矢量分析13学习.pptx

《矢量分析13学习.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矢量分析13学习.pptx（77页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一、教材一、教材郭硕鸿编郭硕鸿编高等教育出版社高等教育出版社1、电动力学蔡圣善等 高教出版社2、电动力学虞福春 北京大学出版3、经典电动力学(影印版)()(第3 3版)John John David David Jackson Jackson 高等教育出版社1第1页/共77页电动电动 力学力学电电 动力学动力学dynamicselectro二、课程内容二、课程内容？2第2页/共77页一、研究电磁场相互作用一、研究电磁场相互作用物理学中四类相互作用：物理学中四类相互作用：引力相互作用、引力相互作用、电电磁相互作用磁相互作用、强相互作用、弱相互作用、强相互作用、弱相互作用。二、狭义相对论二、狭义相

2、对论相对论建立了一套崭新的时空观，是现代物相对论建立了一套崭新的时空观，是现代物理学的重要基石。理学的重要基石。3第3页/共77页一、研究电磁场相互作用一、研究电磁场相互作用二、狭义相对论二、狭义相对论麦克斯韦方程及其麦克斯韦方程及其应用应用静电场、静磁场静电场、静磁场平面电磁波的传播平面电磁波的传播电磁波的辐射电磁波的辐射狭义相对论狭义相对论带电粒子和电磁带电粒子和电磁场相互作用场相互作用4第4页/共77页电磁场理论侧重电磁场、电磁波产生，传播等侧重电磁波和物质相互作用电动力学5第5页/共77页三、课程特点三、课程特点难，超乎想象难，超乎想象1 1、数学运算多、数学运算多矢量矢量常微分常微分

3、标量、矢量、张量标量、矢量、张量分离变量法、拉普拉斯方程分离变量法、拉普拉斯方程6第6页/共77页2 2、相对论、相对论狭义相对论狭义相对论与日常生活相距较远与日常生活相距较远原子、分子、离子原子、分子、离子宇宙、天体宇宙、天体无穷，模型可能统一，方无穷，模型可能统一，方法统一法统一7第7页/共77页书薄，分量够书薄，分量够多做习题多做习题要要想想学学好好电电动动力力学学，必必须须树树立立严严谨谨的的学学习习态态度和刻苦的学习作风。度和刻苦的学习作风。8第8页/共77页矢矢 量量 分分 析析9第9页/共77页1、矢量标量（标量（ScalarScalar）矢量矢量(VectorVector)电压

4、、温度、时间、质量、电荷等电压、温度、时间、质量、电荷等电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量一、矢量代数一、矢量代数一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量一个有大小和方向的物理量称为矢量矢量10第10页/共77页矢量A可以表示成其中，A是矢量A的大小;一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）、零矢（Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量（Unit Vector）。11第11页/共77页任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。12第12页/共77页2 2、矢量的运算（以直角坐标系为例）、矢量的运算（以直角坐标系为例）

5、1 1）矢量的加、减法a a）矢量的加法符合交换律和结合律）矢量的加法符合交换律和结合律b b）矢量的加法和减法可用平行四边形法则求解）矢量的加法和减法可用平行四边形法则求解说明说明：13第13页/共77页2 2）矢量的点乘（a a）矢量与标量点乘）矢量与标量点乘（b b）矢量与矢量点乘）矢量与矢量点乘14第14页/共77页15第15页/共77页说明说明:a、两个矢量的点积为标量两个矢量的点积为标量 b b、矢量的点积符合交换律和分配律矢量的点积符合交换律和分配律16第16页/共77页3 3）矢量与矢量叉乘（矢量积）矢量与矢量叉乘（矢量积）a、两个矢量的两个矢量的叉积为矢量叉积为矢量 说明：说

6、明：17第17页/共77页或者说，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行。两个相互平行矢量的叉积一定等于零。18第18页/共77页直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：记忆法则19第19页/共77页c、平行四边形面积，方向：垂直于平行四边形面积，方向：垂直于 所在的平面所在的平面a、两个矢量的两个矢量的叉积为矢量叉积为矢量 说明：说明：b、20第20页/共77页4）混合积a ab b是是a a和和b b垂直的矢量，其数值等于垂直的矢量，其数值等于absin,absin,即等于由即等于由a a和和b b构成的平行四边形的面积。构成的平行四边形的面积。21第21页/共77页但但c

7、cosccos等等于于图图中中所所示示的的平平行行六六面面体体的的高高，因因此此c c(ab)(ab)等等于于由由这这三三个个矢矢量量构构成成的的平平行行六六面面体体的的体体积积。22第22页/共77页上式表明，把三个矢量按循环次序轮换，其积不变；若只把两矢量对调，其积差一负号。同理a(bc)和b(ca)都等于同一个体积。又因为ab=ba，所以c(ba)=c(ab)。总括起来，混合积有如下性质：23第23页/共77页5）双重矢积abab是与是与a a和和b b都垂直的一个矢量都垂直的一个矢量d d，而，而dcdc是与是与d d垂垂直的一个矢量直的一个矢量f f，因此，因此f f必在必在a a和

8、和b b构成的平面上，即可构成的平面上，即可表为表为a a和和b b的线性组合。用矢积的分量表示可以直接算的线性组合。用矢积的分量表示可以直接算出结果。令出结果。令 先算f的x分量f1：24第24页/共77页（点3乘2，点2乘3）同样可算出f2和f3，结果是 把括号外的矢量与括号内较远的矢量点乘起来，所得的项为正号，另一项为符号。25第25页/共77页矢量函数一般是空间坐标的函数，有时它也是时矢量函数一般是空间坐标的函数，有时它也是时间的函数。间的函数。3 3、矢量函数的微分、矢量函数的微分26第26页/共77页3 3、矢量函数的微分、矢量函数的微分矢量函数对空间的偏导数仍是一个矢量，它的分量

9、矢量函数对空间的偏导数仍是一个矢量，它的分量等于原矢量函数各分量对该坐标的偏导数。这一结论等于原矢量函数各分量对该坐标的偏导数。这一结论同样同样适适用于矢量函数对时间求导数。用于矢量函数对时间求导数。27第27页/共77页注意顺序不注意顺序不能颠倒能颠倒28第28页/共77页1 1、计算、计算 2、求证，与矢量垂直。4、证明：作业：2 求证，与矢量垂直。（求）。课堂练习课堂练习3、计算下列各式：（求 ）（0，-1）29第29页/共77页二、场的概念和标量场的梯度二、场的概念和标量场的梯度1 1、场、场 被描述的物理量是标量，则定义的场被称为标量场；空间内每一点，某个物理量都有一个确定值，在此空

10、间内每一点，某个物理量都有一个确定值，在此空间内确定了该物理量的一个空间内确定了该物理量的一个场场。被描述的物理量是矢量，则定义的场被称为矢量场。温度场、密度场温度场、密度场强度场、速度场、引力场、电磁场等强度场、速度场、引力场、电磁场等30第30页/共77页研究一个场？研究一个场？明确此场的分布空间明确此场的分布空间代表一个什么样的物理量，在此空间中怎样分布。代表一个什么样的物理量，在此空间中怎样分布。一个场可用一个定义在区域中的一个函数来描述。一个场可用一个定义在区域中的一个函数来描述。描述场的函数被称为描述场的函数被称为场函数场函数，它通常是位置和时，它通常是位置和时间的函数：间的函数：

11、31第31页/共77页标量场标量场：场的场的物理量物理量是标量，是标量，矢量场矢量场：场的场的物理量物理量是是矢量。矢量。静态场（稳衡场）静态场（稳衡场）：场量不随时间变化的场：场量不随时间变化的场。动态场（时变场）动态场（时变场）：场量随时间变化的场。：场量随时间变化的场。32第32页/共77页已知场函数则可以了解场的各种性质随时空的变化关系（梯、散、旋度）33第33页/共77页2.2.梯度梯度设P0为标量场u=u(P)中的一点，从点P0出发引出一条射线l，如下图所示。在l上P0点邻近取一点P，记线段 P0P=l，如果当PP0时极限2.1方向导数（1）方向导数的定义34第34页/共77页存在

12、，则称该极限为函数u(P)在点P0处沿l方向的方向导数(Directional Derivative)，记为：方向导数表示：标量场 在P P沿 l l 方向对空间距离的变化率！35第35页/共77页在直角坐标系中，设函数u=u(x,y,z)在P0(x0,y0,z0)处 可微，则有将上式两边同除以l并取极限得到方向导数的计算公式：其中，cos,cos,cos为l方向的方向余弦。（2）方向导数的计算公式 36第36页/共77页例1：求数量场解：l方向的方向余弦为而 故数量场在l方向的方向导数为 在点M(1,1,2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。37第37页/共77页在点M处沿l方向的

13、方向导数为 38第38页/共77页在在 方向的方向的方向导数方向导数为为 的的单位矢量单位矢量：定义标量场的梯度：定义标量场的梯度：(1)39第39页/共77页(3)式表示：式表示：标量场标量场 沿沿梯度梯度方向方向的的方向导数最大方向导数最大，等于等于梯梯度度 大小！大小！式式(2)(2)：当当 沿沿方方向时向时,(3)(2)式表示：式表示：标量场沿标量场沿 方向方向的的方向导数等于方向导数等于梯度梯度 沿沿 方向方向分量分量！上面的方向导数改写为上面的方向导数改写为(2)40第40页/共77页2.2 标量场的梯度定义一个矢量G，其方向为函数u在点P处变化率为最大的方向，其大小就是这个最大变

14、化率的值，这个矢量G称为函数u在点P处的梯度（Gradient），记为41第41页/共77页梯度也可表示为算子又称为哈密顿算子，与标量函数u相乘为一矢量函数。42第42页/共77页例2：设标量函数r是动点M(x,y,z)的矢量 的模，即，证明：43 证：因为 所以 第43页/共77页求半径 的数值的梯度。点均可变动。一般称为源点（电场中电荷所在点）。为场点（观测点）。此例中和我们可求和解：有两个变量例3：44第44页/共77页求 解：45第45页/共77页面元矢量：面元矢量：是面元外法线方向的是面元外法线方向的单位矢量单位矢量三、矢量的通量和散度三、矢量的通量和散度 高斯定理高斯定理1、矢量场

15、的通量46第46页/共77页三、矢量的通量和散度三、矢量的通量和散度 高斯定理高斯定理的确定方法：对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定；对闭合曲面：闭合面外法线方向。47第47页/共77页面元dS很小，因此可认为在面元上各点矢量场A的值相同，A与面元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通量，记作48第48页/共77页对闭合面而言，通量上方向，由面内指向面外。因此矢量场A穿过整个曲面S的通量为49第49页/共77页讨论：，场线进入的少，穿出得多，称面内有源。，场线进入的与穿出得同样多，称面内无源。，场线进入的多，穿出得少，称意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚。面内有负源。50第5

16、0页/共77页2 2、矢量场的散度 散度是单位体积通量（通量体密度）。2.1 2.1 散度的定义(1)51第51页/共77页沿沿x和和x+dx两个面的通量两个面的通量52第52页/共77页类似处理沿类似处理沿y和和y+dy两个面的通量和沿两个面的通量和沿z和和z+dz两个面两个面的通量的通量53第53页/共77页矢量场的散度矢量场的散度积分变换公式积分变换公式矢量场矢量场 的散度表示为的散度表示为矢量微分算子矢量微分算子与与矢量矢量 的的点乘点乘！54第54页/共77页其中，为标量场,为矢量场。可用直角坐标系来证明。3.3.散度的运算法则散度的运算法则(与微分求导法则相同！与微分求导法则相同！

17、)55第55页/共77页课堂练习，其中 1.求562.求证：。第56页/共77页其中，闭合面为体积的边界面。其中，闭合面为体积的边界面。将矢量的面积分将矢量的面积分变为该矢量散度的体积分！变为该矢量散度的体积分！散度定理（高斯公式）：57第57页/共77页将体积分成将体积分成 n n个小的体积元。由散度的定义得通过个小的体积元。由散度的定义得通过任意第任意第i i个体积元个体积元 的通量为的通量为通过通过n n个体积元的通量和为个体积元的通量和为（A）第58页/共77页因为通过因为通过任意两个相邻体积元的公共界面任意两个相邻体积元的公共界面的通量抵消！的通量抵消！所以所以将式（将式（B）代到式

18、（）代到式（A）得）得（B）第59页/共77页1 1、矢量场的环量矢量场沿闭合曲线积分称为环量。环量：四、矢量的环量和旋度四、矢量的环量和旋度 斯托克斯公式斯托克斯公式60第60页/共77页61设想将闭合曲线缩小到其内某设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线一点附近，那么以闭合曲线L L为为界的面积界的面积 逐渐缩小，逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作两者的比值有一极限值，记作即单位面积平均环流的极限。即单位面积平均环流的极限。第61页/共77页单位面积的环量，面积元取向不同，环量的面密度不同！62第62页/共77页63它与闭合

19、曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向线为界的面积法线方向 ，且通常，且通常L L的正方向与的正方向与 规定要构成右手螺旋法则，为此定义规定要构成右手螺旋法则，为此定义最大的环量面密度矢量最大的环量面密度矢量第63页/共77页64积分环路投影到积分环路投影到yz平面平面第64页/共77页矢量场的旋度可表示为矢量微分算子与矢叉乘：65第65页/共77页上面二式很相似。将矢量 用 代换！将 分别用 代换！66第66页/共77页矢量场的旋度可表示为矢量微分算子与矢叉乘：67第67页/共77页其中，为标量场，为矢量场。旋度的运算公式旋度的运

20、算公式68第68页/共77页69拉普拉斯算符（算子）：拉普拉斯算符（算子）：第69页/共77页斯托克斯定理（Stokes Theorem）矢量场A的旋度沿曲面S法向分量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。70第70页/共77页将面积将面积S S分成分成 n n个小的面积元。由旋度的定义得任意个小的面积元。由旋度的定义得任意第第i i个面积元个面积元 的环量为的环量为通过通过n个面积元的环量和为个面积元的环量和为（A）第71页/共77页因为因为任意两个相邻面积元的公共界线的任意两个相邻面积元的公共界线的线积分抵消！线积分抵消！所以所以将式（将式（B）代到式（）代到式（A）得）得（B）第72页/共77页解：电场为例3 点电荷的电场 ，求电场旋度。点电荷的静电场是无旋场。电场旋度：第73页/共77页五、关于散度和旋度的一些定理五、关于散度和旋度的一些定理（1）标量场的梯度必为无旋场）标量场的梯度必为无旋场74令令同理可证其他分量也为同理可证其他分量也为0 0，因此，因此第74页/共77页（2）矢量场的旋度必为无源场）矢量场的旋度必为无源场75第75页/共77页（3）无旋场必可表示为标量场的梯度）无旋场必可表示为标量场的梯度（4）无源场必可表示为另一矢量的旋度）无源场必可表示为另一矢量的旋度76第76页/共77页77感谢您的观看！第77页/共77页