第三 多维随机变量及其分布.pptx

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1、 二维随机变量二维随机变量(X,Y)(X,Y)不仅与各个随机变量不仅与各个随机变量X,YX,Y有关有关,也与也与X,YX,Y间的间的内在联系内在联系有关有关.因此因此,不能试图通过单独研究随机变量不能试图通过单独研究随机变量X,YX,Y而来了解而来了解二维随机变量二维随机变量(X,Y),(X,Y),必须将必须将(X,Y)(X,Y)作为一个整体来研究作为一个整体来研究.类似于一维随机变量类似于一维随机变量,我们也可利用我们也可利用“分布函数分布函数”来来研研究二维随机变量究二维随机变量(X,Y),(X,Y),并且分别就离散型与连续型来加并且分别就离散型与连续型来加以分析以分析.一、概念请请 你你

2、 注注 意意第1页/共75页 定义定义2 2 设(X,Y)为二维随机变量,称二元函数为二维随机变量(X,Y)的分布函数,也称为随机变量X与Y的联合分布函数联合分布函数,其中 为任意实数.分布函数分布函数 在点在点 处的函数值就是事件处的函数值就是事件“随机点随机点(X,Y)落在以点落在以点 为右上顶点的角形区为右上顶点的角形区域域”的概率的概率.二、分布函数及其性二、分布函数及其性二、分布函数及其性二、分布函数及其性二、分布函数及其性二、分布函数及其性质质质质质质定义域为全平面第2页/共75页 分布函数具有下列基本性质基本性质:关于x、y均单调不减右连续右连续.对任意点对任意点 均有：均有：分

3、布函数与离散型二维随机变量分布律分布律、连续型二维随机变量概率密度概率密度的关系见后.分布函数性质随机向量落在矩形区域的概率第3页/共75页三、离散型二维随机变量三、离散型二维随机变量三、离散型二维随机变量三、离散型二维随机变量三、离散型二维随机变量三、离散型二维随机变量 1 1、概念、概念 定义定义3 3 如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值为有限个或可列无限个点,则称(X,Y)为二维离散型随机二维离散型随机变量变量.2 2、分布律、分布律 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)可能取值为可能取值为 则(X,Y)的分布律分布律(概率分布)X与Y的联合分布律联合分布律为第4页/共

4、75页 分布律分布律满足满足:分布律可用表格分布律可用表格表示表示:XY分布律性质与表示概率的非负性概率的非负性概率的规范性概率的规范性第5页/共75页【例例1 1】P.71 将一枚硬币连抛三次将一枚硬币连抛三次,以以X X表示在表示在“三次中出现正面的次数三次中出现正面的次数”,Y,Y表示表示“三次中正、三次中正、反面次数差的绝对值反面次数差的绝对值”,求求X X与与Y Y的联合分布律的联合分布律.解解X取值取值0,1,2,3;Y取值取值1,3.基本事件总数为基本事件总数为8.X与与Y的的联合分布律联合分布律为为:PX=0,Y=1=P()=0;PX=0,Y=3=1/8;TTTPX=1,Y=1

5、=3/8;HTT,THT,TTHPX=1,Y=3=P()=0;PX=2,Y=1=3/8;HHT,HTH,THHPX=2,Y=3=P()=0;PX=3,Y=1=P()=0;PX=3,Y=3=1/8.HHH古典概率第6页/共75页例例1-1-续续X与与Y的联合分布律为：的联合分布律为：第7页/共75页二维离散型随机变量的分布列形象化解释 设想将一单位质量的物质分配在（设想将一单位质量的物质分配在（X，Y）所）所有可能取值的点处，相应分配的量就是对应的概有可能取值的点处，相应分配的量就是对应的概率值。率值。这样一来，随机变量取值落在某个平面区域这样一来，随机变量取值落在某个平面区域G上的概率就等于上

6、的概率就等于G内各可能取值点处概率之和。内各可能取值点处概率之和。请自学请自学P.72:例例2。第8页/共75页四、连续型二维随机变量四、连续型二维随机变量四、连续型二维随机变量四、连续型二维随机变量四、连续型二维随机变量四、连续型二维随机变量 1 1、概念、概念 定义定义4 4 设 为二维随机变量(X,Y)分布函数,如果存在非负函数 使对任意实数 有 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,其中 称为随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度的概率密度,或称为随机变量X X与与Y Y的联的联合概率密度合概率密度.第9页/共75页2 2、概率密度及其性质、概率密度及其性质概率密度具有下列性质:设设G为

7、平面为平面xoy上的一个区域上的一个区域,则随机点则随机点(X,Y)落在落在G内的概率为内的概率为:曲顶柱曲顶柱体体积体体积确定待定参数确定待定参数第10页/共75页概率密度性质概率密度性质 若若 在点在点 处连续处连续,则有则有由分布函数由分布函数求概率密度求概率密度由概率密度由概率密度求分布函数求分布函数第11页/共75页【例例2 2】(典型题）典型题）设设r.v.(X,Y)r.v.(X,Y)的概率密度为的概率密度为 解解由概率密度性质得由概率密度性质得(1)(1)确定确定C C的值的值;(2);(2)求求(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数;(3);(3)求概率求概率 (1)因为因为

8、第12页/共75页 所以所以 故故例例2-2-续续1 1 (2)由概率密度求分布函数由概率密度求分布函数.解题思路解题思路 画出联合概率密度的非零区域;点(x,y)在全平面范围内取值;综合上述两点得出就(x,y)的分段情形.第13页/共75页例例2-2-续续2 2 本例中分布函数应分为两段来计算本例中分布函数应分为两段来计算:就就x0,y0与与“其它其它”。利用重积分对积分区域的可加性,只保留非零积分第14页/共75页例例2-2-续续3 3 (3)求概率求概率PYX.只需在概率密度概率密度f f的非零的非零区域区域与事件区域事件区域 G=(x,y)|yx的交集交集D D上积分.由公式由公式 得

9、得:第15页/共75页例例2-2-续续4 4 本例是一个本例是一个典型题典型题.大家应熟练掌握分析与计算大家应熟练掌握分析与计算的方法。特别是会根据的方法。特别是会根据不同形状不同形状的的概率密度非零区域概率密度非零区域与所求概率的与所求概率的事件区域区域G G来处理这类问题。来处理这类问题。就就P.73:例例3来共同考虑如何分段来共同考虑如何分段?应分几段应分几段?怎怎样计算各段值样计算各段值?(板书板书)第16页/共75页 二维均匀分布二维均匀分布 设设G为一个平面有界区域为一个平面有界区域,其其面积为面积为A.如果二维连续型随机变量如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密的概率密度为度为

10、则称则称(X,Y)服从区域服从区域G上的均匀分布上的均匀分布,记为记为(X,Y)U(G).1 1、二维均匀分布、二维均匀分布、二维均匀分布、二维均匀分布两种常见的二维连续型分布两种常见的二维连续型分布第17页/共75页 二维正态分布二维正态分布 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为2 2、二维正态分布、二维正态分布、二维正态分布、二维正态分布 其中其中 均为常数均为常数,称称(X,Y)为服从参数为为服从参数为 的二维正态分布的二维正态分布,记为记为第18页/共75页22、边缘分布、边缘分布一、边缘分布函数及其求法一、边缘分布函数及其求法一、边缘分布函数及其求法 设二维随机变量设二维随机变

11、量(X,Y)的分布函数为的分布函数为 ,X与与Y作为单个随机变量的分布函数分别为作为单个随机变量的分布函数分别为 ,称称分别为二维随机变量分别为二维随机变量(X,Y)关于关于X和关于和关于Y的的边缘分布边缘分布函数函数.问题问题:联合分布联合分布(函数函数)与边缘分布与边缘分布(函数函数)有什么关系有什么关系?结论结论:联合分布联合分布(函数函数)边缘分布边缘分布(函数函数)但当但当X与与Y相互独立时相互独立时,联合分布联合分布(函数函数)与与边缘分布边缘分布(函数函数)可相互确定可相互确定.3第19页/共75页 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为 ,边缘分边缘分布

12、函数布函数即即X与与Y的分布函数的分布函数为为 ，则有，则有 因此，由联合分布函数可因此，由联合分布函数可求得边缘分布函数：求得边缘分布函数：即可通过联合分布函数求极限联合分布函数求极限来确定边缘分布函数来确定边缘分布函数。由联合分布求边缘分布第20页/共75页二、离散型二维随机变量的边缘分布律二、离散型二维随机变量的边缘分布律二、离散型二维随机变量的边缘分布律二、离散型二维随机变量的边缘分布律二、离散型二维随机变量的边缘分布律二、离散型二维随机变量的边缘分布律 设设离散型离散型二维随机变量二维随机变量(X,Y)的的分布律分布律为为 则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关则由联合分布函数

13、与边缘分布函数、联合分布律关系得：系得：又由一维离散型随机变量分布函数与分布律关系得：又由一维离散型随机变量分布函数与分布律关系得：比较可得比较可得X的分布律的分布律为：为：第21页/共75页 同理可得同理可得Y的分布律的分布律为：为：我们称我们称(X,Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律(X,Y)关于关于Y的的边缘分布律边缘分布律 显然显然,由联合分布律由联合分布律可可求求得各个得各个边缘分布律边缘分布律,只需只需采用采用“同一表格法同一表格法”.边缘分布律第22页/共75页设与设与Y的联合分布律为的联合分布律为 解解利用公式得边缘分布律利用公式得边缘分布律,见上表见上表“边缘边缘”.求求

14、X,Y的边缘分布律的边缘分布律.【例例3 3】第23页/共75页三、连续型二维随机变量的边缘概率密度三、连续型二维随机变量的边缘概率密度三、连续型二维随机变量的边缘概率密度三、连续型二维随机变量的边缘概率密度三、连续型二维随机变量的边缘概率密度三、连续型二维随机变量的边缘概率密度 设设连续型连续型二维随机变量二维随机变量(X,Y)的的概率密度概率密度为为 则由联合分布函数与边缘分布函数、联合概率密度关则由联合分布函数与边缘分布函数、联合概率密度关系得：系得：又由一维连续型随机变量分布函数与概率密度关系得：又由一维连续型随机变量分布函数与概率密度关系得：比较可得比较可得X为连续型随机变量为连续型

15、随机变量,且且X的概率密度的概率密度为：为：第24页/共75页 同理可得同理可得Y的概率密度的概率密度为：为：我们称我们称(X,Y)关于关于X的的边缘概率密度边缘概率密度(X,Y)关于关于Y的的边缘概率密度边缘概率密度 显然显然,由联合概率密度由联合概率密度可可求求得各个得各个边缘概率密度边缘概率密度,只需对某只需对某一个变量在一个变量在(-,+)上积分上积分,但必须注意但必须注意另另一个变量应在全体实数范围内取值一个变量应在全体实数范围内取值.边缘概率密度参量积分第25页/共75页【例例4 4】(典型题）典型题）设与设与Y Y的联合概率密度为的联合概率密度为 解题思路解题思路 求求X,YX,

16、Y的边缘概率密度的边缘概率密度.画出联合概率密度的非零区域;参量x(y)在实数范围内取值;综合上述两点就x(y)分两种情形关于y(x)由-积分到+,只需在积分直线与非零区域交线上进行.第26页/共75页类似可得类似可得:解解由公式得由公式得:例例4-4-续续1 1第27页/共75页例例4-4-续续2 2 本例是求边缘概率密本例是求边缘概率密度的度的典型题典型题，不同的题目，不同的题目只是非零区域形状和积分只是非零区域形状和积分表达式的变化，必须熟练表达式的变化，必须熟练掌握掌握.第28页/共75页二维正态分布的边缘分布二维正态分布的边缘分布 不难不难求得求得二维正态分布随机变量的边缘概率密二维

17、正态分布随机变量的边缘概率密度度为为:由此可知由此可知:二维正态分布的边缘分布均为一维正二维正态分布的边缘分布均为一维正态分布态分布,且与参数且与参数无关无关.表明表明:由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布,但由边缘但由边缘分布未必能确定联合分布分布未必能确定联合分布.第29页/共75页33、相互独立的随机变量、相互独立的随机变量则称随机变量X与Y是相互独立相互独立的.定义定义1 1 设 分别为二维随机变量(X,Y)分布函数与边缘分布函数.如果对于任意的实数 均有 一、概念一、概念一、概念即即 利用两事件的独立性可以定义两随机变量的独立利用两事件的独立性可以定义两随机变量的独立

18、性性.第30页/共75页二、判定二、判定二、判定二、判定二、判定二、判定 由定义可以判定随机变量由定义可以判定随机变量X X与与Y Y的的独立性独立性:X X与与Y Y相互相互独立独立 特别的，对离散性和连续性随机变量，也可利特别的，对离散性和连续性随机变量，也可利用其分布律与概率密度来判定独立性。用其分布律与概率密度来判定独立性。1 1、离散型随机变量、离散型随机变量 离散型随机变量离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律、边缘分布律的分布律、边缘分布律分别为分别为第31页/共75页则则X X与与Y Y相互独立的相互独立的充要条件充要条件是是:对对(X,Y)(X,Y)的的所有所有可能可能取

19、得值取得值 ,均有均有 设连续型随机变量设连续型随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度、边缘概率的概率密度、边缘概率密度分别为密度分别为则则X X与与Y Y相互独立的相互独立的充要条件充要条件是是:在全平面上在全平面上几乎处处几乎处处成立成立2 2、连续型随机变量、连续型随机变量第32页/共75页 总之，联合分布可确定边缘分布总之，联合分布可确定边缘分布;但当但当X X与与Y Y相互相互独立时，边缘分布也可确定联合分布。独立时，边缘分布也可确定联合分布。一般，要判定一般，要判定X X与与Y Y的独立性，可先求边缘分布的独立性，可先求边缘分布,再依据上述条件之一判定再依据上述条件之一判定.续第3

20、3页/共75页【例例1 1】设随机变量设随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为(1)(1)求求(X,Y)(X,Y)的边缘概率密度的边缘概率密度;(2)(2)判定判定X,YX,Y的独立性的独立性.解解(1)求求(X,Y)的边缘概率的边缘概率密度密度第34页/共75页例例1-1-续续1 1第35页/共75页(2)判定独立性判定独立性因为因为 即即X与与Y不独立不独立。所以在联合概率密度非零区域内所以在联合概率密度非零区域内例例1-1-续续2 2第36页/共75页【例例2 2】(典型题）典型题）设随机变量设随机变量X,YX,Y相互独立相互独立,且且X X服从服从(0,1)(0,1)上的

21、均匀分上的均匀分布布,Y,Y的概率密度为的概率密度为(1)(1)求求X X与与Y Y的联合概率密度的联合概率密度;(2)(2)求关于求关于t t的二次方程的二次方程t2+2Xt+Y=0 t2+2Xt+Y=0 有实根的概率有实根的概率.解(1)(1)求求X X与与Y Y的联合概率密度的联合概率密度 因为因为X,Y独立独立,且有且有第37页/共75页 所以所以,X与与Y的联合概率密度为的联合概率密度为例例2-2-续续1 1 (2)(2)求方程有实根的概率求方程有实根的概率 “方程有实根方程有实根”即为即为 故所求概率为故所求概率为;第38页/共75页例例2-2-续续2 2第39页/共75页 均匀分

22、布的概率密度；当两个随机变量相互独立时，可由边缘概率密度确定联合概率密度；由联合概率密度求事件“二维随机变量取值落在一个平面区域内”概率的积分公式；二重积分的计算；利用标准正态概率密度函数计算有关概率积分值；一元二次方程有实根的条件，等。本题知识点回顾本题知识点回顾第40页/共75页 不难看出：对于二维正态随机变量不难看出：对于二维正态随机变量(X,Y),X与与Y相相互独立的充要条件是参数互独立的充要条件是参数=0.参数参数称为称为X与与Y的的相关系数相关系数(ch4).如果随机变量如果随机变量X与与Y的的相关系数相关系数=0,称称X与与Y是是不不相关相关的的.一般一般,X与与Y相互相互独立独

23、立 X与与Y不相关不相关.但对但对二维正态二维正态随机变量随机变量(X,Y),X与与Y独立独立与与不相不相关关是是等价等价的的.续 由一、二维随机变量推广至由一、二维随机变量推广至n维随机变量维随机变量.请看教请看教材材第41页/共75页 我们知道：我们知道：二维正态二维正态随机变量随机变量(X,Y)的的概率密度概率密度为为 两个两个边缘概率密度边缘概率密度为为二维正态分布与边缘分布二维正态分布与边缘分布第42页/共75页44、条件分布、条件分布一、离散型二维随机变量的条件分布律一、离散型二维随机变量的条件分布律一、离散型二维随机变量的条件分布律 定义定义1 1 设（设（X X，Y Y）为离散

24、型二维随机变量，）为离散型二维随机变量，对于固定的对于固定的j j，当，当 时，称时，称为为在在 条件下条件下X的条件分布律的条件分布律；由条件概率可以自然地引入条件分布。由条件概率可以自然地引入条件分布。第43页/共75页为为在在 条件下条件下Y的条件分布律的条件分布律。对于固定的i，当 时，称定义1第44页/共75页设与设与Y的联合分布律为的联合分布律为求在求在Y=1条件下条件下X的条件分布律的条件分布律.【例例1 1】解解先求边缘分布律先求边缘分布律,见上表见上表“边缘边缘”.第45页/共75页 再求条件分布律：再求条件分布律：显然，条件分布律也满足分布律的性质。显然，条件分布律也满足分

25、布律的性质。例例1-1-续续第46页/共75页 定义定义2 2 设连续型二维随机变量设连续型二维随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密的概率密度为度为 ，边缘概率密度为，边缘概率密度为 ，则当，则当 时，称时，称为为在条件在条件 下下X的条件概率密度的条件概率密度；当；当 时，时，称称为在条件 下Y的条件概率密度二、连续型二维随机变量的条件概率密度二、连续型二维随机变量的条件概率密度第47页/共75页【例例2 2】设与设与Y Y的联合概率密度为的联合概率密度为求条件概率密度求条件概率密度 。解解先求边缘概率密度：先求边缘概率密度：再先条件概率密度：当再先条件概率密度：当 时，时，第48页/共75

26、页55、二维随机变量函数的分布、二维随机变量函数的分布 一维随机变量函数的分布在前一章已经讨论过，一维随机变量函数的分布在前一章已经讨论过，下面就几个具体的分布来讨论下面就几个具体的分布来讨论二维随机变量函数的分二维随机变量函数的分布布。主要就主要就连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)来根据具体情况应用来根据具体情况应用公式公式:至于至于离散型离散型随机变量情形可参照处理随机变量情形可参照处理.第49页/共75页一、和分布一、和分布一、和分布一、和分布一、和分布一、和分布Z=X+YZ=X+YZ=X+Y 设设连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)的的概率密度概率密度为为 则随机变量则随机变量Z

27、=X+Y的的分布函数分布函数为：为：由广义参量积分求导公式得由广义参量积分求导公式得:第50页/共75页 由由对称性对称性得：得：因此因此,由由联合概率密度联合概率密度求求和分布和分布Z=X+Y的概率密的概率密度度公式为：公式为：一般情形第51页/共75页 特别，当特别，当X与与Y相互相互独立独立时时,几乎处处有几乎处处有:于是于是,上述公式变为上述公式变为卷积公式卷积公式:因此因此,一般一般可由可由X与与Y的联合概率密度求和分布的联合概率密度求和分布Z=X+Y的概率密度的概率密度;当当X与与Y独立独立时时,可由边缘概率密可由边缘概率密度的卷积公式求之度的卷积公式求之.独立情形（卷积公式）第5

28、2页/共75页 参照D就z在(-,+)上进行分段;对上述各分段中取定的z值,就x从-积分至+,实际只需在非零区域D上一段积分.卷积计算卷积计算思路思路 在xoz平面上确定被积函数及其非零区域D;注意：上述也是一般参量积分的计算方法。注意：上述也是一般参量积分的计算方法。参量积分计算方法第53页/共75页 设随机变量设随机变量X,YX,Y相互独立相互独立,且均服从标准正态分布且均服从标准正态分布,求求Z=X+YZ=X+Y的概率分布的概率分布.所以由卷积公式得所以由卷积公式得Z=X+Y概率密度为概率密度为 解解因为因为X,Y独立且其概率密度分别为独立且其概率密度分别为【例例1 1】1、z在(-,+

29、)上取值;2、x在(-,+)上积分;3、考虑被积函数的非零区域;4、在xoz系中综合上述各点确定z的分段情形.第54页/共75页例例1-1-续续1 1所以所以ZN(0,2).第55页/共75页设随机变量设随机变量X,YX,Y相互独立相互独立,且概率密度均为：且概率密度均为：解解因为因为X,Y独立独立,所以所以和分布和分布概率密度可由概率密度可由卷卷积公式积公式计算计算:求求Z=X+YZ=X+Y概率密度。概率密度。计算积分计算积分思路思路:1.被积函数非零区域被积函数非零区域;2.z取任意实取任意实数数;3.x在在(-,+)上积分上积分;4.综合上述就综合上述就z分段分段.【例例2 2】(典型题

30、典型题)第56页/共75页例例2-2-续续1 1 由边缘概率密度确定 的表达式,特别是其非零区域:由题目条件得由题目条件得:故得故得:第57页/共75页 计算卷积:函数自变量为z,积分变量为x,当z取值范围确定后,x由-积分至+(只需在非零区域内一段上积分).例例2-2-续续2 2第58页/共75页因为因为所以所以例例2-2-续续3 3第59页/共75页综上可得综上可得:例例2-2-续续4 4第60页/共75页离散型随机变量和分布离散型随机变量和分布 设设离散型离散型随机变量随机变量(X,Y)的的概率分布概率分布为为 则随机变量则随机变量Z=X+Y的的概率分布概率分布为：为：特别特别,当当X,

31、Y独立时独立时,则则Z=X+Y的的概率分布概率分布为：为：第61页/共75页【例例3 3】P.90:P.90:例例11 解Z=X+Y可能取值为-3,-2,-1,0,1,2,3;且第62页/共75页第63页/共75页值得注意值得注意:二项分布和泊松分布均具有二项分布和泊松分布均具有“可加性可加性”：第64页/共75页 设设连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)的的概率密度概率密度为为 则随机变量则随机变量Z=X/Y的的分布函数分布函数为：为：二、商分布二、商分布二、商分布二、商分布二、商分布二、商分布Z=X/YZ=X/YZ=X/Y第65页/共75页一般情形由广义积分求导公式得：由广义积分求导公式

32、得：Z=X/Y的概率密度为的概率密度为即即商分布的概率密度商分布的概率密度为：为：第66页/共75页于是于是,上述公式变为上述公式变为:特别，当特别，当X与与Y相互相互独立独立时时,几乎处处有几乎处处有:独立情形第67页/共75页设随机变量设随机变量X,YX,Y相互独立相互独立,且概率密度均为：且概率密度均为：求求Z=X/YZ=X/Y概率密度。概率密度。解解因为因为X,Y独立独立,所以由所以由公式公式 计算商分布的概率密度。计算商分布的概率密度。【例例4 4】计算积分计算积分思路思路:1.被积函数非零区域被积函数非零区域;2.z取任意实取任意实数数;3.y在在(-,+)上积分上积分;4.综合上

33、述就综合上述就z分段分段.计算方法与卷积类似第68页/共75页 由边缘概率密度确定 的表达式,特别是其非零区域 由题目条件得由题目条件得:故得故得:例例4-4-续续1 1第69页/共75页 计算参量积分 函数自变量为z,积分变量为y,当z取值范围确定后,x由-积分至+(只需在非零区域内一段上积分).例例4-4-续续2 2第70页/共75页 因为 所以综上可得综上可得:例例4-4-续续3 3第71页/共75页三、极大三、极大三、极大三、极大三、极大三、极大(小小小小小小)分分分分分分布布布布布布 设随机变量设随机变量X,Y相互相互独立独立，其，其分布函数分布函数分别为分别为 现求随机变量现求随机变量M=maxX,Y,N=minX,Y的的分布函数分布函数.由分布函数的定义得；由分布函数的定义得；第72页/共75页 于是，于是，极大极大(小小)分布分布的分布函数为的分布函数为 特别特别,当当X,Y独立且同分布时独立且同分布时,有有 上述结果可推广到有限个随机变量情形上述结果可推广到有限个随机变量情形.第73页/共75页 P.102:1;2;3;7;P.103:12;P.104:14;15;17;P.105:20;22。本章作业第74页/共75页感谢您的观看！第75页/共75页