(11.1)--第10章群同态new.ppt

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1、1定义和例子定义和例子同态性质同态性质第第第第1010章章章章 群同态群同态群同态群同态 (Group Homomorphisms)(Group Homomorphisms)第第1010章章 群同态群同态第一同构定理第一同构定理一、定义和例子一、定义和例子定义定义 群同态群同态(Group Homomorphism)设设 是两个群，是两个群，称称映射映射 是是同态同态，如果如果 群同态群同态2作为同构的推广，本章将学习群同态作为同构的推广，本章将学习群同态.群同态与商群及正规子群有十分紧密的联系群同态与商群及正规子群有十分紧密的联系.先先来介绍两个基本概念来介绍两个基本概念.核为群核为群G的一

2、个子群的一个子群(后面将给出证明后面将给出证明).一、定义和例子一、定义和例子群同态群同态3群同态与群同构的区别：群同态与群同构的区别：群同态是一个保持运算的群同态是一个保持运算的映射映射.群同构是一个保持运算的群同构是一个保持运算的双射双射.(核为单位核为单位.)简言之简言之,同构是同态的一种特殊情形同构是同态的一种特殊情形,同态反映两个群的同态反映两个群的相似性相似性,而同构而同构则表示则表示全等全等.定义定义 群同态群同态(Group Homomorphism)设设 是两个群，是两个群，称称映射映射 是是同态同态，如果如果 例例1 1：是同态是同态映射映射,核核是是SL(2,R).例例2

3、 2：是同态是同态映射映射,核核是是 群同态群同态4下面通过一些例子下面通过一些例子,进一步理解群同态的概念进一步理解群同态的概念.判断是一个对应法则是否判断是一个对应法则是否是同态，需满足：是同态，需满足：1)该对应法则是映射该对应法则是映射;2)该对应法则保持运算该对应法则保持运算.例例3 3：对应对应 不是不是同态同态,因因其不是映射其不是映射.因为因为 ，但它们的像却不相同，但它们的像却不相同.本次课到此结束谢谢！6定义和例子定义和例子同态性质同态性质第第第第1010章章章章 群同态群同态群同态群同态 (Group Homomorphisms)(Group Homomorphisms)

4、第第1010章章 群同态群同态第一同构定理第一同构定理二、同态性质二、同态性质同态性质同态性质7定理定理10.1(元素性质元素性质)设设f是群是群G到群到群H的的同态，令同态，令g为为G的一个元素的一个元素.1.f 把把G的单位元映为的单位元映为H的单位元的单位元.2.3.4.5.6.设设 则则1-2的证明与定理的证明与定理6.2(同构同构)的的1-2的证明完全相同；的证明完全相同；3的证明由的证明由1-2可得可得;4的证明利用同态保持运算的性质以及的证明利用同态保持运算的性质以及一一步子群判定即可步子群判定即可.这里这里给出给出5和和6的证明的证明.以下设以下设e为为H的单位元的单位元.二、

5、同态性质二、同态性质同态性质同态性质85.证证:注意到注意到f保持保持运算运算.所以所以f(a)=f(b)当且仅当当且仅当e=f(b)-1f(a)=f(b-1a)当且仅当当且仅当b-1aKerf当且仅当当且仅当aKerf=bKerf.两个左陪集相等的判定：两个左陪集相等的判定：6.设设 则则证证:任任取取hgKerf.则则h=gk,其中其中kKerf.所以所以f(h)=f(gk)=f(g)f(k)=f(g),从而从而现在任取现在任取 则则 由性质由性质5,可知可知 从而从而 所以所以 本次课到此结束谢谢！10定义和例子定义和例子同态性质同态性质第第第第1010章章章章 群同态群同态群同态群同态

6、 (Group Homomorphisms)(Group Homomorphisms)第第1010章章 群同态群同态第一同构定理第一同构定理定理定理 10.2(子子群群性质性质)设设f是群是群G到到群群T的的同态，同态，令令H为为G的一的一个个子群子群.1.2.若若H循环循环，则则 循环循环.3.若若H交换交换，则则 交换交换.4.5.若若 则则T中任一元素在中任一元素在G中有中有n个原像个原像.6.若若 则则 7.8.9.若若f是是满射，满射，且且 则则f是是同构同构.同态性质同态性质111-3的证明的证明分别分别与定理与定理6.3(同构同构)的的4,3,2的的证明完全相同证明完全相同.4的

7、证明由定理的证明由定理9.1,由同态保持运算性质由同态保持运算性质验证可得验证可得.5的证明利用定理的证明利用定理10.1(6)即可即可.(若若f(g)=t,则则f-1(t)=gKerf)6的证明：记的证明：记fH为为f在在H上的限制上的限制,则则f为为H到到f(H)的满同态的满同态.利用利用(5)可得可得|f(H)|KerfH|=|H|.7的证明：的证明：由同态保持运算由同态保持运算性质性质,利用二利用二步子群判定验证可得步子群判定验证可得.8的证明：由的证明：由7和和同态保持运算同态保持运算性质性质,利用利用定理定理9.1验证可得验证可得.9是是5的直接推论的直接推论.作为作为8的推论：的

8、推论：Kerf为为G的正规子群的正规子群(令令 为为T的单位子群即可的单位子群即可).例例4：决定从决定从Z12到到Z30的的所有所有同态同态.解解 注意注意1为为Z12 的生成元的生成元.由定理由定理10.1(2),每个同态都是由每个同态都是由1的像的像决定的决定的,即在某个同态映射下即在某个同态映射下,若若1的像为的像为aZ30,则任意则任意xZ12 的像为的像为xa.由定理由定理10.1(3),|a|整除整除|1|.又由朗格朗日定理又由朗格朗日定理,知知|a|整除整除30.所以所以|a|=1,2,3或或6.从而从而a=0,15,10,20,5或或25.容易验证每个容易验证每个a的取值的可

9、以得到一个同态映射的取值的可以得到一个同态映射.所以所以,从从Z12到到Z30共共有有6个同态个同态.注注:一般地，一般地，同态的个数同态的个数为为 gcd(m,n).见见Ex 43 同态性质同态性质12下面我们通过一个例子来熟悉一下上述定理下面我们通过一个例子来熟悉一下上述定理.本次课到此结束谢谢！14定义和例子定义和例子同态性质同态性质第第第第10101010章章章章 群同态群同态群同态群同态 (Group Homomorphisms)(Group Homomorphisms)第第1010章章 群同态群同态第一同构定理第一同构定理三、第一同构定理三、第一同构定理第一同构定理第一同构定理15

10、下面的定理通常称为同态基本定理，它揭示了正规子群与商群间的重要关系下面的定理通常称为同态基本定理，它揭示了正规子群与商群间的重要关系.定理定理10.3第一第一同构同构定理定理(同态基本定理同态基本定理)设设 是群同态，则是群同态，则 映射映射 为为 的同构的同构,即即证：证：令令单射：单射：满射满射显然显然.保持运算保持运算 推论推论 设设 是群同态，则是群同态，则 整除整除 和 .作为上述定理的推论作为上述定理的推论,结合定理结合定理10.2性质性质1及朗格朗日定理可得如下推论及朗格朗日定理可得如下推论.例例5 5：考虑如下同态映射考虑如下同态映射则则 到到 的同构映射为的同构映射为:例例6

11、 6：由例由例3 3知知 是是Z 到到 的的同态，核为同态，核为 .由定理由定理10.3，第一同构定理第一同构定理16下面通过几个例子来熟悉一下同态基本定理下面通过几个例子来熟悉一下同态基本定理.证证：定理定理 10.4 G 的每个正规子群的每个正规子群N是是G的某个同态映射的的某个同态映射的核核.特别地，特别地，正规子群正规子群N是是同态映射同态映射 的的核核.称称 为为G到到G/N的自然同态的自然同态.第一同构定理第一同构定理17下面的定理表明正规子群与同态核等价下面的定理表明正规子群与同态核等价.本次课到此结束谢谢！19定义和例子定义和例子同态性质同态性质第第第第10101010章章章章

12、 群同态群同态群同态群同态 (Group Homomorphisms)(Group Homomorphisms)第第1010章章 群同态群同态第一同构定理第一同构定理记号约定记号约定：G是群，是群，H是是G的的子子群群.H在在G中正规化子中正规化子:H在在G中中心化子中中心化子:例例7(N/C定理定理)：N(H)/C(H)同构于同构于Aut(H)的一个子群的一个子群.证：考虑映射证：考虑映射 这个映射是这个映射是同态同态，其核，其核为为C(H)，由同态基本定理知，由同态基本定理知第一同构定理第一同构定理20N/C定理是群论研究中的重要定理之一定理是群论研究中的重要定理之一,下面例子是下面例子是

13、该该定理的一个完美应用定理的一个完美应用.因因H正规正规,故故g(h)=ghg-1H.所以所以,g|HAut(H).为方便，仍记为方便，仍记g=g|H 回忆：回忆：gh=gh.所以所以,保持运算保持运算.Ker=gN(H)|g为为H的恒等自同构的恒等自同构=gN(H)|ghg-1=h,hH=C(H).例例7+7+：设设G是是3535阶群，证明阶群，证明G循环循环.第一同构定理第一同构定理21证证:(反证法反证法)设设G中没有中没有35阶元阶元,由拉格朗日定理知由拉格朗日定理知,G的每个的每个非单位元的非单位元的阶阶是是5或或7.若若G所有非所有非单位元的阶单位元的阶是是5,则则G的阶必为的阶必为4的倍数的倍数,矛盾矛盾.若若G所有非所有非单位元单位元的的阶阶是是7,则则G的阶必的阶必为为6的的倍数倍数,矛盾矛盾.设设H 是是G的的7阶子群阶子群.若若G中还有另外中还有另外一个一个7阶子群阶子群K,则则故故H是唯一是唯一7阶子阶子群群,故故H循环且循环且 ，这样这样所以所以前者前者后者后者 由由G/Z定理知定理知,G为交换为交换,从而任意从而任意5阶元和阶元和7阶元的阶元的乘积为乘积为35阶元阶元,矛盾矛盾.本次课到此结束谢谢！