大而下降.假定它们之间的关系近似为假定它们之间的关系近似为 线性关系线性关系:假定它们之间成假定它们之间成 正比正比 :6 模型再建立：模型再建立：商品价格随时间演变而处在商品价格随时间演变而处在 等幅震荡等幅震荡 之中。之中。结论还未能达到建模目的！结论还未能达到建模目的！7 建模假设的建模假设的 再次修改再次修改：假假设设(1)、(2)不不变变；(3)*商品价格的变化速度商品价格的变化速度 p(t)不仅与市场过剩需求不仅与市场过剩需求 D(t)S(t)对时间对时间 t 的累积量有关的累积量有关

5、,还与当时的价格与平衡价格还与当时的价格与平衡价格 p*的的 偏差程度偏差程度 有关有关 (即考虑健全的市场有政府宏观调控因素即考虑健全的市场有政府宏观调控因素),假定它们之间也成假定它们之间也成 正比正比，且比例系数且比例系数 仍假定它们之间仍假定它们之间 成成 正比正比;(强调政府宏观调控只是微调强调政府宏观调控只是微调)。8 模型又一模型又一 次建立：次建立：商品价格随时间演变而呈现商品价格随时间演变而呈现 阻尼震荡阻尼震荡 现象现象 。该结论达到建模目的！该结论达到建模目的！模型是合理的模型是合理的 9案例二案例二 传染病模型传染病模型问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程

6、 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型10 已感染人数已感染人数(病人病人)x(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1假设假设若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模?11模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人

7、病人)和未感染者和未感染者(健康健康人人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为,且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模 日日接触率接触率SI 模型模型12模型模型21/2tmii010ttm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率)tm Logistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最最大大13模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SI

8、S 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率建模建模 日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数。14模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数1-1/i0模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特的特例例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/i(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈阈值值P3P4

9、P2S019模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/的估计的估计 降低降低 s0提高提高 r0 提高阈值提高阈值 1/降低降低 (=/),群体免疫群体免疫20模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计记被传染人数比例记被传染人数比例xs0i0P1i0 0,s0 1 小小,s0 1提高阈值提高阈值1/降低降低被被传染人数比例传染人数比例 xs0-1/=21附:基于MATLAB的常微分方程（组）的数值求解要求解微分方程（组）dy/dx=f(

10、x,y)，可如下调用：X,Y=ode45(f,x0,xn,y0)函数在求解区间x0,xn内，自动设立采样点向量X，并求出解函数y在采样点X处的样本值Y。f是一个函数，要有两个参数，第一个参数是自变量x，第二个参数是因变量y。y0=y(x0)给定方程的初值。22%例1：求微分方程初值问题dy/dx=-2y/x+4x，y(1)=2在1，3 区间内的数值解，并将结果与解析解进行比较。function example1()clc;clear;X,Y=ode45(fxy,1,3,2);x=X%显示自变量的一组采样点y=Y%显示求解函数与采样点对应的一组数值解y1=(X.2+1./X.2)%显示求解函数与采样点对应的一组解析解dy=y-y1%显示求解函数与采样点对应的一组解析解function f=fxy(x,y)f=-2*y/x+4*x;23例2:求解常微分方程组初值问题在区间0,4中的解。function example2()X,Y=ode45(fxy,0,4,5,6);x=X%显示自变量的一组采样点y=Y%显示求解函数与采样点对应的一组数值解 plot(X,Y);%画出解的变化曲线function f=fxy(x,y)f(1)=y(1)(1/3)*y(2);f(2)=-x*y(2)+x2-5;f=f;2425