第3章离散傅里叶变换(DFT).ppt

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1、第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质3.3 频率域采样频率域采样3.4 DFT的应用举例的应用举例vDFT是信号处理的桥梁，其实质是有限长序列是信号处理的桥梁，其实质是有限长序列傅立叶变换的傅立叶变换的有限点采样有限点采样。vDFT解决两个问题：解决两个问题：n一是一是离散化离散化(有利于计算机处理有利于计算机处理)，n二是二是快速运算快速运算(提高实时性提高实时性)。3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 3.1.1 DFT的定义的定义 设设x(n)是是一一个个长

2、长度度为为M的的有有限限长长序序列列，则则定定义义x(n)的的N点点离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)为为 式中式中 ，N称为称为DFT变换区间长度，变换区间长度，NM。X(k)的离散傅里叶逆变换的离散傅里叶逆变换(IDFT)为为通常称通常称(3.1.1)式和式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。式为离散傅里叶变换对。下面证明下面证明x(n)=IDFTX(k)。把把(3.1.1)式代入式代入(3.1.2)式有式有M为整数为整数 所以所以 IDFTX(k)=x(n),0nN-1 交换求和次序交换求和次序 证明：证明：例例3.1.1 x(n)=R4(n)，求求x(n)的的4点点、8点点和和1

3、6点点DFT。(1)设变换区间设变换区间N=4，则则(2)设变换区间设变换区间N=8，则则(3)设变换区间设变换区间N=16，则则FT 32点点FT 3.1.2 DFT和和Z变换的关系变换的关系设序列设序列x(n)的长度为的长度为N，其，其FT，ZT和和DFT分别为：分别为：可得：可得：X(k)与与X(z)的关系的关系 1234567(N-1)k=0采样点在单位圆上的采样点在单位圆上的N个等分点上个等分点上是是Z变换变换 在单位圆上采样在单位圆上采样DFT和和z变换的关系变换的关系图图 3.1.1 X(k)与与X(e j)的关系的关系 3.1.3 周期序列的周期序列的DFS与与DFT 是有限长

4、序列是有限长序列x(n)的以的以N为周期的周期延拓序列为周期的周期延拓序列当当N大于大于x(n)的长度时，的长度时，x(n)N表示表示x(n)以以N为周期的周为周期的周期延拓序列：期延拓序列：主值序列：主值序列：而主值区间上的序列称为而主值区间上的序列称为 的主值序列。的主值序列。主值区间：主值区间：周期序列周期序列 从从n=0到到N-1的第一个周期。的第一个周期。图图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓有限长序列及其周期延拓 的离散傅里叶级数的离散傅里叶级数DFS表示为表示为(3.1.8)对比可知对比可知X(k)是是 主值序列。主值序列。所以所以见见(2.3.6)物理意义：物理意义：X(k)

5、是是x(n)N频谱特性。频谱特性。v在例在例3.1.1 中中DFTR4(n)4=4(k)。v物理意义：物理意义：DFTR4(n)4表示表示R4(n)以以4为周期为周期的周期延拓序列的周期延拓序列R4(n)4的频谱特性，因为的频谱特性，因为R4(n)4是一个直流序列，只有直流成分。是一个直流序列，只有直流成分。例例 3.1.3，将，将x(n)=R4(n)，以周期，以周期4进行延拓，求其进行延拓，求其DFS和和DFT。N=4例例 3.1.3，将，将x(n)=R4(n)，以周期，以周期32进行延拓，求其进行延拓，求其DFS和和DFT。N=323.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质3

6、.2.1 线性性质线性性质 如如果果x1(n)和和x2(n)是是两两个个有有限限长长序序列列，长长度分别为度分别为N1和和N2。y(n)=ax1(n)+bx2(n)式式中中a、b为为常常数数，即即y(n)的的长长度度为为N=maxN1,N2，则则y(n)的的N点点DFT为为Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k),k=0,1,N-1 (3.2.1)其中其中X1(k)和和X2(k)分别为分别为x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT。3.2.2 循环移位性质循环移位性质1.序列的循环移位序列的循环移位 设设x(n)为为有有限限长长序序列列，长长度度为为N，则则x(n)的的循循环移位定

7、义为环移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(n)(3.2.2)图图 3.2.1 循环移位过程示意图循环移位过程示意图 1.将将 x(n)以以N为周期进行周期延拓得到为周期进行周期延拓得到 3.取取 的主值序列则得到的主值序列则得到x(n)的循环移位序列的循环移位序列 2.将将 左移左移m位得到位得到序列的循环移位序列的循环移位2.时域循环移位定理时域循环移位定理 设设x(n)是是长长度度为为N的的有有限限长长序序列列，y(n)为为x(n)的循环移位，的循环移位，即即 y(n)=x(n+m)NRN(n)则则 (3.2.3)其中其中X(k)=DFTx(n),0kN-1。证明：证明：令令n+m=

8、n，则有，则有 由由于于上上式式中中x(n)和和 以以N为为周周期期，所所以对其在任一周期上的求和结果相同。以对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区，则得：将上式的求和区间改在主值区，则得：3.频域循环移位定理频域循环移位定理如果如果 X(k)=DFTx(n),0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)则则y(n)=IDFTY(k)=(3.2.4)3.2.3 循环卷积定理循环卷积定理1.两个有限长序列的循环卷积两个有限长序列的循环卷积设设x1(n)和和x2(n)的长度分别为的长度分别为N1和和N2，x1(n)和和x2(n)的的N点循环卷积定义为：点循环卷积定义为：Nma

9、xN,M，称，称为为循循环环卷卷积长积长度，度，表示表示L点循点循环环卷卷积积。N 图图3.2.2 循环卷积过程示意图循环卷积过程示意图循环反转循环反转循环移位循环移位1循环移位循环移位2循环移位循环移位N-1N=8循环卷积过程循环卷积过程例例3.2.1：求循环卷积求循环卷积N-10nN-10nN=7N0m0m0m0m例例3.2.2：两个序列的循环卷积过程两个序列的循环卷积过程 N=6 （1）画出）画出 和和 的图形；的图形；（2）将）将 循环反转循环反转,得到得到 可计算出：可计算出：计算区计算区m0 1 2 3 4 5m0 1 2 3 4 512m 0 1 2 3 4 61可计算出：可计算

10、出：（3）将）将 右移右移1位，得到位，得到mm 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5计算区计算区m0 1 2 3 4 5（4）将）将 右移右移2位、得到位、得到 可计算出：可计算出：（5）以此类推，）以此类推，n134 4计算区计算区31线性卷积与循环卷积比较线性卷积与循环卷积比较 有有 限限 长长 序序 列列 x1(n)和和 x2(n)，长长 度度 分分 别别 为为 N1和和 N2，N=maxN1,N2。x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT分别为：分别为：X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)如果如果 ，则，则x(n)的的N点点DFT为：为：X(k)=X1(k)X2

11、(k)(3.2.5)2.时域循环卷积定理时域循环卷积定理N证明：证明：直接对直接对(3.2.5)式两边进行式两边进行DFT 令令n-m=n，则有则有 交换求和次序交换求和次序 因因为为上上式式中中 以以N为为周周期期，所所以以对对其其在在任任一一个个周期上求和的结果不变。因此周期上求和的结果不变。因此对对X(k)取反变换取反变换交换律交换律因为因为所以所以 如果如果 x(n)=x1(n)x2(n)则则(3.2.6)X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)0kN-1或者或者 3.频域循环卷积定理频域循环卷积定理NN3.2.4 复共轭序列的复共轭序列的DFT设设x*(n)是是x(n

12、)的复共轭序列，的复共轭序列，长度为长度为N X(k)=DFTx(n)则则 DFTx*(n)=X*(N-k),0kN-1 (3.2.7)且且 X(N)=X(0)证明：证明：又由又由X(k)的隐含周期性有的隐含周期性有X(N)=X(0)用同样的方法可以证明用同样的方法可以证明 DFTx*(N-n)=X*(k)(3.2.8)3.2.5 DFT的共轭对称性的共轭对称性1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 有限长共轭对称序列有限长共轭对称序列 有限长共轭反对称序列有限长共轭反对称序列满足如下定义式：满足如下定义式：xep(n)=x*ep(N-n),0nN-1 (3.

13、2.9)xop(n)=-x*op(N-n),0nN-1 (3.2.10)对称性：关于对称性：关于N/2点点当当N为偶数时，为偶数时，将上式中的将上式中的n换成换成N/2-n可得到可得到共轭对称与共轭反对称序列示意图共轭对称与共轭反对称序列示意图 2.DFT的共轭对称性的共轭对称性 (1)如果如果x(n)=xr(n)+jxi(n)则则Xep(k)=DFTxr(n)X(k)的共轭对称分量的共轭对称分量 Xop(k)=DFTjxi(n)X(k)的共轭反对称分量的共轭反对称分量 实部实部虚部虚部Xep(k)=1/2X(k)+X*(N-k)Xop(n)=1/2X(k)-X*(N-k)(2)如果如果x(n

14、)=xep(n)+xop(n)，0nN-1(3.2.17)则则 XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n)jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n)共轭对称分量共轭反对称分量其中其中X(k)=DFTx(n)=XR(k)+jXI(k)xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n)xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n)(3)设设 x(n)是是 长长 度度 为为 N的的 实实 序序 列列，且且X(k)=DFTx(n)，则则:X(k)=X*(N-k),0kN-1 (3.2.19)v实实际际计计算算中中对对实实序序列列进进行行DFT，利利用用上上述述对对称称性性质，可以减少质，可以减少DFT

15、将近一半的运算量。将近一半的运算量。v利利用用DFT的的共共轭轭对对称称性性，通通过过计计算算一一个个N点点DFT，可以得到两个不同实序列的可以得到两个不同实序列的N点点DFT。3.3 频率域采样频率域采样 如如果果序序列列x(n)的的长长度度为为M，则则只只有有当当频频域域采采样样点点数数NM时时，才有才有 xN(n)=IDFTX(k)=x(n)即即可可由由频频域域采采样样X(k)恢恢复复原原序序列列x(n)，否否则则产产生时域混叠现象。生时域混叠现象。频域采样定理：频域采样定理：例：长度为例：长度为26的三角形序列，通过的三角形序列，通过Matlab程序程序验证频域采样定理验证频域采样定理

16、三角形序列的三角形序列的ft对对ft进行采样，采样点数为进行采样，采样点数为3226，再做，再做IDFT，求得原序列，求得原序列对对ft进行采样，采样点数为进行采样，采样点数为16=M+N-1时，时，yl(n)以以L为周期的周期延拓时为周期的周期延拓时才无时域混叠现象，此时取主值序列，则有才无时域混叠现象，此时取主值序列，则有 yc(n)yl(n)v循环卷积等于线性卷积的条件循环卷积等于线性卷积的条件：假假设设h(n)和和x(n)都都是是有有限限长长序序列列，长长度度分分别别是是N和和M，当当L=M+N-1时时，(N为为h(n)的的长长度度，M为为x(n)的的长长度度，L为为循循环环卷卷积积长

17、长度度，也也是是DFT变换区间的长度变换区间的长度)，循环卷积等于线性卷积。，循环卷积等于线性卷积。图图 3.4.2 线性卷积与循环卷积线性卷积与循环卷积 快速卷积快速卷积：在满足循环卷积等于线性卷积的条件下，：在满足循环卷积等于线性卷积的条件下，可以按照图可以按照图3.4.1计算线性卷积。计算线性卷积。DFT和和IDFT通常用通常用快速算法快速算法FFT实现，因此称为快速卷积。实现，因此称为快速卷积。重叠相加法计算线性卷积重叠相加法计算线性卷积v当两个序列长度相差很大时，需要对短序列补充当两个序列长度相差很大时，需要对短序列补充很多零点，才能进行很多零点，才能进行fft，因此要求存贮容量大，

18、因此要求存贮容量大，运算时间长，很难实时处理。运算时间长，很难实时处理。v因此可以将长序列分成几段短序列，再分段线性因此可以将长序列分成几段短序列，再分段线性卷积，把卷积的结果叠加起来即可。卷积，把卷积的结果叠加起来即可。v这样的方法大大减少了存贮量和运算量。这样的方法大大减少了存贮量和运算量。v设设序序列列h(n)长长度度为为N，x(n)为为无无限限长长序序列列。将将x(n)均匀分段，均匀分段，每段长度取每段长度取M，则则于是，于是，h(n)与与x(n)的线性卷积可表示为的线性卷积可表示为(3.4.4)其中其中图图 3.4.4 重叠相加法卷积示意图重叠相加法卷积示意图 重叠相加重叠相加边输入

19、边输入边计算边计算边输出边输出3.4.2 用用DFT对信号进行谱分析对信号进行谱分析v所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。v连连续续信信号号与与系系统统的的傅傅里里叶叶分分析析不不能能直直接接用用计计算算机机进进行行计计算算，而而DFT是是一一种种时时域域和和频频域域均均离离散散化化的的变变换换，成为分析离散信号和系统的有力工具。成为分析离散信号和系统的有力工具。v工工程程实实际际中中，经经常常遇遇到到的的连连续续信信号号xa(t)，其其频频谱谱函数函数Xa(j)也是连续函数。也是连续函数。v用用DFT作频谱分析，只能处理有限时宽的信号。作频谱分

20、析，只能处理有限时宽的信号。v有限时宽信号的时宽记为有限时宽信号的时宽记为Tp。v对模拟信号进行数字处理。对模拟信号进行数字处理。n1.必须对模拟信号xa(t)作时域采样，得到 x(n)=xa(nT)，时域采样频率为Fs=1/T。n2.利用DFT对x(n)进行频谱分析，X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ej)在频率区间0,2上的N点等间隔采样，其中数字域频域采样间隔为2/N。v对连续信号频谱进行数字处理时，既会遇到时域采对连续信号频谱进行数字处理时，既会遇到时域采样，也要处理频域采样，如图所示。样，也要处理频域采样，如图所示。用用DFT作频谱分析作频谱分析时时域域采采样样DFT(频频域域采采样

21、样)xa(t)x(n)X(k)与与时时域域采采样样和和频频域域采采样样有有关关的的几几个个参参数数为为：它它们们的的关关系系为为对对模模拟拟信信号号的的频频域域采采样样间间隔隔F；时时域域采采样样间间隔隔T；频频域域采采样样点点数数N；数数据据长长度度Tp；F=Fs/N=1/NT=1/Tp时时域域采采样样频频率率 Fs；在在满满足足时时域域采采样样定定理理时时，可可以以由由X(k)恢恢复复Xa(j)或或x(t)；频谱分析中的几个问题频谱分析中的几个问题v1.混叠效应混叠效应v2.栅栏效应栅栏效应v3.截断效应（频谱泄漏）截断效应（频谱泄漏）1.混叠效应混叠效应v连续信号频谱进行数字处理时，连续

22、信号频谱进行数字处理时，x(n)、X(k)均均为有限长序列。为有限长序列。v而傅里叶变换理论指出，而傅里叶变换理论指出，一般时宽有限的信号，其一般时宽有限的信号，其频宽是无限的；若信号频带无限宽，则其持续时间频宽是无限的；若信号频带无限宽，则其持续时间无限长。无限长。v从理论上说，没有有限时宽的带限信号。从理论上说，没有有限时宽的带限信号。v因此只能处理因此只能处理有限时宽有限时宽信号。信号。v对频宽无限的信号采样后，在频域中会出现混叠，对频宽无限的信号采样后，在频域中会出现混叠，形成频谱失真，不能反映原信号的全部信息，这就形成频谱失真，不能反映原信号的全部信息，这就是混叠效应。是混叠效应。v

23、所以用所以用DFT作谱分析是近似分析。作谱分析是近似分析。减小混叠的措施减小混叠的措施v1.采用预滤波方法滤除一定的高频成分，使连续信采用预滤波方法滤除一定的高频成分，使连续信号的有效带宽号的有效带宽 fc小于折叠频率小于折叠频率Fs/2。v2.为了进一步减小混叠效应，除了采用预滤波法外，为了进一步减小混叠效应，除了采用预滤波法外，通常采样频率取通常采样频率取Fs=3fc6 fc。Fs在单位时间内采样点数多在单位时间内采样点数多，要存储的数据量大、，要存储的数据量大、计算量大计算量大;Fs 在单位时间内采样点数少，要存储的数据量少在单位时间内采样点数少，要存储的数据量少,计算量小。计算量小。2

24、.栅栏效应栅栏效应vDFT可以看作由许多窄带带通滤波器组成的滤波器。可以看作由许多窄带带通滤波器组成的滤波器。vx(t)的傅里叶变换具有连续频谱，采样后的傅里叶变换具有连续频谱，采样后x(n)的的DFT的频谱是的频谱是X(ej )上的若干点，上的若干点，只能看到只能看到n个离个离散采样点的谱线，就象是在栅栏的一边，通过缝隙散采样点的谱线，就象是在栅栏的一边，通过缝隙观看另一边的景象，所以称为观看另一边的景象，所以称为“栅栏效应栅栏效应”。v为了得到高密度的频谱，最简单的方法是在为了得到高密度的频谱，最简单的方法是在x(n)后补零。后补零。直流直流F2F(N 1)FDFTn=1、2、3.x(n)

25、直直 流流通通 道道X(0)（N 1）次次谐波带通谐波带通X(N 1)基频带基频带通滤波器通滤波器X(1)2倍频带通倍频带通滤波器滤波器X(2)FsFsx(n)后面再补后面再补4个零值个零值 N=8，F =fs/12 F=fs/8 F =Fs/12 N=8，F=Fs/8FF 81116542301097122 8176542302 因为因为 T=Tp/N=1/Fs，Fs=N/Tp如果不是在采样样本后面加零，在数据长度如果不是在采样样本后面加零，在数据长度 Tp一定的一定的情况下仅增加采样率情况下仅增加采样率Fs是不能改变频谱密度的。是不能改变频谱密度的。因此因此F=Fs/N=1/Tp可以看到可

26、以看到0、1Hz的情况。的情况。可以看到可以看到0、1、2、3Hz的情况，频率间隔同例的情况，频率间隔同例1。4f sN F =1Hz4HzfsNF=2=1Hz2Hz例例1 Tp=1s 2点，点，T=0.5s，所以，所以 Fs=1/0.5=2Hz，取样取样例例2 Tp=1s 4点，点，T=0.25s，所以，所以 F s=1/0.25=4Hz，取样取样此时，频率间隔是例此时，频率间隔是例1的的1/2。情况同情况同1。可可 以以 看看 到到0、0.5、1、1.5Hz的的 情情 况况。FsN F =4=0.5Hz2Hz补两个零补两个零N =4，例例3 Tp=1s 2点，点，T=0.5s，所以，所以

27、Fs=1/0.5=2Hz，取样取样通过此例可见增加采样率的是频谱观察通过此例可见增加采样率的是频谱观察范围，而不能改变频谱观察密度。范围，而不能改变频谱观察密度。3.截断效应（频谱泄漏）截断效应（频谱泄漏）vDFT处理的是有限理的是有限时宽序列，序列，实际的的x(n)可能是可能是非常非常长，处理理时需要截断。需要截断。v要将要将x(n)分分为若干若干N点的序列，相当于不断地用矩点的序列，相当于不断地用矩形窗乘以形窗乘以该序列。序列。v矩形函数的作用像一扇矩形函数的作用像一扇“窗窗”，透过此窗只能，透过此窗只能“看看”到到x(n)的一部分，所以截断函数也称窗函数。的一部分，所以截断函数也称窗函数

28、。x(n)经过截断函数，时域为相乘，频域为卷积，这经过截断函数，时域为相乘，频域为卷积，这就造成拖尾现象，使得加就造成拖尾现象，使得加“窗窗”序列的频谱与原频序列的频谱与原频谱不同。谱不同。x(n)R(n)X(ej)R(ej)2 1x(n)被截断后：被截断后：0n0nn举例说明截断的影响举例说明截断的影响DFT的参数的参数选择v用用DFT对连续信号进行频谱分析时，要考虑两个方对连续信号进行频谱分析时，要考虑两个方面。面。n频谱分析范围频谱分析范围n频率分辨率频率分辨率频谱分析范围频谱分析范围v频谱分析范围由采样频率频谱分析范围由采样频率Fs决定，为了减少混叠失决定，为了减少混叠失真，通常要求真，通常要求Fs 2fc。v但采样频率但采样频率Fs高，在单位时间内采样点数多，要存高，在单位时间内采样点数多，要存储的数据量大，计算量就大。储的数据量大，计算量就大。v通常将频域采样间隔通常将频域采样间隔F=Fs/N定义为频率分辨率。定义为频率分辨率。v频率分辨率是谱分析中分辨两个不同频率分量的最频率分辨率是谱分析中分辨两个不同频率分量的最小间隔。小间隔。