(3.4.1)--8.4多元函数的极值及其求法.ppt

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1、高等数学 (2)(2)1 8.5 8.5 多元函数极值及其求法多元函数极值及其求法多元函数极值及其求法多元函数极值及其求法多元函数极值条件极值2一、一、多元函数的极值多元函数的极值 定义定义:则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值例如例如 :在点在点(0,0)在点在点(0,0)在点在点(0,0)极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.(或极小值或极小值).的某邻域内有定义的某邻域内有定义,都有都有设函数设函数有极小值有极小值;有极大值有极大值;无极值无极值.注注:例如例如,定理定理1(1(必要条件必要条件)设函数

2、设函数偏导数偏导数,但但反之不一定成立。反之不一定成立。且函数在该点取得极值且函数在该点取得极值,则有则有处存在处存在(2)存在存在偏导数的函数的极值点偏导数的函数的极值点(3)极值点极值点的嫌疑点：的嫌疑点：驻点、驻点、偏导数不存在的偏导数不存在的点点.如如:在点在点(0,0)处处在点在点(0,0)处处下面给出二元函数极值存在的必要条件下面给出二元函数极值存在的必要条件(1)使得使得偏导数同时为偏导数同时为 0 的点称为的点称为驻点驻点.必为驻点必为驻点,有极大值有极大值;无极值无极值,但但(0,0)为驻点为驻点.但在但在(0,0)处处偏导数却不存在偏导数却不存在.时时,定理定理2(2(充分

3、条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令令则则:A0 时时,取取极小值极小值.(2)(3)时时,时时,若函数若函数且且函数取得极值函数取得极值函数没有极值函数没有极值.不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.(1)当当当当当当驻点驻点求函数极值的思路求函数极值的思路:求偏导数求偏导数,找嫌疑点找嫌疑点;利用定理利用定理2 判定判定.例例1 1 求函数解解:第一第一步步 求取得极值的嫌疑点求取得极值的嫌疑点得驻点:解方程组得,的极值.令(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 求二阶偏导数求二阶偏导数 极小值极小值极大值极大值无极

4、值无极值无极值无极值驻点驻点结论结论第三步第三步 判断判断二二、条件极值条件极值1.极值极值问题问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:2.条件极值条件极值的求法的求法:方法方法1对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它附加条件限制还有其它附加条件限制化为无条件极值问题化为无条件极值问题方法方法2 2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.方法方法2 2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.步骤步骤步骤步骤:构造构造拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日函数函数函数函数 令令 判定点判定点(x,y)是否为极值点是否为极值点.是可能的极值点是可能的

5、极值点.例例3 3求表面积为求表面积为a2则问题就是则问题就是设设令令解解:求函数求函数下的最大值下的最大值.长方体的体积长方体的体积.而体积最大的而体积最大的设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为x、y、z,在条件在条件极大值极大值.由问题本身的意义可知由问题本身的意义可知,最大值一定存在最大值一定存在.长方体体积最大长方体体积最大.因此因此,当长、宽、高相等时，当长、宽、高相等时，即以棱长为即以棱长为 的正方体的体积最大，的正方体的体积最大，最大体积为最大体积为解得解得即有唯一可能的极值点即有唯一可能的极值点内容小结内容小结1.函数的极值函数的极值极值点的嫌疑点极值点的嫌疑点定义定义必要条件必要条件充分条件充分条件驻点驻点偏导数不存在的点偏导数不存在的点(判定驻点判定驻点)2.函数的条件极值函数的条件极值(1)简单简单问题转化为无条件极值问题转化为无条件极值(2)一般一般问题用拉格朗日乘数法问题用拉格朗日乘数法Thanks!