理学线性代数习题课.pptx

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1、第1页/共80页把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 全排列第2页/共80页逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为，逆序数为偶数的排列称为偶数的排列称为偶排列偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆逆序数序数逆序数第3页/共80页分别计算出排列中每个元素前面比它大的数分别计算出排列中每个元

2、素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法方法2 2方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的前面比它大的数码之和，即分别算出数码之和，即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数计算排列逆序数的方法第4页/共80页定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，素不动，称为

3、一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换叫做相邻对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数对换第5页/共80页n阶行列式的定义第6页/共80页第7页/共80页n阶行列式的性质第8页/共80页第9页/共80页）余子式与代数余子式）余子式与代数余子式行列式按行（列）展开第10页/共80页）关于代数余子式的重要性质）关于代数余子式的重要性质第11页/共80页克拉默法则第12页/共80页克拉默法则的

4、理论价值克拉默法则的理论价值定理定理定理定理第13页/共80页定理定理定理定理第14页/共80页一、计算排列的逆序数一、计算排列的逆序数二、计算（证明）行列式二、计算（证明）行列式三、克拉默法则三、克拉默法则典型例题第15页/共80页分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排列中每个元素的逆序数解解例例一、计算排列的逆序数第16页/共80页第17页/共80页当 为偶数时，排列为偶排列，当 为奇数时，排列为奇排列于是排列的逆序数为第18页/共80页用定义计算（证明）用定义计算（证明）例例用行列式定义计算二、计算（证明）行列式第19页/共80页解解第20页/共80页评注评注本例是从一般项

5、入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法注意注意第21页/共80页例例设第22页/共80页证明证明由行列式的定义有第23页/共80页评注评注本题证明两个行列式相等，即证明两点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法第24页/共80页利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。第25页/共80页解解第26页/共80页上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范

6、德蒙行列式知第27页/共80页评注评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式第28页/共80页用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例计算第29页/共80页解解第30页/共80页提取第一列的公因子，得第31页/共80页第32页/共80页评注评注本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1 1；若所

7、给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的第33页/共80页用降阶法计算用降阶法计算例例计算解解第34页/共80页第35页/共80页第36页/共80页第37页/共80页评注评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用第38页/共80页用拆成行列式之和（积）计算用拆成行列式之和（积）计算例例证明证证第39页/共80页用递推法计算用递推法计算例例计算解解

8、第40页/共80页第41页/共80页第42页/共80页由此递推，得如此继续下去，可得第43页/共80页第44页/共80页评注评注第45页/共80页用数学归纳法用数学归纳法例例证明第46页/共80页证证对阶数n用数学归纳法第47页/共80页第48页/共80页评注评注第49页/共80页计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法小结小结第50页/共80页当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为了避免在计算中出

9、现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解三、克拉默法则第51页/共80页解解设所求的二次多项式为由题意得第52页/共80页由克莱姆法则，得于是，所求的多项式为第53页/共80页证证第54页/共80页第55页/共80页第56页/共80页第57页/共80页例例12有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮70克，磷8克，钾2克；乙种化肥每千克含氮64克，磷10克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮70克，磷5克，钾1.4克若把此三种化肥混合，要求总重量23千克且含磷149克，钾30克，问三种化肥各需多少千克？解解第58页/共80页第59页/共80页例例13

10、13第60页/共80页解解第61页/共80页第62页/共80页第63页/共80页第64页/共80页第65页/共80页第66页/共80页第67页/共80页第一章 测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共4040分分)第68页/共80页第69页/共80页第70页/共80页第71页/共80页二、计算下列行列式二、计算下列行列式(每小题每小题9 9分，共分，共1818分分)第72页/共80页有非零解？有非零解？三、解答题三、解答题(9(9分分)第73页/共80页四、证明四、证明(每小题每小题8 8分，共分，共2424分分)第74页/共80页第75页/共80页第76页/共80页五、五、(9(9分分)设设 行列式行列式求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和第77页/共80页测试题答案第78页/共80页第79页/共80页感谢您的观看！第80页/共80页