振动与波动振动幻灯片.ppt

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1、振动与波动振动第1页，共32页，编辑于2022年，星期六第一章 振动1.1 简谐振动 任何物理量随时间做周期性变化都叫做振动。例如，位矢、电流、电压、电场、磁场、密度等。物体在某位置附近来回运动叫机械振动。物理量按余(正)弦规律随时间变化,叫简谐振动。一、弹簧振子的运动特征：Ox xkmF弹性力牛二律 最简单的振动是简谐振动，任何振动都可由简谐振动合成得到。第2页，共32页，编辑于2022年，星期六加速度得此即简谐振动微分方程其解为为简谐振动运动函数，其中 A,为待定系数。此微分方程可用来判断简谐振动。式中速度2xtO-A-A第3页，共32页，编辑于2022年，星期六二、特征量：1.振幅 A：

2、表征振动的强度。2.角频率：表征振动的快慢。单位 rad/s 或 s-1。T 为周期，单位为 sv 为频率，单位为 s-1 或 Hz3.初相：t=0 时刻的相位。相位指 t+。说明1.角频率 是弹簧振子的固有物理特征，称为固有角 频率。2.振幅 A，初相 决定于初始时刻的选择，具有任意 性，因此不是弹簧振子的固有物理特征。振幅 A 决 定于振动的能量(E=kA2/2=m2A2/2)。第4页，共32页，编辑于2022年，星期六三、确定特征量的方法：1.2.A,由初始条件确定，或由任意时刻的位移、速度 确定。已知 t=0 时，x=x0,v=v0，得到所以利用第二个公式求 得出两个值，而利用两个公式

3、则求出唯一正确的值。第5页，共32页，编辑于2022年，星期六例1 证明如图所示系统做简谐振动，并求角频率。Oxm2gkm1m2MT3T3T2T1T2解：以弹簧固有长度的端点为坐标原点，向右为正建立一维坐标系。受力分析。由牛二律和转动定律得还有得令得标准形式简谐 振动微分方程第6页，共32页，编辑于2022年，星期六例2 水平弹簧振子，弹簧倔强系数 k=24N/m，重物质量 m=6kg，重物静止在平衡位置。设以一水平恒力 F=10N 向左作用于物体(不计摩擦),使之由平衡位置向左运动了 0.05m，此时撤去力 F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。解：设物体的运动方程为 x

4、=Acos(t+)恒外力所做的功等于弹簧获得的机械能，当物体运动到最左端时，这些能量全部转化为弹簧的弹性势能mkFxA s O第7页，共32页，编辑于2022年，星期六角频率物体运动到 A 位置时计时，Acos=A，初相 =所以物体的运动方程为 x=0.204cos(2 t+)(m)mkFxA s O思考：物体运动到 s 位置时计时，情况怎样?第8页，共32页，编辑于2022年，星期六四、利用旋转矢量表示简谐振动：tAOxxA-A圆周的半径 振幅 A旋转角速度 角频率 旋转矢量与 x 方向的夹角 相位 t+2相位用来比较振动的步调：t=0t123123质点 2 振动落后于质点 1 振动质点 3

5、 振动超前于质点 1 振动 质点简谐振动可表示为质点匀速圆周运动在某方向 (此处为 x 方向)上的投影。tO第9页，共32页，编辑于2022年，星期六OxtAt=0tOtxA-Av 超前 x 相位 /2a 超前 v 相位 /2a 超前 x 相位 ，或 a 与 x 反相xavT第10页，共32页，编辑于2022年，星期六例2 如图所示简谐振动，已知周期 T，求(1)初相；(2)a,b 两点相位；(3)从 t=0 开始到 a,b 两点的时间。xA/2TOtAabxab-/3解：(1)(2)a 点相位b 点相位(3)已求出 和，解得 ta=T/6,tb=5T/12第11页，共32页，编辑于2022年

6、，星期六五、其它简谐振动实例：1.单摆：mgft取逆时针方向为角位移 的正向，则小球做圆周运动的切向力为 很小由得这就是单摆的角位移满足的微分方程，因此单摆的摆动是简谐振动。其角频率和周期分别为lT第12页，共32页，编辑于2022年，星期六2.复摆：摆动的刚体叫做复摆。mglO 很小取逆时针方向为角位移 的正向，则复摆受到的对于转轴 O 的重力矩为由转动定律 得这就是复摆的角位移满足的微分方程，因此复摆的摆动是简谐振动。其角频率和周期分别为 ，,用复摆可以测量刚体的转动惯量。C第13页，共32页，编辑于2022年，星期六3.电谐振荡：电容 C 和电感 L 组成的电路中，电容器 电量 q 和电

7、路中电流 i 的振荡。GC+qquCLLKi感生电动势与电容电压满足L+uC=0由L得这也是简谐振动满足的微分方程。其解为第14页，共32页，编辑于2022年，星期六例3 单摆钟摆长 l=0.995m，(1)在某地发现此钟每天快 1 分 30 秒；(2)在另一地发现此钟慢了 2 分 15 秒,问分别如何调整摆长，才能使钟正确？解：不能用 g=9.8m/s2 求标准钟摆长，因为不同地点重力加速度的不同正是造成此钟忽快忽慢的原因。(1)此钟 ，此地标准钟二式相除(不能相减，为什么？)得调长2.07mm(2)此钟 ，此地标准钟调短3.11mm第15页，共32页，编辑于2022年，星期六1.2 简谐振

8、动的能量所以机械能为可见，弹簧振子的总能量不随时间改变(机械能守恒)，而且与振幅的平方成正比。弹簧振子的势能和动能分别为动能与势能的大小都发生振荡，振动周期为 T/2。xEEpEkT2TtOtO第16页，共32页，编辑于2022年，星期六xA-AEkEpOEpx 振子的动能与势能互相转化。振子不能到达|x|A 的区域，因为势能不能超过 E，否则动能将变为负值。势能和动能对时间的平均值第17页，共32页，编辑于2022年，星期六例 (习题1.22)121g 水银装在 U 形管中，管截面积 0.30cm2。证明水银上下振动为简谐振动，并求振动周期。解：水银不适于当成质点，故不适于用牛二律分析。这里

9、用能量法解。以水银面相平时为势能为零的状态，对 y 求导-yyOy所以是简谐振动，机械能=常数第18页，共32页，编辑于2022年，星期六1.3 阻尼振动和受迫振动一、阻尼振动：由于阻力作用而不断损失能量的振动叫阻尼振动。当振子速度较小时，介质阻力为所以振动方程为即固有角频率阻尼系数1.当阻尼较小时，0，振子 以非周期运动回到平衡位置。3.当阻尼使 =0 时，振子刚好 能做非周期运动，回到平衡位 置时间最短。电流表指针止振需要这种阻尼。含电阻电谐振荡：电能逐渐被电阻 消耗而使振荡消失。CRL第20页，共32页，编辑于2022年，星期六二、受迫振动：对阻尼振子施加周期性外力(驱动力)，补充振子损

10、失能量，使振子恢复等幅振动。这种振动称为受迫振动。振动方程为其解为1.包含两个振动，前者逐渐减弱消失，后者为振子达 稳定状态的终解(等幅振动)。2.A 与,0,H 有关,在 0 情 况下 =0 时,A 达极大值(共振)。交流电源驱动的电谐振荡CRL第21页，共32页，编辑于2022年，星期六1.4 简谐振动的合成 两个任意方向、强度的简谐振动都可合成，一般情况比较复杂。下面是 4 种较简单的情形。一、同一直线上同频率简谐振动的合成：k1k2m合运动仍是简谐振动，其中A1A2A12x1x2Ox第22页，共32页，编辑于2022年，星期六1.两分振动同相，即则 A=A1+A2，相互加强；2.两分振

11、动反相，即则 A=|A1-A2|，相互减弱。A1A2A12x1x2Ox讨论3.当相位差 2 1 为其它值时，合振幅 A 界于 A1+A2 和|A1-A2|之间。第23页，共32页，编辑于2022年，星期六例 两振动的运动函数分别为求合振动的运动函数。解：同频同向简谐振动的合成。xA1A2A12应取 ，第24页，共32页，编辑于2022年，星期六 同一直线上 n 个同频率、同振幅、恒定相位差的简 谐振动的合成nxOCRR矢量 的外接圆半径为 R，PMOCP 中OCM 中合振动为第25页，共32页，编辑于2022年，星期六讨论1.若各分振动同相，即nxO则第26页，共32页，编辑于2022年，星期

12、六2.若各分振动相位差 其中 k 不取 n 的整数倍，则各 分振幅矢量构成闭合正多边形，A=0，x=0。例如 n=612345k=/OAna21-134-2nxO第27页，共32页，编辑于2022年，星期六二、同一直线上不同频率简谐振动的合成：两矢量 和 在参考圆中旋转过程中,夹角和合矢量随时间改变，合振动不是简谐振动。为简单起见，设振幅相等，初相相同。所以合振动可以看成是“振幅随时间改变的谐振动”。合振动的振幅矢量仍是匀速圆周运动，但半径周期性变化。当两个分振动的频率都较大而其差较小时，合振动具有特殊的周期性。第28页，共32页，编辑于2022年，星期六x1x2xttt因为 ，所以“振幅的变

13、化”比“相位的变化”慢得多。频率都较大但差别很小的两个同方向振动合成时，合振动忽强忽弱的现象叫做拍。单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频应用准确测频率，用音叉调钢琴第29页，共32页，编辑于2022年，星期六三、相互垂直的同频率振动的合成：消去 t，得质点轨道方程讨论1.两振动同相或反相则轨迹为直线 ，合运动为简谐振动。2.两振动相位差为/2，则 轨迹为椭圆xyA1A2OxyA1A2OxyA1A2xyA1A2OO第30页，共32页，编辑于2022年，星期六3.两振动相位差为/4,3/4，则运动轨迹为椭圆，半长轴和半短轴不在坐标轴上。xyA1A2xyA1A2OOxyA1A2xyA1A2OO21=/4 /4 3/4 3/44.两振动相位差为其他值时，运动轨迹仍为椭圆。第31页，共32页，编辑于2022年，星期六四、相互垂直的不同频率振动的合成：1.如果频率差别很小，则近似看成同频率振动合成，但相差缓慢变化，合运动轨迹按下面顺序变化。2.如果频率差别较大，但有简单的整数比，则合运动 具有稳定闭合轨迹，即李萨如图。该图与矩形框的 x 边和 y 边的切点数的比值等于两方向振动周期比。Tx:Ty=1:22:33:4应用测频率第32页，共32页，编辑于2022年，星期六