理学数值积分与数值微分.pptx

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1、取左端点矩形近似求定积分的思想：分割、近似、求和取右端点矩形近似复化型求积公式-第1页/共92页数值积分公式的一般形式：其中求积节点求积系数仅与求积节点有关求积公式的截断误差或余项：5.1 数值求积的基本问题第2页/共92页代数精度的判别方法求积公式的代数精度（/*Algebraic Precision*/）如果求积公式对一切不高于m次的多项式都恒成立，而对于某个m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。求积公式具有次m代数精度的充要条件是 为 时求积公式精确成立，而 为 时求积公式不能成为等式。第3页/共92页求积系数的特征：求积公式的收敛性和稳定性若则称求积公式（*）是收

2、敛的。设 有舍入误差，实际计算的求积公式为：第4页/共92页两者的误差为其中求积系数全为正时，公式是稳定的第5页/共92页5.2 NewtonCotes公式一、插值型求积公式/*Integration Formula of Interpolation Type*/思想用被积函数 在区间 上的插值多项式近似代替计算作n次Lagrange插值多项式:设已知函数 在节点上的函数值第6页/共92页其中插值型求积公式：余项第7页/共92页 形如 的求积公式至少有n次代数精度的充要条件是它是插值型求积公式。证明：充分性设它是插值型求积公式当时，即它对所有不超过n次的多项式精确成立，故至少有n次代数精度。第

3、8页/共92页则对所有不超过n次的多项式求积公式精确成立取因此求积公式 是插值型的。必要性设求积公式至少有n次代数精度第9页/共92页二、NewtonCotes求积公式NewtonCotes公式是插值型求积公式的特殊形式：求积节点 取等距分布：步长第10页/共92页其中Cotes系数NewtonCotes公式：第11页/共92页n=1时的求积公式梯形公式/*Trapezoidal Formula*/1次代数精度用梯形面积近似-第12页/共92页n=2时的求积公式3次代数精度Simpson公式用抛物形面积近似-第13页/共92页n=4时的求积公式Cotes公式5次代数精度近似等于曲边梯形的面积-

4、第14页/共92页例1：分别利用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分 的近似值。解：第15页/共92页注：NewtonCotes公式中 时不能使用；当NewtonCotes公式中 时不能满 足高精度要求。对于NewtonCotes求积公式当n为奇数时至少具有n次代数精度；当n为偶数时至少具有n+1次代数精度。第16页/共92页证明：由定理5.2.1：插值型求积公式至少有n次代数精度只需证明当 （n为偶数）时，余项等于零。余项作变换再作变换（n为偶数）第17页/共92页第二积分中值定理（被积函数为奇函数）故n为偶数时，NewtonCotes求积公式至少具有n+1次代数精度。三、前

5、述三种求积公式的余项梯形公式设 连续第18页/共92页 Simpson公式构造次数不超过3次的多项式 ，满足：其中设 连续第19页/共92页第二积分中值定理第20页/共92页见参考文献13（补充：NewtonCotes求积公式的误差估计）（1）当n为偶数时，如果 ，则其中（2）当n为奇数时，如果 ，则其中第21页/共92页 Cotes公式设 连续NewtonCotes求积方法的缺陷：从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致（1）插值多项式出现Runge现象；（2）NewtonCotes数值稳定性不能保证。（n7）第22页/共92页5.3 复化求积

6、公式/*Compound Quadrature Formula*/思想将积分区间 分成若干个小区间，然后在每个小区间上采用低阶的NewtonCotes公式一、复化梯形公式：/*Compound Trapezoidal Formula*/将积分区间 n等分：分点在区间 上采用梯形公式第23页/共92页复化梯形公式复化梯形公式的几何意义小梯形面积之和近似-第24页/共92页复化梯形公式的余项设由介值定理余项估计式第25页/共92页复化梯形公式的收敛性其中定积分与区间分法和 的取法无关设第26页/共92页二、复化Simpson公式：/*Compound Simpon Formula*/分点在区间 上

7、采用Simpson公式其中将积分区间 n等分：第27页/共92页复化Simpson公式复化Simpson公式的几何意义小抛物面积之和近似-第28页/共92页复化Simpson公式的余项设由介值定理余项估计式第29页/共92页习题四（5）复化Simpson公式的收敛性类似地可以得到复化Cotes公式第30页/共92页例2：分别利用复化梯形公式、复化Simpson公式计算积分 的近似值，要求按复化Simpson公式计算时误差不超过 。解：首先来确定步长复化Simpson公式的余项：其中第31页/共92页本题 的求法：由归纳法知第32页/共92页解不等式得将区间 8等分，分别采用复化Simpson、

8、梯形公式 0 1/8 1/4 3/8 10.9973980.9896880.976727 1/2 5/8 6/8 7/8 10.9588510.9361560.9088580.8771930.841471第33页/共92页复化梯形公式(n=8)复化Simpson公式(n=4)第34页/共92页（1）使用复化梯形公式、Simpson公式，首先要确定步长 ；（2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计；（3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；（4）计算机上实现起来不方便，通常采用“事后估计法”。三、积分步长的自动选取：注意事项：基本思想：将积分区间逐次分半终止法则：前后两次近似

9、值的误差小于已知精度第35页/共92页具体过程（以复化梯形公式为例）1、首先将区间 n等分：2、再将区间 2n等分，即步长减半：第36页/共92页上述条件满足，程序终止；否则，继续分半计算。3、终止条件：由复化梯形公式的余项知变化不大时由此得到近似关系式误差控制条件第37页/共92页收敛速度慢对于复化Simpson公式、Cotes公式可以类似得到不足对于复化梯形公式第38页/共92页加速收敛应用步长逐次减半得到的复化梯形值、复化Simpson值、复化Cotes值与精确值的比较第39页/共92页5.4 Romberg积分法/*Romberg Integration Method*/Romberg

10、积分思想由上节分析知，用复化梯形公式计算积分值的误差大约为：令由复化梯形公式知第40页/共92页第41页/共92页梯形加速公式：利用复化梯形公式前后两次积分近似值 和 ，按照上式作出的线性组合得到了具有更高精度的积分值。上述公式说明：Romberg积分公式正是由此思想产生第42页/共92页Romberg 值序列Simpson加速公式：Cotes加速公式：类似于梯形加速公式的处理方法，得到：第43页/共92页通过上述3个积分值序列求积分近似值的方法，称之为Romberg积分法。4个积分值序列：梯形值序列Simpson值序列Romberg值序列Cotes值序列第44页/共92页Romberg积分法

11、的一般公式其中第45页/共92页Romberg积分表第46页/共92页例3：利用Romberg 积分法式计算积分要求精确到小数点后面7位。解：根据Romberg 积分法计算得第47页/共92页具体结果见下表第48页/共92页第49页/共92页5.5 Gauss求积公式/*Gauss Quadrature Formula*/一、Gauss积分问题的提法前述NewtonCotes求积公式中求积节点是取等距节点，求积系数计算方便，但代数精度要受到限制；为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选 取，求积公式的代数精度最高能达到多少？具有最高代数精度的求积公式

12、中求积节点如何选取？积分公式的一般形式：第50页/共92页只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。形如 的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。证明：其中令因为而故求积公式不能精确成立第51页/共92页下面讨论一般积分形式：其中 为权函数构造积分公式（*）具有2n+1次代数精度。其中求积节点求积系数仅与求积节点有关第52页/共92页 如果一组节点 ，使得上述插值型求积公式具有2n+1次代数精度，则称该组节点为Gauss点，相应的公式为Gauss型求积公式。求积公式 精确成立：由代数精度定义，当 时，2n+2个未知数，2n+2个方程的非线性方

13、程组第53页/共92页二、Gauss求积公式的性质 Gauss求积公式存在的条件插值型求积公式（*）的节点是Gauss点的充要条件是以这些节点为零点的多项式与任何不超过n次的多项式 带权正交:第54页/共92页证明：必要性设则因为是Gauss点充分性对于其中第55页/共92页即求积公式（*）对一切不超过2n+1次的多项式精确成立所以节点 是Gauss点上述定理表明：上带权的n+1次正交多项式的零点就是求积公式（*）的Gauss点第56页/共92页 Gauss求积公式中求积系数的求法由代数精度定义，得到n+1阶线性方程组：设已知Gauss点或者第57页/共92页 Gauss求积公式的余项证明：设

14、 是满足下列条件的Hermite插值第58页/共92页第二积分中值定理第59页/共92页 Gauss求积公式的稳定性Gauss型求积公式（*）总是稳定的。证明：只需证明：因为Gauss型求积公式（*）对所有不超过2n+1次的多项式都精确成立：取是n次的Lagrange插值基函数第60页/共92页 Gauss求积公式的收敛性则Gauss型求积公式（*）是收敛的。设证明：由Weierstrass定理知对存在m次多项式 满足下证当 时第61页/共92页第62页/共92页三、Gauss求积公式的构造根据前面的讨论，只需要取n+1次正交多项式的n+1个零点为求积节点，构造的求积公式即为Gauss求积公式

15、区间的转化问题任意区间 经过下列变换可变为区间下面仅以Legendre多项式和Chebyshev多项式为例第63页/共92页 Gauss-Legendre求积公式其中求积节点 是n+1次Legendre多项式的零点求积系数可通过求解方程组得到，或者利用下式第64页/共92页事实上考虑积分第65页/共92页被积函数2n次P147表第66页/共92页例1：应用两点Gauss-Legendre求积公式计算积分解：作变换第67页/共92页三点Gauss-Legendre求积公式第68页/共92页见文献13 Gauss-Chebyshev求积公式其中求积节点 是n+1次Chebyshev多项式的零点求积

16、系数第69页/共92页例2：应用两点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分解：作变换第70页/共92页节点增加时需重新计算可以计算广义积分第71页/共92页 5.6 积分方程的数值解/*The Numerical Solution of Integral Equations*/积分方程指的是在积分号下包含未知函数的一类方程。本节主要以下列第二类Fredholm积分方程为例，简单介绍如何求积分方程的数值解:解的存在唯一性：当函数 和 充分光滑时，上述方程在定义区间上存在唯一解 。第72页/共92页积分方程的数值解法求上述积分方程的数值解，就是寻求未知函数 的一个近似函数 ，使得在给定的已

17、知分点上的函数值满足其中数据 称为积分方程的数值解。利用上述数据，根据函数逼近的方法，我们可以构造未知函数的近似表达式。第73页/共92页利用数值积分法离散前述Fredholm方程中的积分项：从而得到一个关于 的关系式：在上述关系式中令 ，即进一步离散化：这是一个关于未知量 的线性代数方程组第74页/共92页如果记则上述方程组可写为第75页/共92页解：例3：使用复合Simpson公式求下列积分方程的数值解用复合Simpson公式离散化积分项（取等距节点）第76页/共92页从而得到线性代数方程组第77页/共92页如 时，将区间 二等分，采用Simpson公式则取5个节点：从而得到线性代数方程组

18、第78页/共92页第79页/共92页解上述方程组得积分方程的数值解 0 0.25 0.5 0.75 1 -7.9256 14.5225-40.6597-0.4504 31.4884第80页/共92页第81页/共92页5.7 数值微分/*Numerical Derivation*/一、插值型求导公式/*Derivation Formula of Interpolation Type*/已知表格函数以 构造n次Lagrange插值多项式:插值型求导公式:误差估计 第82页/共92页为了计算方便和估计误差，节点通常取等距节点。第83页/共92页 两点公式已知表格函数作线性插值误差第84页/共92页 三点公式已知表格函数其中作二次插值第85页/共92页为了求导数方便，令当 时得到三点公式：中点公式第86页/共92页例4：已知函数 在 处的函数值,应用三点公式计算这些点处的导数值.解：应用三点公式第87页/共92页计算结果如下:第88页/共92页类似地可以建立高阶导数的微分公式：二、利用3次样条插值函数求数值微分的思想设函数 ，是区间 的一个分割，是关于 的带有型(斜率边界)或型(二阶导数边界)边界条件的插值函数，则有误差估计第89页/共92页在区间 上第90页/共92页如果只求节点上的导数类似地求高阶导数第91页/共92页感谢您的观看！第92页/共92页