矩阵力学基础——表象理论.pptx

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1、第四章 矩阵力学基础表象理论本章目的：给出用各种方式平行描述体系状态、力学量等方案表象找出不同表象之间的相互关系和变换规则么正变换建立一套用态矢量描述量子态的方案Dirac算符引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子第1页/共78页4.1 态和算符的表象表示表象：态和力学量的一种具体表述方式给定一个线性厄米算符找出它的本征函数系Un(r)Un(r)具有正交、归一、完备、封闭性，可以作为Hilbert空间的一组基底表象态的表象第2页/共78页4.1 态和算符的表象表示坐标表象：第3页/共78页4.1 态和算符的表象表示动量表象：第4页/共78页4.1 态和算符的表象表示任意表象：第5页/共78页4.1

2、 态和算符的表象表示第6页/共78页4.1 态和算符的表象表示说明：列矩阵是在Q表象中的波函数Hilbert空间与普通空间的不同在于：复矢量、可以是无穷维、空间维数本征函数系中本征函数的个数若某波函数刚好是Q的本征态，则将它按Q本征态展开式中只有一项第7页/共78页4.1 态和算符的表象表示连续谱表示第8页/共78页4.1 态和算符的表象表示算符的表象：第9页/共78页4.1 态和算符的表象表示第10页/共78页4.1 态和算符的表象表示第11页/共78页4.1 态和算符的表象表示第12页/共78页4.1 态和算符的表象表示第13页/共78页4.1 态和算符的表象表示Q表象中的算符F 矩阵，矩

3、阵元F_nm是第m个新基在第n个旧基上的投影连续谱：第14页/共78页4.1 态和算符的表象表示厄米算符厄米矩阵第15页/共78页4.1 态和算符的表象表示算符在自身表象中对应对角矩阵第16页/共78页4.1 态和算符的表象表示结论：量子态Hilbert空间中的态矢量波函数态矢量在特定基底中的分量，可用列矩阵或波函数表示Q的本征函数系Q表象的基底不同表象不同基，不同坐标系第17页/共78页4.1 态和算符的表象表示结论：本征函数基矢厄米算符的本征函数系完备基算符矩阵第18页/共78页4.2 矩阵力学表述波函数第19页/共78页4.2 矩阵力学表述算符第20页/共78页4.2 矩阵力学表述平均值

4、公式第21页/共78页4.2 矩阵力学表述平均值公式第22页/共78页4.2 矩阵力学表述归一条件第23页/共78页4.2 矩阵力学表述归一条件第24页/共78页4.2 矩阵力学表述本征值方程第25页/共78页4.2 矩阵力学表述第26页/共78页4.2 矩阵力学表述第27页/共78页4.2 矩阵力学表述矩阵力学提供了另一种与波动力学不同的求本征值和本征函数的方案：1)求解本征方程 2)使算符对应的矩阵对角化第28页/共78页4.2 矩阵力学表述薛定谔方程：第29页/共78页4.2 矩阵力学表述第30页/共78页4.2 矩阵力学表述第31页/共78页4.2 矩阵力学表述将求解偏微分方程的问题变

5、为算矩阵元F_nm，及求解线性偏微分方程组的问题若F厄米，则久期方程的根必为实根(但可能有重根)第32页/共78页4.3 么正变换问题：F的本征值是否与表象有关？从表象A表象B，波函数、算符怎么变？坐标空间的变换：平移旋转，正交变换(实空间)不同表象的变换：么正变换第33页/共78页4.3 么正变换第34页/共78页4.3 么正变换第35页/共78页4.3 么正变换第36页/共78页4.3 么正变换第37页/共78页4.3 么正变换第38页/共78页4.3 么正变换第39页/共78页4.3 么正变换算符第40页/共78页4.3 么正变换波函数第41页/共78页4.3 么正变换第42页/共78页

6、4.3 么正变换本征态第43页/共78页4.3 么正变换一种新的求本征值的方案通过么正变换使矩阵对角化？并不简易第44页/共78页4.3 么正变换第45页/共78页4.3 么正变换么正变换不改变矩阵F的阵迹第46页/共78页4.3 么正变换演化算符，含时间的么正变换第47页/共78页4.4 狄拉克符号目的：引入一套矢量运算方法，不依赖于具体的表象符号：ket bra 的共轭矢量第48页/共78页4.4 狄拉克符号第49页/共78页4.4 狄拉克符号第50页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象目的：用矩阵力学方法求解线性谐振子建立占有数表象，引入产生、湮灭算符给出一套在谐振子表象中计算坐标矩

7、阵元和动量矩阵元的最方便的方案第51页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第52页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第53页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第54页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第55页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第56页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第57页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第58页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第59页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第60页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第61页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第62页/共78页4.5 线性谐振子和占有

8、数表象第63页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第64页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第65页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第66页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第67页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第68页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象产生、湮灭(波色)算符的性质第69页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第70页/共78页4.5 线性谐振子和占有数表象第71页/共78页本章小结第72页/共78页本章小结第73页/共78页本章小结第74页/共78页本章小结第75页/共78页本章小结第76页/共78页第77页/共78页感谢您的观看！第78页/共78页