空间平面与直线及其方程.pptx

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1、7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何 7.3空间平面与空间直线及其方程空间平面与空间直线及其方程 二、平面的方程二、平面的方程五、平面束方程五、平面束方程三、空间直线的方程三、空间直线的方程四、空间上点、直线、平面之间的位置关系四、空间上点、直线、平面之间的位置关系一、曲曲面、曲线与方程面、曲线与方程第1页/共46页一、曲面、曲线与方程曲面、曲线与方程在空间解析几何中，在空间解析几何中，任何曲面或曲线都可看成具有某种性质任何曲面或曲线都可看成具有某种性质的点的集合的点的集合.在选定空间直角坐标系后，在选定空间直角坐标系后，某一曲面或曲线上的点某一曲面

2、或曲线上的点的共同性质可以利用点的坐标的共同性质可以利用点的坐标满足的关系式来表达满足的关系式来表达.如果曲面如果曲面(或曲线或曲线)与三元方程与三元方程(或方程组或方程组)或或有下述关系：有下述关系：（1 1）(1)(1)曲面曲面(或曲线或曲线)上任一点的坐标都满足上任一点的坐标都满足(1)(1)中的方程中的方程(2 2)不在曲面不在曲面(或曲线或曲线)上点的坐标都不满足上点的坐标都不满足(1)(1)中的方程中的方程(或方程组或方程组)；(或方程组或方程组).7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第2页/共46页(1)(1)中的方程中的方程(或方程组

3、或方程组)就称为就称为曲面曲面(或曲线或曲线)的方程的方程，而曲面而曲面(或曲线或曲线)则称为则称为(1)(1)中的方程中的方程(或方程组或方程组)的的图形图形.空间解析几何主要有空间解析几何主要有两个基本问题两个基本问题:(1)(1)已知一曲面或曲线作为点的几何轨迹时已知一曲面或曲线作为点的几何轨迹时,求曲面或曲线的方程求曲面或曲线的方程.(2)(2)已知方程时已知方程时,研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状.(必要时需作图必要时需作图 ).).7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何那么那么,第3页/共46页二、平面的方程二、平面的方程（1

4、1）平面的法向量的定义）平面的法向量的定义 凡是与平面垂直的凡是与平面垂直的非零向量非零向量称为该平面的称为该平面的法向量法向量.（2 2）平面的点法式方程）平面的点法式方程 平面的法向量有无数多个，平面的法向量有无数多个，它们都垂直于平面内的任一向量它们都垂直于平面内的任一向量.1、平面的点法式方程、平面的点法式方程7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第4页/共46页设一平面通过已知点设一平面通过已知点且垂直于非零向量且垂直于非零向量称称式式为平面为平面 的的点法式方程点法式方程.求该平面求该平面 的的方程方程.则有则有 故故任取点任取点 若若则则

5、与与不垂直，不垂直，此时点此时点M 的坐标的坐标不满足方程不满足方程.7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第5页/共46页例例7.3.17.3.1于是可取平面于是可取平面 的法向量为：的法向量为：利用点法式得平面利用点法式得平面 的方程为：的方程为：解解:平面平面 的法向量垂直于该平面内任一向量，的法向量垂直于该平面内任一向量，的平面的平面 的方程的方程.求过三点求过三点又又7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第6页/共46页例例7.3.17.3.1于是可取平面于是可取平面 的法向量为：的法向量为：利用点法

6、式得平面利用点法式得平面 的方程为：的方程为：解解:平面平面 的法向量垂直于该平面内任一向量，的法向量垂直于该平面内任一向量，的平面的平面 的方程的方程.求过三点求过三点又又7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第7页/共46页求过三点求过三点即即 为平面为平面 上任一点，上任一点，的平面的平面 的方程的方程.解法二解法二:则则于是于是从而得从而得设设 第8页/共46页一般情况一般情况 :过三点过三点的平面方程为的平面方程为平面的三点式方程平面的三点式方程第9页/共46页2 2、平面的一般方程、平面的一般方程设有三元一次方程设有三元一次方程 方程方程称

7、为称为平面的一般方程平面的一般方程.则方程则方程可化为可化为由此可知，由此可知，而而 不妨设不妨设方程方程(*)(*)表示过点表示过点且法向量为且法向量为的平面的平面.任一三元一次方程任一三元一次方程的图形总是一个平面的图形总是一个平面.为该平面的为该平面的一个一个法向量法向量.7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第10页/共46页特殊情形特殊情形表示过原点表示过原点的平面的平面;同理，同理，表示平行于表示平行于y 轴轴的平面的平面;表示平行于表示平行于x 轴轴的平面的平面;表示平行于表示平行于 zox 面的平面面的平面.(书上书上P21)P21)当

8、当 时，时，方程方程为为 当当 中有一个为零，中有一个为零，时，时，如如 方程方程为为其法向量为其法向量为 该平面平行该平面平行z 轴；轴；方程方程方程方程 当当 有两个为零，有两个为零，时，时，如如 方程方程为为方程方程表示平行于表示平行于 yoz 面面 的平面；的平面；同理，同理，方程方程它表示平行于它表示平行于 xoy 面的平面面的平面;所以所以 与与 z 轴垂直，轴垂直，7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第11页/共46页设平面的方程为设平面的方程为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解：解：例例7.3.27.3.2分析：分析：可用可用平面的一

9、般方程平面的一般方程做做 或或平面的点法式方程平面的点法式方程做做.设一平面与设一平面与轴的交点分别为轴的交点分别为（其中（其中求该平面的方程求该平面的方程.7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第12页/共46页将将代入所设方程得代入所设方程得此式称为平面的此式称为平面的截距式方程截距式方程.(见书上见书上P21)P21)7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第13页/共46页求过不在同一直线上三点求过不在同一直线上三点的平面的方程的平面的方程.例例.解解:为所求平面上任一点，为所求平面上任一点，设设 则则向

10、量向量共面，共面，于是有于是有即即此式为平面的此式为平面的三点式方程三点式方程第14页/共46页例例7.3.37.3.3解：解：求过求过轴和点轴和点的平面的方程的平面的方程.因平面过因平面过轴，轴，可设所求平面的方程为可设所求平面的方程为又平面过点又平面过点即即故故代入所设方程并消去代入所设方程并消去得所求的平面方程为得所求的平面方程为7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第15页/共46页三、空间直线的方程三、空间直线的方程1.1.空间直线的点向式方程与参数方程空间直线的点向式方程与参数方程(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量的定义与直线平行的与

11、直线平行的非零向量非零向量，称为这条直线的一个称为这条直线的一个方向向量方向向量直线的方向向量有无数多个直线的方向向量有无数多个.直线的任一方向向量直线的任一方向向量的坐标的坐标m,n,p叫做这一直线的一组叫做这一直线的一组而而的方向余弦叫做这一直线的的方向余弦叫做这一直线的方向余弦方向余弦.方向数方向数，7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第16页/共46页(2)(2)空间直线的点向式方程和参数方程空间直线的点向式方程和参数方程故有故有说明说明:则则此式称为直线的此式称为直线的点向式方程点向式方程(也称为也称为对称式方程对称式方程或或标准方程标准方

12、程)设直线上的动点为设直线上的动点为 已知直线上一点已知直线上一点和它的方向向量和它的方向向量 某些分母为零时某些分母为零时,其分子也理解为零其分子也理解为零.求该直线的方程求该直线的方程.7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第17页/共46页则则直线方程为直线方程为此式称为空间直线的此式称为空间直线的参数方程参数方程.例如例如,当当时，时，设设直线方程为直线方程为当当时，时，7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第18页/共46页因此其一般方程为因此其一般方程为2.2.空间直线的一般方程空间直线的一般方程

13、空间直线可视为两个不平行平面交线，空间直线可视为两个不平行平面交线，(不唯一不唯一)此式称为空间直线的此式称为空间直线的一般方程一般方程.这条直线的一个方向向量为：这条直线的一个方向向量为：7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第19页/共46页例例7.3.47.3.4从而所求直线的方程为：从而所求直线的方程为：故所求直线的一个方向向量可取为：故所求直线的一个方向向量可取为：解解:求过两点求过两点的方程的方程.与与在直线上，在直线上，因向量因向量此式称为直线的此式称为直线的两点式方程两点式方程.7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章

14、向量代数与空间解析几何的直线的直线第20页/共46页直线的三种方程间的相互转化：直线的三种方程间的相互转化：（1 1）直线的）直线的点向式方程点向式方程和和参数方程参数方程相互间易转换；相互间易转换；（2 2）要把）要把点向式方程点向式方程转化成转化成一般方程一般方程也很方便，也很方便，便是直线的一般方程便是直线的一般方程.只要把点向式方程的连等式写成方程组形式：只要把点向式方程的连等式写成方程组形式：例如：例如：（3 3）怎样把）怎样把一般方程一般方程转化成转化成点向式方程点向式方程？法法1 1：先找直线上一点先找直线上一点;再找直线的方向向量再找直线的方向向量.法法2 2：先找直线上两点先

15、找直线上两点A,B;就是直线的方向向量就是直线的方向向量.由由得得即即7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第21页/共46页例例7.3.57.3.5解解:用点向式方程及参数方程表示直线用点向式方程及参数方程表示直线解得解得再求直线的方向向量再求直线的方向向量分析：分析：先找直线上一点先找直线上一点;再找直线的方向向量再找直线的方向向量.可取可取先在直线上找一点先在直线上找一点代入原方程组得代入原方程组得令令 是直线上一点是直线上一点 .即即 因两平面的交线与两平面的法向量因两平面的交线与两平面的法向量都垂直，都垂直，7.3 空间平面与空间直线及其方程

16、高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第22页/共46页故所给直线的点向式方程为故所给直线的点向式方程为得直线的参数方程为得直线的参数方程为令令其中其中为参数为参数.7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第23页/共46页四、四、空间上点、直线、平面之间的位置关系空间上点、直线、平面之间的位置关系1、空间两平面的位置关系、空间两平面的位置关系两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角(通常指锐角通常指锐角)称为称为两平面的夹角两平面的夹角.设有平面设有平面与与它们的法向量分别为它们的法向量分别为和和则则平面平面与与的夹角的夹角可由下式确定：可由下式确

17、定：7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第24页/共46页即即空间两平面的位置关系只有三种：空间两平面的位置关系只有三种：上述平面上述平面与与的位置关系的判别如下：的位置关系的判别如下：与与相交相交特别地，特别地，且不重合且不重合与与重合重合相交、平行或重合相交、平行或重合.7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第25页/共46页例例7.3.6 7.3.6 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为求它的方程求它的方程.解法解法1:1:一平面通过两点一平面通过两点和和且垂直于平面且垂直于平面 已知平面的法向量为

18、已知平面的法向量为由于两平面垂直，由于两平面垂直，所以所以故可取故可取则所求平面的方程为则所求平面的方程为即即在所求平面上，在所求平面上，又又有有7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第26页/共46页例例7.3.6 7.3.6 代入代入(1)(1)式式且垂直于平面且垂直于平面 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为即即则所求平面方程为则所求平面方程为故故的法向量的法向量求它的方程求它的方程.一平面通过两点一平面通过两点解法解法2:2:和和得得即即7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第27页/共46页2.2

19、.空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系则则两直线的夹角两直线的夹角 满足满足两直线的方向向量的夹角两直线的方向向量的夹角(通常取通常取锐角锐角)称为称为两直线的夹角两直线的夹角.设直线设直线的方向向量分别为的方向向量分别为7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第28页/共46页于是上述的直线于是上述的直线的位置关系的判别如下：的位置关系的判别如下：设设分别是直线分别是直线与与与与上的点，上的点，则则与与异面异面与与相交相交且且空间两直线的位置关系只有四种：空间两直线的位置关系只有四种：异面、相交、平行或重合异面、相交、平行或重合.7.3 空间平面与

20、空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第29页/共46页特别地，特别地，与与重合重合或或7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第30页/共46页例例7.3.77.3.7 求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角 直线直线的方向向量为的方向向量为直线直线的方向向量为的方向向量为解解:则两直线夹角则两直线夹角 的余弦为的余弦为所以直线所以直线与与的夹角为的夹角为7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第31页/共46页3.3.空间直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系当当直线与平面垂直直线与

21、平面垂直时时,当当直线与平面不垂直直线与平面不垂直时时,设直线设直线 L 的方向向量为的方向向量为 平面平面 的法向量为的法向量为直线和它在平面上的投影直线的直线和它在平面上的投影直线的 夹角夹角 称为称为直线与平面的夹角直线与平面的夹角.则则或或规定其夹角为规定其夹角为7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第32页/共46页则则直线与平面的夹角直线与平面的夹角 满足满足与与相交相交特别地，特别地，或或在平面在平面上上与平面与平面的位置关系的判别如下：的位置关系的判别如下：上述空间直线上述空间直线空间直线与平面的位置关系只有三种：空间直线与平面的位置关

22、系只有三种：相交、平行相交、平行或或直线在平面上直线在平面上.7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第33页/共46页解：解：的直线的方程的直线的方程.例例7.3.87.3.8又两直线垂直，又两直线垂直，所以所以从而从而直线直线L的参数方程为的参数方程为它的一个方向向量它的一个方向向量所求直线与直线所求直线与直线L的交点可设为的交点可设为则则就是所求直线的一个方向向量就是所求直线的一个方向向量.即有即有解得解得于是于是故所求的直线的方程为：故所求的直线的方程为：求过点求过点且与直线且与直线垂直相交垂直相交7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七

23、章第七章 向量代数与空间解析几何第34页/共46页4.4.平面平面(或直线或直线)外一点到平面外一点到平面(或直线或直线)的距离公式的距离公式(1)(1)平面外一点到平面的距离公式平面外一点到平面的距离公式因平面因平面法向量为法向量为如图，如图，(书上书上P27)P27)外一点外一点,设设是平面是平面到平面到平面的距离的距离.求点求点向平面向平面引垂线，引垂线，从点从点设垂足为设垂足为到平面到平面的距离为的距离为则点则点所以所以与与的夹角为的夹角为0 0 或或 .7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第35页/共46页此式为此式为点到平面的距离公式点到

24、平面的距离公式于是于是到平面到平面的距离为：的距离为：则点则点7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第36页/共46页（2 2）直线外一点到直线的距离公式）直线外一点到直线的距离公式的距离为：的距离为：d(书上书上P28-29)P28-29)在直线在直线 L 上任取一点上任取一点直线直线 L 外一点外一点到直线到直线事实上，事实上，过点过点 M1作直线作直线 L的方向向量的方向向量则以则以与与为邻边的平行为邻边的平行四边形的面积为：四边形的面积为：(M1为为L上任一点上任一点)7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析

25、几何第37页/共46页例例7.3.97.3.9直线直线 L的方向向量的方向向量解解:求点求点的距离的距离.到直线到直线点点为直线为直线 L上一点，上一点，则则所以点所以点M0到到直线直线 L的距离为：的距离为：7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第38页/共46页五、平面束方程五、平面束方程过定直线的所有平面的全体称为过定直线的所有平面的全体称为平面束平面束.设直线设直线 L的方程为：的方程为：过直线过直线 L的平面束方程为的平面束方程为：(为为任意实数任意实数)它表示它表示(除平面除平面(2)(2)外的外的)所有过直线所有过直线 L的平面的平面.易

26、知易知(3)(3)式中式中x,y,z的系数不全为零，的系数不全为零，方程方程(3)(3)就表示过直线就表示过直线 L的不同平面的不同平面.从而它从而它表示平面表示平面.事实上，事实上，直线直线 L上上的点都满足方程的点都满足方程(3)(3)，于是当于是当 不同不同时，时，7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第39页/共46页过直线过直线 L的所有平面的平面束方程为的所有平面的平面束方程为：注注：(,是不全为零的任意实数是不全为零的任意实数)7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第40页/共46页例例7.3.1

27、07.3.10解法解法1 1：分析：分析：求直线求直线在平面在平面上的投影直线的方程上的投影直线的方程.过直线过直线L作垂直于平面作垂直于平面的平面的平面1,则则与与1 的交线即为的交线即为投影直线投影直线.关键关键是求出是求出平面平面1(即投影平面即投影平面)的方程的方程.设过直线设过直线L的平面的平面束方程为束方程为：(其中其中为待定常数为待定常数)7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第41页/共46页平面平面(1)(1)垂直于平面垂直于平面,故有故有即即代入代入(1)(1)式，得与平面式，得与平面 垂直的平面垂直的平面(即投影平面即投影平面)的

28、方程为：的方程为：即即故投影直线的方程为：故投影直线的方程为：7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第42页/共46页解法解法2：直线直线L的一个方向向量为：的一个方向向量为：平面平面的法向量为的法向量为过直线过直线L且垂直于平面且垂直于平面的平面的平面(即投影平面即投影平面)1 的法向量可取为：的法向量可取为：再求直线再求直线L上一个点上一个点代入直线代入直线L的方程得的方程得令令 解得解得7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第43页/共46页故所求的投影直线方程为：故所求的投影直线方程为：点点P在直线在直

29、线L上上，从而也在平面从而也在平面1 上，于是平面于是平面(即投影平面即投影平面)1 的方程为的方程为：即即7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第44页/共46页例例7.3.117.3.11的平面的方程的平面的方程.解解:因平面过直线因平面过直线 L，解得解得求过直线求过直线L:与直线与直线L外一点外一点故所求平面的方程可设为：故所求平面的方程可设为：又所求平面过点又所求平面过点所以有所以有代入所设方程得所求平面的方程为：代入所设方程得所求平面的方程为：即即7.3 空间平面与空间直线及其方程高等数学 第七章第七章 向量代数与空间解析几何第45页/共46页感谢您的观看！第46页/共46页