中学数学建模.pptx

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1、函数与不等式数 列三 角几 何第1页/共98页函数与不等式函数与不等式一次函数模型一次函数模型二次函数模型二次函数模型幂函数、指数函数、对数函数模幂函数、指数函数、对数函数模型型不等式模型不等式模型第2页/共98页建模(或知识应用)提示1.实际问题中的数量关系模糊,数据孤立,要对有关数据作适当处理后借助于其内在规律或经验,将其理想化、函数模型化.2.抓住相关变量中的主要参变量关系展开分析与讨论.3.实际问题中的量具有特殊的含义,在建立函数或不等式关系时需注意其有意义的变化范围,不能只考虑纯数学关系.4.问题所讨论的结果最好具有范式,具有可推广性.第3页/共98页一次函数模型高跟鞋问题如何选择广

2、告上的优惠计划包装与价格第4页/共98页高跟鞋问题设某人下肢躯干部分长为x厘米,身高为l厘米,鞋跟高d厘米第5页/共98页鞋跟高度与好看程度的关系原比原比(x/l)身高身高(cm)鞋跟高度鞋跟高度(cm)新比值新比值第6页/共98页如何选择广告上的优惠计划实际背景 为配合不同客户的需要,广告商设有以 下优惠计划,以供客户选择.计划A:即时直接对话+自动数字传呼计划B:即时直接对话+自动数字传呼每月基本服务费 98 98 168免费通话时间 首60分钟 首500分钟以后每分钟收费 0.38 0.38留言信箱服务(选择性项目)3030第7页/共98页 问题 在两个计划中选择,你选择哪一项?分析(1

3、)(1)两项服务的不同点:计划A A的每月基本服务 费比计划B B少,而计划B B比计划A A给客户的首 段免费通话时间多.(2)(2)模型假设与建立 设t(t(分钟)为通话时间,而C()C()是所需付出 的费用,则可列出计划A A与计划B B的付费函数 关系式为:第8页/共98页计划A:(t60)计划B:(t500)第9页/共98页(3)究竟通话时间超过多少分钟,计划B会较 计划A为优?0.38(t-60)+98=168 得 t=244.21(分钟)故当客户使用该服务的时间超过244分 钟(约4小时)时,计划B较优.(4)问题推广 若客户真的选择了计划B,最多可以比选 择计划A省多少钱?第1

4、0页/共98页解决 由图可知,起初计划A比计划B便宜 70 ,当使用时间超过60分钟,则两者差距缩小,直到Q点,两者已无差距,即表示两个计划在此时的优惠相同.由图,用户所得最大优惠差额为 97 0C16898P60Q244SR500计划B计划At第11页/共98页包装与价格 某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的,有60g60g装和150g150g装两种规格.假设,冰淇淋售价=(=(冰淇淋成本+包装成本)(1+)(1+利润率),),并且,包装成本与球形外壳表面积成正比.已知60g60g装冰淇淋售价1.501.50元,其中冰淇淋成本为每克1 1分钱,利润率为25%,25%,问在利润率不变的情况下,150

5、g,150g装冰淇淋应售价多少?两种规格中,买哪种比较合算(3.684(3.684可供参考)?)?第12页/共98页 分析 设60g60g装冰淇淋的包装成本为x x元,根据题意,得 解得x=0.60(x=0.60(元)又设60g60g装和150g150g装两种规格外壳表面积分别为s s1 1、s s2 2,容积为v v1 1、v v2 2,150g,150g装冰淇淋包装成本为y y元,根据题意,得第13页/共98页所以从而第14页/共98页故买大包装合算第15页/共98页二次函数模型渔场实际应养多少鱼关于饮水机的思考资金分配问题第16页/共98页渔场实际应养多少鱼问题某渔场中渔群的最大养殖量为

6、一定值m吨.为保证渔群的生产空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.由长期的统计数据可知,鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比,要想鱼群的年增长量最大,实际应养多少鱼?第17页/共98页建模分析这一问题中涉及最大养殖量、实际养殖量、空闲量、空闲率、年增长量等多个量，其中最大养殖量为定值m吨，空闲量、空闲率、年增长量都随实际养殖量的变化而变化。第18页/共98页建立模型假设实际养殖量为x吨，年增长量为y吨，则空闲量为(m-x)吨，空闲率为 ，由问题概述可建立目标函数为第19页/共98页第20页/共98页即实际养殖量为最大养殖量的一半时，鱼群的年增长量最大，最大增长量为

7、 吨。第21页/共98页关于饮水机的思考基本假设（）忽略饮水机启动时所需的 电能（）当人回来时，水的温度恰为 制热所能达到的最高温度第22页/共98页符号的约定 饮水机的制热功率（单位：）饮水机的保温功率（单位：）饮水机的制热最低温度（单位：）饮水机的保温最低温度（单位：）饮水机机内水的质量 （单位：kg）第23页/共98页 饮水机的电阻（单位：）饮水机的工作电压（单位：）把水从室温加热到的时间 （单位：s）在保温情况下，从降到的 间（单位：s）水的比热（单位：kg ）第24页/共98页在保温过程中,水吸收的热量:水散失的热量:单位时间内水散失的热量:第25页/共98页当外出开着饮水机时,在外

8、出时间t内,消耗的电能:当外出关掉饮水机时,回来后重新启动,饮水机消耗的电能:第26页/共98页1.当 时,则外出时开着饮水机 较为省电,即所以2.当 时,则外出时关掉饮水机 较为省电,即第27页/共98页模型的应用与评价一台TC-9901LW型的饮水机,经测量,所需的数据如下:则第28页/共98页资金分配问题有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所获得的利润依次为P万元和Q万元.它们与投入资金万元有如下经验公式:现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金应如何分配投入?第29页/共98页建模分析 设对甲种商品投入万元,则投入乙种商品为(3-)万元,所获得的利润

9、总额(万元)为第30页/共98页模型求解 设 ,则则原函数变形为第31页/共98页当 时,即因此,为获取最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元,获得的最大利润为1.05万元.第32页/共98页幂函数、指数函数、对数函数模型基本处理方法第33页/共98页第34页/共98页第35页/共98页交通流量问题生活背景 由于人口的增加,人们生活 水平的提高,社会拥有车辆的数量在快 速增加,许多大中城市都车满为患,塞 车现象处处可见,所以每一位司机和乘 客,都会共同关心交通流量的问题第36页/共98页交通流量的定义 设某一辆车的车头与随后的车相隔的距离为,而行驶的车速为,定义

10、单位时间内通过的车辆数为交通流量,则交通流量有以下关系式:第37页/共98页分析 定义车距:前车车尾至后车车头间的距离,记为 ,L表示车长.则(1)在交通拥挤的情况下,由于 ,故(2)在交通畅通的情况(如高速公路)下,由于 ,故第38页/共98页由于 ,其中t为煞车前的反应时间,(交通拥挤时)(交通畅通时)所以故第39页/共98页评价 遇上交通拥挤时,影响交通流量的主要是车速与车长,在这种情况下,车速自然要放慢,否则只会发生意外.因此,影响最大的因素就是车长,在马路上排队的短身车辆,明显地对交通流量增加有不小的“贡献”.至于在高速公路上,影响交通流量的最主要因素不是速度而是架车者的反应.第40

11、页/共98页 不等式模型洗衣问题挑选水果问题足球射门问题第41页/共98页第42页/共98页第43页/共98页第44页/共98页第45页/共98页洗衣问题用洗衣机洗衣时,洗涤并甩干后进入漂洗阶段,漂洗阶段由多次漂洗和甩干组成,每次漂洗后可使残留物均匀分布,每次甩干后(包括洗涤后的甩干)衣物中的残留水分(含有残留物)的重量相同.若漂洗的总用水量为千克,漂洗并甩干的次数为3次,为使漂洗后衣物中的残留物最少,该如何确定每次漂洗的用水量?第46页/共98页 设每次甩干后衣物中的残留水分(含有残留物)的重量为,洗涤并甩干后衣物中的残留物(不含水分)为 ,三次漂洗并甩干后衣物中的残留物(不含水分)分别为

12、,三次用水量分别为 .(以上各量单位皆为千克)第47页/共98页则由已知,得 第48页/共98页同理可得第49页/共98页由 及平均值定理,得当且仅当 时等号成立.第50页/共98页故当且仅当 时等号成立.则将千克的水平均分成三次使用可使衣物上的残留物最少.第51页/共98页挑选水果问题果皮较厚且核较小的水果（如西瓜、橘子等）设水果果皮厚度为，则 可食率为常数，当越大即水果越大，则越小，可食率越大dR第52页/共98页果皮较厚且核（或籽集）较大的水果设核半径为kR(kb0,a,b为定值,再设ABDxabC第61页/共98页ABDxabC第62页/共98页第63页/共98页第64页/共98页数列

13、模型建模(或知识应用)提示1.要熟悉相关行业的一些基本知识,专业术语.2.在解决某一问题时,必须实事求是地搜集大量的有关信息、资料、数据.3.对取得的信息、数据要进行整理、处理.第65页/共98页4.进行合理的数学假设.5.数列知识的应用相当广泛,经济领域中如银行的存贷款、证券、期货、保险、企业的产值、成本、仓储;社会问题中的人口增加、人口质量、土地及资源的利用及配置;环境问题中的水资源保护、空气污染、森林覆盖等等,都可运用数列知识解决或部分解决.6.建立起模型后,一般应回到实际问题中加以检验,如若不符,应加以调整,直至基本符合.第66页/共98页如何存款问题 中国人民银行公布(1999年)现

14、行银行整存整取利率如表所示.现有一位刚升入初一的学生家长,欲为其存1万元以供6年后上大学使用,问采取怎样的方案存款,可使6年所获收益最大?最大收益多少?一年期 二年期 三年期 五年期2.25%2.43%2.70%2.88%第67页/共98页分析 首先可以作出数学假设:在此期间利率 不变.一般来说,对于存款,银行只计单 利不计复利,所以是等差数列.倘若某人 将定期存款到期后把本利又转入第二 个定期,此时才可计复利.第68页/共98页 解:设年期存次(按复利计算)获利金 额记作 简记作 ;存一次 年期再存一次k年期获利金额记作 于是,一年期存两次获利金额(精确到分)为 两年期存一次获利金额为 所以

15、,第69页/共98页存一次一年期再存一次两年期的获利金额为三年期存一次获利金额为所以第70页/共98页 存一次两年期再存一次三年期的获利金额五年期存一次的获利金额为所以第71页/共98页三年期存两次的获利金额为两年期存三次的获利金额为第72页/共98页存一次五年期再存一次一年期的获利金额为所以 且故存一次五年期一次一年期所获收益最大,为1697.40元第73页/共98页分期付款问题李师傅准备购置一套商品房,需要向银行贷款8万元才行.经咨询知道银行贷款月利为0.01且为复利,贷款期为25年.李师傅每月稳定可有950元的结余,如果他准备按月偿还贷款,是否具有偿还能力?第74页/共98页解设贷款A元

16、,按月复利r计算,到n月末的本利和为 元.另一方面,若每月偿还金为a元,利息同上,则n月末的本利合计为第75页/共98页第76页/共98页三角模型建模或知识应用提示1.凡与周期性振动有关或类似的问题,如水流、水波、声波、爆炸物爆炸后引起的振动等等,适宜建立三角函数模型.2.一些与角有关的问题如视角、方位角,以及与旋转有关的问题也可以建立三角函数模型.第77页/共98页3.对于周期性变化的问题,要认真、准确、真实地收集数据,要从不同渠道、不同角度去取得数据.4.认真处理收集到的数据,结合合理的数学假设,最终确定有效数据.5.可以拟定几个不同的方案建立数学模型,然后利用已有数据或付之实践加以检验,

17、通过对比误差或经过若干次适当调整后,确定最后方案.第78页/共98页怎样搬运家具一转角沙发能否水平般进房间?房门的宽为0.9米,墙厚0.28米,将转角沙发进行适当简化,其俯视图及尺寸如图所示1.3米0.48米1.3米0.48米第79页/共98页AGFEBMCKDN第80页/共98页第81页/共98页第82页/共98页第83页/共98页几何模型建模(或知识应用)提示1.分割不规则的或非常复杂的几何体,进行简化与假设.2.进行数学抽象.3.同一几何问题可以从不同角度加以研究.4.善于归类.5.几何问题一般可分为两类.(1)数学问题建立几何模型.(2)其他数学知识解决几何问题.第84页/共98页设计

18、穿衣镜背景近年来,一座座大商场相继出现,有些商场只重视外部装潢而忽视了一些细小而又方便顾客的地方.比如试衣间的镜子就应既能使试衣者全面看到自己的形象,又要设计美观新颖,并且节省材料.请设计最合理的试衣镜.第85页/共98页距地面最高点所谓最高点即指眼睛通过镜子看到头顶的位置。一般人，眼睛到头顶、到脚的距离与身高之比为1：13：14。因此若计算最高点，应用185cm身高去计算OMECADB第86页/共98页OMECADB第87页/共98页第88页/共98页距地面最低点OMECADB第89页/共98页宽度RBLMN人镜第90页/共98页RBLMN人镜36178701086717870108第91页

19、/共98页例:如图,森林的边界是直线l,l,兔子和狼分别在l l的垂线ACAC上的点A A和点B B处(AB=BC=a).(AB=BC=a).现兔子沿线AD(AD(或AE)AE)以速度2v2v准备越过l l向树林逃跑,同时狼沿线段BM(BM(点M M在ADAD上)或BN(BN(点N N在AEAE上)以速度v v进行追击.若狼比兔子先到或同时到达M M(或N)N)处,狼就会吃掉兔子ANECBMDl第92页/共98页(1)求兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的地方)组成的区域的面积S第93页/共98页分析 兔子要想不被狼吃掉,则兔子从A跑到M的时间应比狼从B跑到M的时间要少,因此,在已知速度的情况下,只需计算出AM、BM的路程即可,可选用解析几何模型.建立如图所示的坐标系yANEO CBMDx第94页/共98页ANEO CBMDyx第95页/共98页第96页/共98页第97页/共98页感谢您的观看！第98页/共98页