理学第一张行列式.pptx

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1、2023/3/261线性代数的主要研究内容：1.线性方程组求解；2.求二次型的最简型。主要研究工具：1.行列式；2.矩阵；3.向量。第1页/共66页2023/3/262线性代数的主要特点：1.概念多；2.符号多；3.运算法则多.一.二.内容纵横交错，前后联系紧密;环环相扣，相互渗透;对抽象性和逻辑性有较高要求.三.第2页/共66页2023/3/263已知二元线性（一次）方程组 第一章 行列式一、行列式概念的引入元用消元法求解第3页/共66页2023/3/264方程组的解为观察上式不难发现：解的分子、分母形式十分相似，为方便记忆，引入行列式的概念。第4页/共66页2023/3/265定义定义即第

2、5页/共66页2023/3/266主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式第6页/共66页2023/3/267第7页/共66页2023/3/268第8页/共66页2023/3/269已知二元线性方程组可计算出第9页/共66页2023/3/2610则二元线性方程组的解为注意 分母都为原方程组的系数行列式.第10页/共66页2023/3/2611例例1 1解第11页/共66页2023/3/2612已知三元线性方程组用消元法求解可得到类似的结果只不过，这里要引入三阶行列式的概念第12页/共66页2023/3/2613二、三阶行列式定义定义记记（6）式称为数表（5）所

3、确定的三阶行列式三阶行列式.第13页/共66页2023/3/2614注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式三阶行列式的计算_对角线法则对角线法则第14页/共66页2023/3/2615 如果三元线性方程组的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 2.三阶行列式包括3!项;每项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积;其中三项为正,三项为负.第15页/共66页2023/3/2616若记或第16页/共66页2023/3/2617同理得第17页/共66页2023/3/2618则三元线性方程组的解为:第18页/共66页2023/3/2

4、619例例 解解按对角线法则，有第19页/共66页2023/3/2620例例3 3解解方程左端第20页/共66页2023/3/2621例4 解线性方程组解解由于方程组的系数行列式第21页/共66页2023/3/2622同理可得故方程组的解为:第22页/共66页2023/3/2623 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算三、小结第23页/共66页2023/3/2624思考题第24页/共66页2023/3/2625思考题解答解设所求的二次多项式为由题意得得一个关于未知数 的线性方程组,即：第25页/共66页2023/3/2626故所求多项式为第26页/

5、共66页2023/3/2627第二节 全排列及逆序数 线性方程组的未知数往往不止两个、三个，为了研究 n 元线性方程组的求解问题，需将二阶、三阶行列式的概念进行推广，因此先研究排列和它的性质。第27页/共66页2023/3/2628一、全排列概念引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解1 2 3123百位3种放法十位1 231个位1 2 32种放法1种放法种放法.共有第28页/共66页2023/3/2629二、全排列及其逆序数问题定义1把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.由引例同理第29页/共66页20

6、23/3/2630 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.例如 排列32514 中，定义2我们规定n 个自然数 1,2,n 按由小到大次序排列称为自然次序、标准次序或顺序.排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序第30页/共66页2023/3/2631定义3 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如 排列32514 中，3 2 5 1 4逆序数为31故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.第31页/共66页2023/3/2632计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在 1,2,n-1 前面比它大的数的个数即分别算出1,2,n-1 这n个元素的逆序数，这n-1个元素的逆序数

7、的总和即为所求排列的逆序数.定义4 逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性第32页/共66页2023/3/2633从排列第二个元素起，分别计算出它前面比它大的元素个数，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法2例1 求排列32514的逆序数.解在排列32514中,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;第33页/共66页2023/3/26343 2 5 1 4于是排列32514的逆序数为5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;第34页/共6

8、6页2023/3/2635例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.第35页/共66页2023/3/2636解当 时为偶排列；当 时为奇排列.第36页/共66页2023/3/2637解当 为偶数时，排列为偶排列，当 为奇数时，排列为奇排列.第37页/共66页2023/3/2638定义5一个排列中交换某两个元素的位置，其他元素不变称为排列的对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换例如第38页/共66页2023/3/2639定理1对换改变排列的奇偶性证明:设排列为对换 与除 外，其它元素的逆序数不改变.21354 21345 12345第39页/共66页2023/3/2640当

9、 时，的逆序数不变;经对换后 的逆序数增加1,经对换后 的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当 时，现来对换 与第40页/共66页2023/3/2641次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.第41页/共66页2023/3/2642定理2 所有的n级排列中，奇偶排列各半，均为 n!/2.定理3 任意n级排列，均可经一系列对换变成自然排列，且所做对换次数与原排列有相同的奇偶性。第42页/共66页2023/3/26432 排列具有奇偶性，且奇偶排列个数相等.3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.1 个不同的元素的所有排

10、列个数为三、小结第43页/共66页2023/3/2644思考题分别用两种方法求排列16352487的逆序数.第44页/共66页2023/3/2645思考题解答解用方法11 6 3 5 2 4 8 7 用方法2由前向后求每个数的逆序数.第45页/共66页2023/3/2646第三节 n 阶行列式的定义第46页/共66页2023/3/2647一、概念的引入说明（1）三阶行列式共有 项，即 项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行、不同列 的三个元素的下标排列的奇偶性第47页/共66页2023/3/2648例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列

11、第48页/共66页2023/3/2649二、n阶行列式的定义定义第49页/共66页2023/3/2650第50页/共66页2023/3/2651说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的，它的实质是一 元的函数；2、阶行列式是 项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;4、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为第51页/共66页2023/3/2652例1计算副对角行列式分析展开式中项的一般形式是否则这个项为零，所以 只能等于 ,同理可得解第52页/共66页2023/3/2653即行列式中不为零的项为例2 计

12、算上三角行列式第53页/共66页2023/3/2654分析展开式中项的一般形式是乘积不为零等于解所以只有当第54页/共66页2023/3/2655例3第55页/共66页2023/3/2656同理可得下三角行列式第56页/共66页2023/3/2657例4 证明对角行列式第57页/共66页2023/3/2658证明第一式是显然的,下面证第二式.若记则依行列式定义证毕第58页/共66页2023/3/2659例5设证明证由行列式定义有第59页/共66页2023/3/2660第60页/共66页2023/3/2661由于 所以故第61页/共66页2023/3/26621、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结第62页/共66页2023/3/2663思考题已知第63页/共66页2023/3/2664思考题解答解含 的项有两项,即对应于第64页/共66页2023/3/2665第65页/共66页2023/3/2666感谢您的观看！第66页/共66页