考研导数与微分上.pptx

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1、1其它形式也记作或第1页/共47页2当时,为右导数当时,为左导数2.左导数右导数第2页/共47页33.导函数的定义：若函数在区间I上每一点处都可导，则任意点处的导数，叫导函数.第3页/共47页4导函数的定义解第4页/共47页54.可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导，必不可导.不连续思考第5页/共47页6第6页/共47页7注意：第7页/共47页8第8页/共47页9二、求导的基本公式第9页/共47页10三、求导法则(其中 )1.函数和、差、积、商的求导法则2.复合函数的求导法则第10页/共47页113.反函数的求导法则注意：使用求导法则的前提是“各自可导”.四、高阶导数1.1.定义：定义

2、：如果函数的导数在点处可导可导，即存在存在则称为函数在点 处的二阶导数二阶导数.第11页/共47页12记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.相应地，称为零阶导数零阶导数，称为一阶导数称为一阶导数.一般地，函数函数的的n-1 1阶导数的导数称为函数阶导数的导数称为函数的的n阶导数阶导数.2.2.高阶导数的计算：高阶导数的计算：(C为常数)直接法和间接法第12页/共47页13(3)乘积该公式称为莱布尼兹公式，它和二项式公式有类似的记忆3.高阶导数的基本公式第13页/共47页14第14页/共47页15五、几类特殊函数的导数1.隐函数求导法2.幂指函数的求导法幂指函

3、数的求导方法有两种：幂指函数的求导方法有两种：若幂指函数为方法方法1 1：对数求导法，对数求导法，两端对x求导：直接求导法第15页/共47页16变形为然后用复合函数复合函数求导法求导法求导.若幂指函数为幂指函数的求导方法有两种：幂指函数的求导方法有两种：方法方法1 1：对数求导法，对数求导法，两端对x求导：方法方法2 2：利用复合函数求导法利用复合函数求导法第16页/共47页173.由参数方程所确定的导数由复合函数及反函数的求导法则得即设函数具有单调连续的反函数第17页/共47页18六、应用1.几何应用(1)几何意义：是y=f(x)在点处切线的斜率.(2)切线、法线的方程：切线的方程：法线的方

4、程：第18页/共47页192.物理应用瞬时速度：瞬时加速度：第19页/共47页20第20页/共47页21九、微分的概念1.定义：设函数在某区间内有定义，及在这个区间内，其中 是不依赖于的常数，是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，自变量增量的微分，记作或即(微分的实质)而叫做函数在点相应于微分叫做函数增量的线性主部.如果可表示为：第21页/共47页22由定义知:可微2.可微的充要条件函数在点可微的充要条件是：函数在点处可导，且4.可导与可微的关系:可微可导连续有极限3.微分的计算公式:第22页/共47页231)基本初等函数的微分公式5.微分运算公式与法则第23页/共47页241)微分的四则

5、法则：设 u(x),v(x)均可微,则(C 为常数)2)微分法则2)复合函数的微分法则：结论：无论u是自变量还是中间变量，形式总是这种特性称为一阶微分形式的不变性第24页/共47页251)表示导数时能显示谁是函数谁是自变量,2)表示微分时有商的含义，故3)隐含着一阶微分形式的不变性.第25页/共47页26解 典型例题分析题型一、已知导数求极限原式=第26页/共47页27第27页/共47页28例2.设,讨论 在 处的可导性,并求解不存在不连续，从而不可导.但是第28页/共47页29解:原式=且联想到凑导数的定义式例3.第29页/共47页30例4.解:题型二：已知极限求导数第30页/共47页31D

6、处可导第31页/共47页32题型三：利用导数的定义求函数在某点的导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数1.求分段函数在分界点处的导数时；2.不符合求导法则的条件时；3.表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的用求导法则.例5.解:注意：可导 可导=可导；可导 不可导就不一定可导.注意：可导 可导=可导；可导 不可导就一定不可导.第32页/共47页331.分段函数在分界点处的求导问题用这种方法会把可导的变不可导，不可导的变可导第33页/共47页34第34页/共47页35例6 解用定义第35页/共47页36例7 解第36页/共47页37例8.解分析:不能用公式求导.求左右极限第37页/共47页38例9 讨论下列函数在x=0点的连续性和可导性解第38页/共47页39例9 讨论下列函数在x=0点的连续性和可导性解 2第39页/共47页402.当不满足求导的条件时例10必须用定义解第40页/共47页41可导例11解注意：求导法则的成立是有条件的.第41页/共47页423.当有抽象函数时必须用定义求导例12证明第42页/共47页454.用求导法则太麻烦时用定义求导例14解(用定义)第45页/共47页46谢谢大家！第46页/共47页47感谢您的观看！第47页/共47页