第四章(2)第四章(2).ppt

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1、第四章第四章 球函数的应用球函数的应用 4.1引力位展开成球函数的级数和位系数及其物理意义 为了说明球函数在位理论中的重要性，我们首先将引力位表示成球函数级数的形式。(一一)质体引力位展开成球函数的级数质体引力位展开成球函数的级数 图4-1如图4-1所示，质体r在P点的引力位是 ，(4-1-1）其中，f是万有引力常数，是密度，r是体积元到P点的距离。以坐标原点为球心作一半径为a的球，将质体 完全包含在球内，则d 的矢径 总小于a，若P点的矢径 不小于a，利用 的母函数关系式可将 展开成 ，(4-1-2)将球函数的加法公式写成 (4-1-3)这里，我们将，理解为固定点P的坐标，将 ，理解为积分流

2、动元 的坐标。将(4-1-4)代入(4-1-1)，得然后代入(4一1一2)，得（4-1-4）(4-1-5)其中积分变量为 、和 ，该式在 amax()时成立。以M表示质体的质量，则我们可将(4-1-5)改写成注意到积分变量是 ，和 ，引入位系数(4-1-7)(4-1-6)我们可以将质体引力位的球函数级数展开式简单地写成(4-1-8)质点和质面引力位的球函数展开式相似。最后，我们对(4-1-8)的收敛性作些说明。质体的引力位是有限的，把它展开成级数时，只有级数收敛时才有意义。当用(4-1-8)表示地球外部的引力位时，也只是在该级数收敛的区域内有意义。但是，我们前面只是证明，该级数在以坐标原点为球

3、心，将地球完全包含在其内部的球面上及外部收敛，而对在地面与上述球面之间的区域内是否收敛还没有作出说明。此后，除特别说明之外，我们总是假设上述级数在我们考虑的区域内收敛。另外，与(3-4-6)比较知，(4-1-8)表示的引力位是一个调和函数，在地球外部才有意义，不能用它表示地球内部的引力位，哪怕它在地球内部收敛。(二)低阶位系数的物理意义 从(4-1-7)知，位系数 和 取决于质体的形状、大小及密度分布，但从该式还看不出它们具体的物理意义.现在我们来计算直至二阶的位系数 和 的具体表达式，将它们与吸引质体的力学参数联系起来.根据(3-3-32)把 的具体表达式代人(4-1-7)，然后将球坐标 、

4、转换成直角坐标 、，得上列式中的每一个积分都有特定的物理意义。质体的质量为质体的质心坐标为(4-1-10）(4-1-11）质体绕x,y,z轴的转动惯量分别为(4-1-12）质体的惯性积分别为(4-1-13）将这些定义式代入(4-1-9)，得这就是低阶位系数的物理意义。(4-1-14)4.2 质心主惯轴坐标中引力位球函级数展开式的简化如果选取质心为坐标原点，则 =0，所以，=0,就是说，在质心坐标中，一阶位系数等于零。固定了坐标原点后，还可以任意地选择坐标轴的方向，下面我们证明，合理地选择坐标轴的方向可使 D=E=F=0，很显然，此时 =0，即一部分二阶位系数等于零。在直角坐标系Oxyz中，取另

5、外一个轴u，它与x,y,z轴的夹角分别是 ,，如图4-2所示。用r表示空间任意一点M(x,y,z)到u轴的距离，则质体绕u轴的转动惯量是下面我们首先将 。表示成A,B,C,D,E,F和 ,的函数式，然后研究 的性质，找出使D=E=F=0的坐标方向。用 表示M点到坐标原点的距离，表示M点的位置矢量，则(4-2-1)(4-2-2)由定义，沿u轴方向的单位矢量是所以，P在u轴上投影的长度是由此可以将 换算成x,y,z和 ,和 的函数，(4-2-3)(4-2-4)由于我们可将 进一步化算成最后，将上式代代入(4-2-1)，并利用(4-1-12)和(4-1-13),得可见，由u轴的方向决定。为了研究 随

6、u轴方向的变化规律，我们在u轴上取一点K，使OK=1/，则由于 随u轴方向的不同而不同，当u轴的方向变化时，K点的位置也在空间变化，K点的轨迹完全描述了 对u轴方向的依赖关系。下面我们就来研究K点的轨迹曲面，并以此为出发点找出适当的坐标系，使D=E=F=0.将(4-2-8)两端同除以 ，然后再将上式代入，得K点的轨迹方程由于 既不等于零也不趋于无穷大，所以上述曲面上任意一点到坐标原点的跳离都不等于零而且有限，就是说，该曲面是封闭的。另一方面，因为它是个二次曲面，所以必然是一个椭球面。椭球面有三条互相垂直的轴，如果选择这三条轴为坐标轴，则椭球面的方程中没有坐标的互乘项，它简化成(4-2-11)(

7、4-2-10)这三条轴叫质体的主惯轴，若选取主惯轴为坐标轴，则比较(4-2-10)和(4-2-11)知，D=E=F=0，再根据(4-1-14)便知，此时 综合以上讨论知，如果选取质心为坐标原点，主惯轴为坐标轴，我们可以将质体引力位的球函数级数展开式写成(4-2-12)其中，一阶位系数已消失，二阶位系数为要注意,(4-2-12)和(4-1-8)的不同只是由于选择了特别的坐标系而得到了一些简化，并不改变其收敛性及有效区域。(4-2-13)由推导过程可以看出，的取法有一定的随意性，改变 的值会引起 和 的值改变，但并不影响级数的值及收敛性，甚至 的值可以不满足 max()。一般地，我们用一个旋转椭球

8、体作为实际地球的初级近似，对称轴为短轴，与地球自转轴同向，长半轴即为赤道半径。在用球函数级数(4-2-12)表示地球的引力位时，我们就取 为上述旋转椭球体的长半轴。4.3 球面函数展开成球函数级数我们知道，正弦和余弦函数coskx和sinkx构成 上的正交函数系，若f(x)是以 为周期函数并且在 上是逐段光滑的，则其付立叶级数展开式处处收敛，并且(4-3-1)(4-3-2)其中，和 叫付立叶系数，定义为f(x+)和f(x-)表示分别由大于和小于x的两侧趋近时得到的极限值。(4-3-3)(一)球面函数的球函数级数展开式 类似地，面球函数 和 构成球面上的正交函数系，我们定义任意球面函数f(,)的

9、球函数级数展开式为其中的球函数系数 和按如下方法定义:将上式中的求和指标n和k分别换成m和 ，然后两边分别乘以 和 ，并且在单位球面上积分，利用球函数的正交性，得(4-3-4)将S(,)换成f(,)，可以解得由于 没有意义，在由(4-3-5)导出(4-3-6)时，将 公式中的 1-换成1+并不影响结论，只是使 和 的计算公式相似而已。付立叶系数的引入方法与此相似，这样做的目的是很明显的，因为只有这样，球函数级数展开式S(,)才可能收敛于f(,)。但到目前为止，我们还不知道S(,)在什么条件下收敛，是否收敛于f(,)。将(4-3-6)中的积分变量 和 换成 和 ,然后代人(4-3-4)，得该式还

10、可以进一步化算成注意上式中的积分变量为 和 。利用球函数的加法公式可将上式写成更简单的形式其中 是球面上坐标为(,)和(,)两点相对于球心的夹角。球面函数的球函数级数展开式叫拉普拉斯级数，可以写成(4-3-4).(4-3-8)或(4-3-9)的形式。(二)级数展开式的部分和 为了研究S(,)的收敛性，我们对(4-3-9)作进一步的改化。以球面上坐标为（，）的点作为新的极点，则 是坐标为（，）的点的极角，用 表示新的经度，我们可将积分变量 和 ,换成 和 ，此时(4-3-9)式变为再作变量替换并引入新的函数我们可以将(4-3-10)写成下面我们就以此式出发讨论S(,)的收敛性。取（4-3-13）

11、中n N各项的和，此时求和号和积分号可以互换位置，我们有 在递推公式（3-7-12）两边加上（2n+1），可以解得令n=0,1,2,N,然后分别相加，得代回（4-3-14）,最后得（4-3-15）（4-3-16）在递推公式(3-7-13)中取 n等于N,(3-7-14)中取n等于N+l,然后两式相加，可以解得在必要时，我们会用该式替换(4-3-17)中的积分核，以便于化算。(4-3-17)(4-3-18)(三)一个有用的等式 为了研究 N趋于无穷大时 的极限，我们首先证明一个有用的等式。设g(x)为任意函数，则有利用 的正交关系式(3-6-25)可将上式简化成现在，设 有界，则由于 ，利用上式

12、可得(4-3-21）该式对任意的N都成立，所以，正项级数收敛，由收敛级数的性质知所以上列两式的结论还不够强，我们将对收敛级数(4-3-2)作更精细的分析，得出一个更强的结论。(4-3-22）(4-3-23）(4-3-24）数项级数有如下性质:若 和 是两个正项级数，存在有限的数k0，使 ，则上述两个级数同时收敛或同时发散。令 收敛，则我们知道 是发散的，所以必须有 ，因为，如若不然，则 也发散，与原设矛盾。将这一性质用于收敛的正项级数(4-3-22)，得(4-3-25)将 写成 上式可简化成所以，我们有这就是我们需要的等式，要注意，该式成立 的条件是 有界。(4-3-26)(4-3-27)(四

13、)级数展开式的收放性现在我们来讨论当，趋于无穷大时 (,)的极限。我们可试着将(4-3-27)，用于(4-3-17)，但(4-3-17)中的函数g(x)=在x趋于1时为无穷大，不一定有界，所以必须对(4-3-17)作进一步的改化.现在，引入新的函数(4-3-28)其中 是一大于零的数。从此开始我们假设 满足 有界的条件，此时 也必然有界。利用(4-3-28)可将(4一3一17)改写成(4-3-30)两边取极限 ，则由(4-3-27)知，等号右边的第一项趋于零，所以再假设 是逐段光滑的，则可取 足够小，使得在 中 连续，而且变化很小，可以被当作常数。从(4-3-12)可以看出，在x=1时事实上没

14、有定义，我们补充定义则根据以上讨论可将(4-3-30)写成(4-3-30)(4-3-31)(4-3-32)这样，我们将 提到了积分号外。再定义函数则利用(4-3-27)可容易地证明,(4-3-33)(4-3-34)因为 显然是有界的。将上式写成则利用它可将(4-3-32)写成(4-3-35)(4-3-36)最后，再利用(4-3-18)将上式中的积分核改化，得其中，我们利用了关系式现在，我们只剩下将 用了 表示出来。首先我们要记住，(4-3-37)成立的条件是，逐段光滑且 有界。现在，我们设 有界而且逐片光滑，则 满足上述要求的条件。由(4-3-12)可得，在 连续的地方，我们有因为在 处 。在

15、 不连续的地方，设不连续性为跨越一条光滑曲线时 的值有一跳跃，该光滑曲线两侧 连续，则由(4-3-12)可类似地求得其中 和 为光滑曲线两侧 的极限值。这里假设不连续曲线光滑的原因是为了能够在 附近将其当作直线。(五)一维函数展开成勒让得函数的级数设 只是 的函数，与 无关，则作变量替换 后，(4-3-4)简化为系数表达式(4-3-6)简化为S(x)叫f(x)的勒让得级数，其值可由(4-3-38)以及(4-3-39)简化得来，即(4-3-42)(4-3-40)(4-3-41)4.4 对泊松积分的进一步讨论(一)泊松积分展开成球函数级数设有一半径为R的球 ,为球外的调和函数，而且在无穷远处正则，

16、它在球面上及球外连续，并有连续的一、二阶偏导数，它在球面上的值用 表示，则下面的泊松积分成立:其中各变量的意义如图4-3所示，显然，(4-4-2)(4-4-1)为了将(4-4-1)展开成球函数级数，我们将它作些改化，令(4-4-3)则(4-4-1)可以写成单位球面上的积分利用(4-4-3)可以求得将(4-4-3)两边对 求导，得(4-4-4)(4-4-5)代回(4-4-5)，得代人(4-4-4)，得对于 ,我们总可以取 ，所以可将 展开成球函数级数，(4-4-7)(4-4-6)(4-4-8)两边对 求导，得由上列二式可以求得(4-4-9)(4-4-11)(4-4-10)最后，将上式代人(4一4

17、一8)，得(4一4一12)将加法公式(4-1-3)代人上式，得(4一4一13)其中的积分变量为 和 。引入系数(4-4-14)则(4-4-13)可以写成(4-4-15)这就是泊松积分的球函数级数展开式，我们只是已经证明它在球外收效，在球面上是否收敛还播进一步讨论。(二)泊松积分在球面上的值虽然根据推导过程不能证明(4-4-15)在球面上收敛，但我们可以看出，在球面上，由于 ,(4-4-15)恰好是 的球函数级数展开式，若球面函数 有界，而且逐片光滑，则它收敛。在 连续的地方，在 不连续的地方，若不连续性为跨越一条光滑曲线时 的值有一跳跃，则 和 是 在光滑曲线两侧的极限值。(4-4-16)和(

18、4-4-17)也可以在(4-4-4)两侧取极限 ，然后再利用(4-4-7)求得。事实上(4-4-18)由于 时，上式中的积分核等于零，所以(4-4-19)设 在 处是连续的，则 可以取得足够小，可将积分号下的 当作常数，考虑到 对应于球面上的点 ，所以显然该式还可以写成利用(4-4-7)，我们有该式中的两项可以分别计算，其中的n是球面 的外法线方向，它与 增加的方向相同，最后利用(2-3-25)的第一个等式得将它代入(4-4-21)便最后得(4-4-16)。读者可仿此研究 不连续处的情形，得出(4-4-17)将(4-4-23)和(4-4-25)代人(4-4-22)得(三)两个附带的结论从前面的

19、讨论知，若V是球面上及其外部的调和函数，它处处有界，在球面上逐片光滑，在无穷远处正则，则V一定可以展开成球函数级数的形式，这是我们要说明的第一个结论。根据这一结论，如果我们已知某一调和函数满足上述条件，则可将它表示成球函数级数的形式，然后根据边界条件确定级数的系数，以达到解算边值问题的目的。另外，根据泊松积分可以得到一个有用的积分公式。设V是位于坐标原点处一个质点的引力位，则它在球面上的值是显然它是连续的。将上列两式代人泊松积分式，得化算后得引入一个新的变量则 r可以表示成令可以将(4-4-30)写成这个积分式是我们要说明的第二个结论，以后我们会用到它。4.5 用球函数级数表示任意三维函数设

20、是定义在三维区 间中的任意函数，并且假设它是有界和连续的，下面我们将它展开成球函数级数。首先将 看成 和 的函数，把x当成常量，则 可以展开成球函数级数其中的系数 和 为这是第一步.下面我们进一步将 和 的展开成 的级数，其中的系数为这是第二步。将(4-5-3)代人(4-5-1)，得 展开成球函数级数的形式将(4-5-2)代人(4-5-4)，得球函数系数 和 为最后我们再强调一下，这里的 是任意函数，不可与调和函数混淆。4.6 球函数的复数表示形式和正规化(一)球函数的复数表示形式到现在为止，我们一直将 n阶面球函数的一般形式写成利用欧拉公式可将(4-6-1)改化成 和 与 的关系可由上述三式

21、直接求得，将(4-6-2)代人(4-6-3)得 整理得与(4-6-1)比较，有显而易见，若 为实数，则 和 应均为实数，所以，由上式知，和 的虚部大小相同、符号相反，实部大小和符号均相同，此时可将(4-6-6)简化成这里的 和 分别表示 的实部和虚部。利用 的定义还可将 写成由 和 的关系(3-3-27)可以求得另外，我们还可以将球函数的加法公式改化成复数表示的形式，(二)球函数的正规化由正交关系式知，面球函数的平方在单位球上的积分随阶数和级数的变化而变化，为了使球函数级数的系数的大小能直接反映实际该阶或该级量的大小，在实用中经常使用正规化的球函数，通常用 表示。在地球形状和外部重力场理论中，通常使用完全正规化的球函数，正规化的原则是使面球函数在单位球上的平均值等于1，即由此求得 和 的关系为引力位的球函数级数展开模型为 ，及 与 ，的关系为 在地磁场理论中，通常使用半正规化的球函数，使 和 的关系为在处理实际的球函数级数资料时，一定要先弄清楚球函数是否是正规化的，是怎样正规化的。