优秀课件垂径定理.pptx

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1、 问题:你知道你知道赵州州桥吗?它的主它的主桥是是圆弧形弧形,它的跨度它的跨度(弧所弧所对的弦的的弦的长)为37.4m,37.4m,拱高拱高(弧弧的中点到弦的距离的中点到弦的距离)为，你能求出你能求出赵州州桥主主桥拱拱的半径的半径吗？赵州州桥主主桥拱的半径是多少？拱的半径是多少？第1页/共22页由此你能得到由此你能得到圆的什么特性？的什么特性？可以可以发现：圆是是轴对称称图形。任何形。任何一条直径所在直一条直径所在直线都是它的都是它的对称称轴 不借助任何工具，你能找到不借助任何工具，你能找到圆形形纸片的片的圆心心吗?第2页/共22页 如如图,AB,AB是是O O的一条弦的一条弦,直径直径CDA

2、B,CDAB,垂足垂足为E.E.你能你能发现图中有那些相等的中有那些相等的线段段和弧和弧?为什么什么?OABCDE线段段:AE=BE:AE=BE弧弧:AC=BC,AD=BD:AC=BC,AD=BD第3页/共22页已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂足为，垂足为E求证：求证：AEBE，ACBC，ADBD证明：连结证明：连结OA、OB，则，则OAOB 垂直于弦垂直于弦AB的直径的直径CD所在的直线所在的直线 既是等腰三角形既是等腰三角形OAB的对称轴又的对称轴又 是是 O的对称轴的对称轴 当把圆沿着直径当把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合

3、，两侧的两个半圆重合，A点和点和B点重合，点重合，AE和和BE重合，重合，AC、AD分别和分别和BC、BD重合重合 AEBE，ACBC，ADBD叠叠合合法法DOABEC第4页/共22页垂径定理垂径定理垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦,并且平分弦所并且平分弦所对的两条的两条弧弧CDABCDAB CD CD是直径，是直径，AE=BE,AE=BE,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.OABCDE老老师提示提示:垂径定理是垂径定理是圆中一个重要的定中一个重要的定理理,三种三种语言要相互言要相互转化化,形成形成整体整体,才能运用自如才能运用自如.第5页/共22页下列下列图形是否具形是

4、否具备垂径定理的条件？垂径定理的条件？是是不是不是是是不是不是OEDCAB第6页/共22页垂径定理的几个基本垂径定理的几个基本图形：形：CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD第7页/共22页1 1、如、如图，ABAB是是O O的直径，的直径，CDCD为弦，弦，CDABCDAB于于E E，则下列下列结论中中不成立不成立的是（的是（）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、BD=BCBD=BC OABECD第8页/共22页2 2、如、如图，OEABOEAB于于E E，若，若O O的半径的半径为10cm,OE=6cm,1

5、0cm,OE=6cm,则AB=AB=cmcm。OABE解：解：连接接OAOA，OEABOEAB AB=2AE=16cm AB=2AE=16cm第9页/共22页3 3、如、如图，在，在O中，弦中，弦ABAB的的长为8cm8cm，圆心心O到到AB的距离的距离为3cm3cm，求，求O的半径。的半径。OABE解：解：过点点O O作作OEABOEAB于于E E，连接接OAOA即即O的半径的半径为5 5cm.cm.第10页/共22页4 4、如、如图，CDCD是是O的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直径，求直径CDCD的的长。OABECD解：解：连接接

6、OAOA，CD CD是直径，是直径，OEABOEAB AE=1/2 AB=5 AE=1/2 AB=5设OA=xOA=x，则OE=x-1OE=x-1，由勾股定理得，由勾股定理得x x2 2=5=52 2+(x-1)+(x-1)2 2解得：解得：x=13x=13 OA=13 OA=13 CD=2OA=26 CD=2OA=26即直径即直径CDCD的的长为26.26.第11页/共22页练习1:在圆O中，直径CEAB于 D，OD=4，弦AC=，求圆O的半径。例例1 1：如图，圆：如图，圆O O的弦的弦ABAB8 8 ，DCDC2 2，直径，直径CEABCEAB于于D D，求半径求半径OCOC的长。的长。

7、第12页/共22页反思：在 O中，若 O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：CDBAO第13页/共22页反思：在 O中，若 O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：CDBAO第14页/共22页2如图，在 O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形DOABCE证明：四边形ADOE为矩形，又AC=AB AE=AD 四边形ADOE为正方形.第15页/共22页 3.如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的长。4.4.如图，

8、如图，ABAB是是O O的弦，的弦，OCA=30OCA=300 0，OB=5cmOB=5cm，OC=8cmOC=8cm，则，则AB=AB=；OABC30308 85 54 4DF第16页/共22页 你能利用垂径定理解决求你能利用垂径定理解决求赵州州桥拱半径的拱半径的问题吗?第17页/共22页ABOCD关于弦的关于弦的问题，常常需要常常需要过圆心作心作弦的垂弦的垂线段段，这是是一条非常重要的一条非常重要的辅助助线。圆心到弦的距离、心到弦的距离、半径、弦半径、弦构成构成直角直角三角形三角形，便将，便将问题转化化为直角三角形直角三角形的的问题。第18页/共22页ABOCD解：解：如如图，用，用ABA

9、B表示主表示主桥拱，拱，设ABAB所在的所在的圆的的圆心心为O O，半径，半径为r.r.经过圆心心O O作弦作弦ABAB的垂的垂线OCOC垂足垂足为D D，与，与ABAB交于点交于点C C，则D D是是ABAB的中点，的中点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高.，解得（解得（m m）即即主主桥拱半径拱半径约为27.9m.27.9m.第19页/共22页垂径定理的应用垂径定理的应用例例2 2如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上上的一点的一点,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的求这段弯路的半径半径.n解解:连接连接OC.OC.OCDEF第20页/共22页 如如图，O O的直径的直径为1010，弦，弦AB=8,PAB=8,P为ABAB上上的一个的一个动点，那么点，那么OPOP长的的取取值范范围是是 。C4533cmOP5cm3cmOP5cm第21页/共22页感谢您的观看！第22页/共22页