理学结构力学一第三龙驭球虚功原理及结构的位移计算.pptx

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1、教学基本要求教学基本要求:掌握结构位移计算的一般公式，并能正确应用掌握结构位移计算的一般公式，并能正确应用于各类静定结构受荷载作用、支座位移、温度变化于各类静定结构受荷载作用、支座位移、温度变化等引起的位移计算。等引起的位移计算。熟练掌握图乘法的推导、应用条件、图乘技巧、熟练掌握图乘法的推导、应用条件、图乘技巧、梁和刚架位移计算的图乘法。梁和刚架位移计算的图乘法。掌握线弹性结构的互等定理掌握线弹性结构的互等定理掌握刚体系虚功原理与变形体虚功原理内容及其掌握刚体系虚功原理与变形体虚功原理内容及其应用条件，掌握刚体虚功原理的应用，掌握广义位移应用条件，掌握刚体虚功原理的应用，掌握广义位移与广义荷载

2、的概念。与广义荷载的概念。了解曲杆和拱的位移计算。了解曲杆和拱的位移计算。第1页/共121页 虚功原理及应用重点：重点：图乘法及应用图乘法及应用第2页/共121页难点：难点：虚功原理的理论解释虚功原理的理论解释 图乘法的图乘技巧图乘法的图乘技巧第3页/共121页1.1.结构的位移结构的位移AFP线位移线位移角位移角位移相对线位移相对线位移CDFP相对角位移相对角位移5.1 5.1 结构位移计算概述结构位移计算概述荷载作用下荷载作用下还有什么原还有什么原因会使结构产因会使结构产生位移生位移?位移：包括线位移，角位移，相对线位移、角位移等称位移：包括线位移，角位移，相对线位移、角位移等称广义位移。

3、广义位移。第4页/共121页引起结构位移的原因：引起结构位移的原因：荷载、温度改变荷载、温度改变 T T、支座移动、支座移动 c c、制造误差、制造误差 等等为什么要计算为什么要计算位移位移?第5页/共121页 2.2.计算位移的目的计算位移的目的 1）刚度要求。如：）刚度要求。如：在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/6001/600 跨度；高层建筑跨度；高层建筑最大位移最大位移 1/10001/1000 高度。最大层间位移高度。最大层间位移 1/8001/800 层高。铁路层高。铁路工程技术规范规定工程技术规范规定:桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最桥梁在竖向活载下，

4、钢板桥梁和钢桁梁最大挠度大挠度 1/700 1/700 和和1/9001/900跨度跨度第6页/共121页 (3)(3)理想联结理想联结 3.3.本章位移计算的假定本章位移计算的假定2)2)超静定要求超静定要求3 3）施工要求）施工要求叠加原理适用叠加原理适用(1)(1)线弹性线弹性(2)(2)小变形小变形线性变形体系线性变形体系 第7页/共121页1 1）一些基本概念：）一些基本概念：实功：实功：实功：实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功广义力在自身所产生的位移上所作的功功：功：功：功：力力力方向位移之总和力方向位移之总和广义力：广义力：广义力：广义力：功的表达式中，与广义位移对应的力功

5、的表达式中，与广义位移对应的力广义功：广义功：广义功：广义功：广义力广义力广义位移之总和广义位移之总和虚功：虚功：虚功：虚功：广义力在对应广义位移但无关时所作的功广义力在对应广义位移但无关时所作的功W=FW=FP1P111 11 ororW=FW=FP2P22222W=FW=FP1P11212ororW=FW=FP2P22121W=FW=FP P力力F FP P功功5.2 5.2 虚功原理（理论难点）虚功原理（理论难点）1.1.刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理 第8页/共121页一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功 W=P W=P P-P-广义力广义力;-广义位移广义位移例例:1):1)作

6、虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力2)2)作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶第9页/共121页3 3 3 3)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶反向的集中力偶4)4)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力反向的集中力第10页/共121页虚功虚功:虚功虚功:第11页/共121页虚功虚功P:P:广义力广义力:广义位移广义位移第12页/共121页两种状态两种状态力状态力状态位移状态位移状态FPFP/2FP/2力状态力状态位移状态位移状态q总结虚功的两种状态：总结虚功的两种状态：第13页/共121页注意：两种状态注意：两种状态

7、（3 3）位移状态与力状态）位移状态与力状态相互独立、完全无关；但相相互独立、完全无关；但相互对应互对应（2 2）均为可能状态。即位移应满足）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件变形协调条件（变（变形与位移协调形与位移协调:位移连续、杆件变形后不断开、位移连续、杆件变形后不断开、不重叠。）；力状态应满足不重叠。）；力状态应满足平衡条件平衡条件。（1 1）属）属同一同一体系；体系；第14页/共121页2 2）刚体体系的虚功原理）刚体体系的虚功原理力状态力状态lq力状态力状态位移状态位移状态位移状态位移状态外力虚功外力虚功外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功内力虚功内力虚功Wi=0Wi=0 xdxx

8、dxqlql2/2ql/2ql/2第15页/共121页 按按由由特特殊殊到到一一般般的的推推理理方方法法，我我们们可可以以总总结结出出刚刚体体体体系系的的虚功原理：虚功原理：在具有在具有理想约束理想约束的刚体体系上，如果力状态下的力系能满的刚体体系上，如果力状态下的力系能满足足平衡条件平衡条件，位移状态的刚体位移能与约束，位移状态的刚体位移能与约束几何相容几何相容（位移（位移与约束相对应，位移是连续的杆件变形后不断开、不重叠），与约束相对应，位移是连续的杆件变形后不断开、不重叠），则外力虚功为零。则外力虚功为零。特特别别说说明明：对对于于刚刚体体，力力状状态态下下有有内内力力，但但因因位位移移

9、状状态态下下没没有有对对应应位位移移，故故内内力力虚虚功功为为零零，因因此此对对于于刚刚体体的的虚虚功功原原理理也也可以这样理解：可以这样理解：外力虚功等于内力虚功都等于零。外力虚功等于内力虚功都等于零。或或：设设体体系系上上作作用用任任意意的的平平衡衡力力系系，又又设设体体系系发发生生符符合合约约束条件的无限小刚体位移，平衡力系在位移上所作的虚功为零。束条件的无限小刚体位移，平衡力系在位移上所作的虚功为零。第16页/共121页3)3)刚体虚功原理的两种应用刚体虚功原理的两种应用 既然虚功原理中的平衡力系与可能的位移无关，因此既然虚功原理中的平衡力系与可能的位移无关，因此不仅可以把位移看作是虚

10、设的，而且也可以把力看作是虚不仅可以把位移看作是虚设的，而且也可以把力看作是虚设的，根据虚设对象的不同，刚体虚功原理主要有设的，根据虚设对象的不同，刚体虚功原理主要有两种两种应应用形式。用形式。第17页/共121页（1 1）虚虚功功原原理理用用于于实实际际已已知知的的平平衡衡力力状状态态与与虚虚设设的的协协调调位位移移状状态态之之间间虚虚设设位位移移状状态态求求已已知知力力状状态态的的未未知力知力虚位移原理虚位移原理.建立力状态建立力状态 力状态力状态.建立虚设的位移状态建立虚设的位移状态 位移状态利用虚功原理求解利用虚功原理求解 单位位移状态单位位移状态 第一种应用：第一种应用：第18页/共

11、121页单位位移法单位位移法(1)(1)把上式变形即为平衡方程式，实质上是实际受力状把上式变形即为平衡方程式，实质上是实际受力状态的平衡方程，即态的平衡方程，即几点说明：几点说明：(3)(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(2)(2)所求力与虚设位移的大小无关所求力与虚设位移的大小无关,故可设单位位移故可设单位位移特点特点:用几何法来解静力平衡问题。用几何法来解静力平衡问题。刚体虚位移原理：刚体虚位移原理：已知刚体的力状态，虚设位移状态求未知力。已知刚体的力状态，虚设位移状态求未知力。第19页/共121页例例 求图示多跨梁求图示多跨梁B的支

12、座反力、的支座反力、E截面的弯截面的弯矩矩BEACD11/23/4虚设的位移状态虚设的位移状态2a2a2aaaBEACDFP2FP力状态力状态BEACDFBYFP2FP第20页/共121页BEACDMEFP2FP力状态力状态BACDE1aa/2虚设位移状态虚设位移状态第21页/共121页如右图，已知支座如右图，已知支座A A向上移向上移动一个已知位移动一个已知位移 ,现求现求c c点点 竖向位移竖向位移FP位移状态位移状态力状态力状态 单位力状态单位力状态 .利用已知的位移状态利用已知的位移状态 .建立虚设的力状态建立虚设的力状态 建立虚功方程求解建立虚功方程求解 第二种应用：第二种应用：第2

13、2页/共121页(2)(2)虚功原理用于实际的协调位移状态与虚设的平衡力状态虚功原理用于实际的协调位移状态与虚设的平衡力状态之间之间虚设力状态求已知位移状态下的位移虚设力状态求已知位移状态下的位移虚力原理虚力原理第23页/共121页几点说明：几点说明：(1)(1)所建立的虚功方程所建立的虚功方程,实质上是几何方程，是把几何问题转实质上是几何方程，是把几何问题转化为平衡问题。化为平衡问题。特点特点:是用静力平衡法来解几何问题。是用静力平衡法来解几何问题。(2)(2)因求出的位移与所设力的大小无关，为了计算的方便，故因求出的位移与所设力的大小无关，为了计算的方便，故 可设单位广义力可设单位广义力

14、P=1P=1，称为：，称为：单位荷载法单位荷载法(3)(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。刚体的虚力原理刚体的虚力原理已知刚体的位移状态，虚设力状态求未知位移已知刚体的位移状态，虚设力状态求未知位移第24页/共121页例题例题（1）C点的竖向位移点的竖向位移（2）杆）杆CD的转角的转角ABCDABCD1ABCD1已知位移已知位移求求:所得正号表明位所得正号表明位移方向与假设的单移方向与假设的单位力方向一致。位力方向一致。第25页/共121页求求解解步步骤骤（1 1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力

15、；（3 3）解方程得）解方程得定出方向。定出方向。（2 2）建立虚功方程）建立虚功方程第26页/共121页2.2.变形体的虚功原理变形体的虚功原理 根据刚体的虚功原理，按照从特殊到一般的推理原则，总结根据刚体的虚功原理，按照从特殊到一般的推理原则，总结得出变形体的虚功原理：得出变形体的虚功原理：在在具具有有理理想想约约束束的的变变形形体体系系上上，若若力力状状态态的的力力系系满满足足平平衡衡条条件件（整整体体平平衡衡、局局部部平平衡衡），位位移移状状态态下下的的位位移移满满足足变变形形协协调调条条件件（包包括括变变形形与与应应变变的的协协调调：轴轴向向应应变变对对应应轴轴向向线线位位移移、剪剪

16、应应变变对对应应横横向向位位移移、弯弯曲曲应应变变也也就就是是曲曲率率对对应应角角位位移移；位位移移与与约约束束的的几几何何相相容容：位位移移连连续续、杆杆件件变变形形后后不不断断开开、不不重重叠叠，约约束束和和位位移移是是相相对对应应的的），则则外外力力在在位位移移上上所所作作的的虚虚功功恒恒等等于于各个微段的内力在相应变形上所作的内虚功。即：各个微段的内力在相应变形上所作的内虚功。即：第27页/共121页1 1）单根变形直杆虚功方程的建立）单根变形直杆虚功方程的建立 力状态力状态位移状态位移状态整体平衡、局部平衡整体平衡、局部平衡变形协调变形协调第28页/共121页 根据微段根据微段d d

17、x x的三类变形，可求得微段两端截面的三种相对位移的三类变形，可求得微段两端截面的三种相对位移 ：微段微段d dx x局部变形包括三部分：局部变形包括三部分：平均剪应变：平均剪应变：轴线曲率：轴线曲率：相对轴向位移：相对轴向位移：相对剪切位移：相对剪切位移：相对转角位移：相对转角位移：相对位移相对位移是描述微段变形的三个基本是描述微段变形的三个基本参数。参数。轴轴线线伸伸长长应应变变：第29页/共121页建建立立虚虚功功方方程程外力虚功：外力虚功：内力虚功：内力虚功：微段上的内力虚功：微段上的内力虚功：整个变形体的内力虚功为：整个变形体的内力虚功为：单根变形直杆的虚功方程：单根变形直杆的虚功方

18、程：第30页/共121页 注意注意 ：P P 为广义力：包括杆端力、杆件受的均布荷载、为广义力：包括杆端力、杆件受的均布荷载、集中荷载、约束反力等。集中荷载、约束反力等。也是广义位移，包括角位移、线也是广义位移，包括角位移、线位移等。位移等。2 2）杆系结构虚功方程的建立）杆系结构虚功方程的建立第31页/共121页变形体虚功原理的注意点：变形体虚功原理的注意点：.虚功方程实际上是平衡方程和协调方程的总和，反过来虚功虚功方程实际上是平衡方程和协调方程的总和，反过来虚功方程既可以用来代替平衡方程也可以用来代替几何方程。方程既可以用来代替平衡方程也可以用来代替几何方程。.以上结论与材料物理性质及具体

19、结构无关，因此，虚功原理以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性、非线性、静定、超静定结构。虚功方程既适用于一切线性、非线性、静定、超静定结构。虚功原理里存在两个状态：虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是条件。因此原理仅是必要性命题必要性命题。.刚体的虚功原理是变形体虚功方程的特殊形式刚体的虚功原理是变形体虚功方程的特殊形式 第32页/共121页3 3）变形体虚功方程的应用）变形体虚功方程的应用虚力原理虚力原理虚位移原理虚位移原理第33页/共121页 将虚功原理用于

20、实际协调位移和虚设平衡力状态间已介将虚功原理用于实际协调位移和虚设平衡力状态间已介绍过绍过单位荷载法。单位荷载法。下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计算的一般公下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为式。杆系结构虚功方程为:5.3 5.3 计算结构位移的一般公式计算结构位移的一般公式 单位荷载法单位荷载法 第34页/共121页设待求的实际广义设待求的实际广义位移为位移为,与与对应的广义力为对应的广义力为P P。设仅在广义力设仅在广义力P=1P=1作用下，任意横截面上与之对应的轴作用下，任意横截面上与之对应的轴力、剪力和弯矩分别为力、剪力和弯矩分别为F FN N、

21、F FQ Q、和、和M M。又设与内力又设与内力F FN N、F FQ Q 和和 M M 对应的微段实际变形分别对应的微段实际变形分别为为 、和和第35页/共121页实际位移状态实际位移状态虚设的力状态虚设的力状态FN、FQ、Mds第36页/共121页 则杆系结构虚功方程为则杆系结构虚功方程为:则杆系结构虚功方程改写为：则杆系结构虚功方程改写为：位移计算的一般公式位移计算的一般公式 第37页/共121页一般公式的普遍性表现在：一般公式的普遍性表现在：2.2.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定 结构；结构；1.1.位移原因：荷

22、载、温度改变、支座移动等；位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3.3.材料性质：线性、非线性；材料性质：线性、非线性；4.4.变形类型：弯曲变形、拉变形类型：弯曲变形、拉(压压)变形、剪切变形；变形、剪切变形；5.5.位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。第38页/共121页BA(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。A(a)P=1P=1P=1第39页/共121页ABCd(c)ABC(d)第40页/共121页AB(e)C(f)左右=？P=1P=1P=1P=1第41页/共121页(g)A(h)A

23、BP=1P=1P=1第42页/共121页仅在荷载作用时的位移计算一般公式仅在荷载作用时的位移计算一般公式对于由对于由线弹性直杆线弹性直杆组成的结构，有：组成的结构，有：5.45.4静定结构在荷载作用下的位移计静定结构在荷载作用下的位移计算算第43页/共121页式中：E E 弹性模量；弹性模量；G G 剪切模量；剪切模量；A A 横截面积；横截面积；I I 截面惯性矩；截面惯性矩；k k 截面形状系数。如：对矩形截面截面形状系数。如：对矩形截面k=k=6/5;6/5;圆形截面圆形截面k k=10/9=10/9。轴向轴向剪切剪切弯曲弯曲公式的适用范围：只适用于线弹性结构。公式的适用范围：只适用于线

24、弹性结构。这些公式的适这些公式的适用条件是什么用条件是什么?第44页/共121页内力的正负号规定如下：内力的正负号规定如下：轴力轴力 以拉力为正；以拉力为正；剪力剪力 使微段顺时针转动者为正；使微段顺时针转动者为正；弯矩弯矩 只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。受拉时，其乘积取为正。第45页/共121页例例 ：求刚架：求刚架A A点的竖向位移。点的竖向位移。解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态（实际位移状态）（实际位移状态）分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内力图），如：出内力

25、图），如：（虚拟力状态）（虚拟力状态）第46页/共121页qxxqlql荷载内力图荷载内力图xxlx11单位内力图单位内力图x第47页/共121页将内力方程代入公式：将内力方程代入公式：讨论：讨论：轴向轴向剪切剪切弯曲弯曲 引入符号引入符号第48页/共121页问题：问题：的取值范围是什么？的取值范围是什么？设杆件设杆件截面截面为为 b b h h 的矩形截面杆，有：的矩形截面杆，有：第49页/共121页因此因此,对受弯细长杆件对受弯细长杆件,通常略去通常略去F FN N,F FQ Q的影响。的影响。取：取：，有：有：即：即：第50页/共121页几点讨论（只有荷载作用）：几点讨论（只有荷载作用）

26、：一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。1.1.对梁和刚架：对梁和刚架：2.2.对桁架：对桁架：3.3.对组合结构：对组合结构：第51页/共121页已知：各杆已知：各杆EA相同，相同，求：求：ABCDFPaaABCDABCD第52页/共121页求求DVDVFPFPFP4m3=12m3mABDC5FP8FP5/34/3000000000013FPFP=1第53页/共121页已知：已知：EI为常数。求：为常数。求：x解：解：qlA已知位移状态虚设力状态第54页/共121页例例 ：求曲梁：求曲梁B B点的竖向位移点的竖向位移 和水和水 平位移平位移 。(

27、EIEI、EAEA、GAGA已知已知)ROBAFP解：构造虚设的力状态如图示解：构造虚设的力状态如图示FPRFP=1RFP=1R第55页/共121页同理有：同理有：将内力方程代入位移计算公式将内力方程代入位移计算公式,可得：可得：三铰拱的分析同此类似，但一般要考虑轴力对位三铰拱的分析同此类似，但一般要考虑轴力对位移的贡献，也即移的贡献，也即第56页/共121页已有基础：已有基础：1.1.静定结构的内力计算；静定结构的内力计算；2.2.杆件结构在荷载作用下的位移计算公式杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即即:5.5 5.5 图乘法及其应图乘法及其应用用 第57页/共121页这一节主要内容：这一

28、节主要内容：2.2.几种常见图形的面积和形心位置；几种常见图形的面积和形心位置；3.3.图乘法注意事项；图乘法注意事项；4.4.应用举例。应用举例。1.1.图乘法；图乘法；第58页/共121页 在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下,不方便不方便.下面介绍梁和下面介绍梁和刚架在荷刚架在荷载作用下计算位移的图乘法载作用下计算位移的图乘法.刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为：第59页/共121页(对于等截面杆对于等截面杆)(对于直杆对于直杆)图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为:图乘法是图乘法是VereshaginVereshagin于于19251925年提出的，他当时年提出的，

29、他当时为莫斯科铁路运输学院为莫斯科铁路运输学院的学生。的学生。1.1.图乘法的推证图乘法的推证第60页/共121页(a+l)/3(b+l)/3=hlhl/2/2labhl/2l/2h二次抛物线二次抛物线=2=2hlhl/3/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线二次抛物线=hlhl/3/3二次抛物线二次抛物线=2=2hlhl/3/34l/5l/5hh三次抛物线三次抛物线=hlhl/4/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn n次抛物线次抛物线=hlhl/(n+1)/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点2.2.几种常见图形的面积和形心的位几种常见图形的面积和形心的位置：

30、置：顶点指曲线切线与顶点指曲线切线与杆轴重合或平行杆轴重合或平行图乘法的图乘法的适用条件是适用条件是什么什么?第61页/共121页1)1)图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1 1）等截面直杆，）等截面直杆，EIEI为常数；为常数；（2 2）两个）两个M M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3 3）应取自直线图中。应取自直线图中。2)2)若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧，取正值；反之，取正值；反之，取负值。取负值。4)4)图乘时注意应用图乘技巧图乘时注意应用图乘技巧3.3.公式应用注意事项：公式应用注意事项：3)3)表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。表示对各杆和各杆段分别图乘再

31、相加。复杂图形，可分解为简单图形图乘复杂图形，可分解为简单图形图乘.第62页/共121页a a）直线形乘直线形）直线形乘直线形l/3l/3l/312y1y2()bcadbdacl+=226dc+323bl+2dc+332al=2 各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。基线同侧乘积取正，否则取负。S=9/6（262+243+63+42）=111（1）32649yydxMMP+=2211wwabdcl第63页/共121页S=9/6（262+203+6302）=9S=9/6（262243+6342）=15S=9/6

32、（262+2436342）=332364（3）9（2）32649（4）2369第64页/共121页labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS+=b)b)非非标准抛物线乘直线形标准抛物线乘直线形第65页/共121页c)c)阶梯形截面杆阶梯形截面杆第66页/共121页ql2/2MPFP=1lqAB例：求梁例：求梁B B点竖向线位移。点竖向线位移。3l/4l第67页/共121页FPFPaaa例：求图示梁中点的挠度。例：求图示梁中点的挠度。FPaFPaMP3a/4a/2a/2？FP=1第68页/共121页FPl/2l/2C例：求图示梁例：求图示梁C C点的挠度。点的挠度。MPF

33、Pll/2l/6l6EIFPl123=FPlEIC212=DEIFPl4853=FPl65llEIyC22210=Dw5Pl/6？取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。CFP=1第69页/共121页例例:设设 EIEI 为常数，求为常数，求 第70页/共121页解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图B BA Aq q图图对吗？对吗？应分段！应分段！应分段！应分段！C CA AB BF FP P=1=1图图第71页/共121页例例 试求图所示结构试求图所示结构C C 点的竖向位移点的竖向位移 。解解 （1 1）作实际状态的）作实

34、际状态的第72页/共121页（2 2）建立虚拟状态，并作）建立虚拟状态，并作 图。图。（3 3）进行图形相乘，求）进行图形相乘，求C C点竖向位移点竖向位移 。1l/2第73页/共121页1l/2y1y2y3第74页/共121页4kN4kN.m 2kN/m12kN.m4m4mEIAB求求B B5kN12844MPkN.m1kN.m第75页/共121页MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2求求B B点的竖向位移。点的竖向位移。EIql256174=lllqlEI25.023232212+-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222+lqlEIlB432831122

35、=DEIqlllqlEIB843231142=DylqlEIB283312102+=DLq？ql2/8l/2？ql2/32y0FP=1第76页/共121页例例:图图示示变变截截面面杆杆AB AB 段段的的弯弯曲曲刚刚度度为为4 4EIEI，BCBC段段的的弯弯曲曲刚刚度为度为EIEI，试求，试求C C点点 的竖向位移的竖向位移 。第77页/共121页解解 绘出实际状态及虚拟状态的绘出实际状态及虚拟状态的 、图。图。y1y2y3y4y57220MP图第78页/共121页第79页/共121页qllEIB1ql2/83ql2/2MPl求求B点竖向位移。点竖向位移。第80页/共121页例例:已知已知

36、EIEI 为常数，求为常数，求 。ABCq解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图第81页/共121页解法一、AqAABC图qABC第82页/共121页解法二、A1图A第83页/共121页例例:求C截面竖向位移MPM第84页/共121页例例:已知已知 EI EI 为常数，求刚架为常数，求刚架A A点的竖向位移点的竖向位移 ，并绘，并绘 出刚架的变形曲线。出刚架的变形曲线。FP第85页/共121页解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图在在 图求面积，在图求面积，在 图取竖标，有：图取竖标，有：图EI2EI图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4

37、FPFPl/4第86页/共121页 绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：注意反弯点的利用。如：图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP第87页/共121页已知已知 EIEI 为常数，求为常数，求A A、B B两点相对水平位移两点相对水平位移lqhqMP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图第88页/共121页已知已知 EIEI 为常数，求铰为常数，求铰C C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqllqMP第

38、89页/共121页11M=1M=1M图图解：解：已知：各杆已知：各杆EI=EI=常数，求常数，求A A、B B两点之间的相对转角。两点之间的相对转角。328MP图图(kNm)8m8m1kNmABCD第90页/共121页lFPlFPl图示结构图示结构 EIEI 为常数，求为常数，求ABAB两点两点(1)(1)相对竖向位相对竖向位移移,(2),(2)相对水平位移相对水平位移,(3),(3)相对转角相对转角 。MP1111对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘,结果为零.11第91页/共121页作变形草图作变形草图F FP PF FP P1 11 1绘制变形图时，应根据弯矩

39、图判断杆件的绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：凹凸方向，注意反弯点的利用。如：第92页/共121页例例:已知：已知：E E、I I、A A为常数，求为常数，求 。A AB BC CF FP Pa aD D第93页/共121页解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图请对计算结果请对计算结果进行适当讨论！进行适当讨论！A AB BC CF FP Pa aD DA AB BC C1 1a aD D第94页/共121页讨论讨论:如果如果B B支座处为刚度支座处为刚度k k的弹簧，该如何计算？的弹簧，该如何计算？ABCkFP=1ABCFPk显然，

40、按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为:因此，弹簧对位移的贡献为因此，弹簧对位移的贡献为:。由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为:F FN N和弹簧的位移方向相同为正，反之为负和弹簧的位移方向相同为正，反之为负第95页/共121页解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。lllMP第96页/共121页解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求A A点竖向位移点竖向位移,EI=,EI=常数常数 。MPl ll ll lA Ak kk

41、第97页/共121页两个悬臂刚架，在悬臂端插入一个长度为两个悬臂刚架，在悬臂端插入一个长度为e e的垫块，问需要的垫块，问需要多大的两个力。多大的两个力。aaa解：解：已知位移求荷载已知位移求荷载其它其它eEIaFPFPPaPaFPFP第98页/共121页一般公式一般公式5.6 5.6 静定结构由于温度变化、支座静定结构由于温度变化、支座位位 移引起的位移计算移引起的位移计算 1.1.由于温度改变引起的位移计算由于温度改变引起的位移计算荷载位移公式荷载位移公式温度位移公式温度位移公式第99页/共121页为了推导公式的方便，特作一下假设：为了推导公式的方便，特作一下假设：1 1）温）温 度沿杆长

42、不变度沿杆长不变 2 2）温度沿杆截面高度）温度沿杆截面高度h h为直线变化为直线变化 3 3）温度变化的前、后杆截面仍保持平面）温度变化的前、后杆截面仍保持平面 4 4）以杆轴线处的变形代表整个杆件的变形。）以杆轴线处的变形代表整个杆件的变形。第100页/共121页 图示结构，设外侧温度升高图示结构，设外侧温度升高 ，内侧温度升高，内侧温度升高 ，求，求K K点的竖向位移点的竖向位移 。杆轴温度杆轴温度 :线膨胀系数对称截面对称截面上、下边缘的温差上、下边缘的温差 为：为：第101页/共121页线线膨膨胀胀系系数数 另外，温度变化时，杆件不引起剪应变，微段轴向伸长和另外，温度变化时，杆件不引

43、起剪应变，微段轴向伸长和截面转角为：截面转角为：第102页/共121页FNFNFP=1第103页/共121页 图面积图面积对等截面直杆对等截面直杆 图面积图面积将温度引起的变形代入公式，可得将温度引起的变形代入公式，可得:沿杆长温度不变沿杆长温度不变第104页/共121页上式中的正、负号：原则：上式中的正、负号：原则：变形一致为正，反之为负。变形一致为正，反之为负。1 1由由温度引起温度引起的的弯曲变形弯曲变形与由与由单位力引起的弯曲变形单位力引起的弯曲变形一一致，取致，取“正正”号。即号。即 和和 使杆件的同一边产生拉伸变使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正。形，其乘积为正。2 2由温度引

44、起的轴向变形与由单位力引起的轴变变形一由温度引起的轴向变形与由单位力引起的轴变变形一 致，取致，取“正正”号。即号。即 温度以升高为正，则轴力以拉为正。温度以升高为正，则轴力以拉为正。3 3 其余符号均取绝对值。其余符号均取绝对值。注意：注意：一侧温度为一侧温度为t t1 1;另一侧另一侧 温度为温度为t t2 2第105页/共121页对梁和刚架：对梁和刚架：对对 桁桁 架：架：几种情况：几种情况：温度引起的轴向温度引起的轴向变形影响不能少。变形影响不能少。第106页/共121页实际状态实际状态解：构造虚拟状态解：构造虚拟状态虚拟状态虚拟状态例：例：刚架施工时温度为刚架施工时温度为20 20

45、，试求冬季外侧温度为，试求冬季外侧温度为 -10 10 ，内侧温度为，内侧温度为 0 0 时时A A点的竖向位移点的竖向位移 。已知。已知 l=4 m,=4 m,各杆均为矩形截面杆，高度各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m=0.4 m第107页/共121页单位荷载内力图为：单位荷载内力图为：图图第108页/共121页例：图示结构温度变化如图。各杆截面相同为例：图示结构温度变化如图。各杆截面相同为h，且对称于形心。，且对称于形心。求：求：E点的水平位移。点的水平位移。解：解：M图图l-200C200C100C-200ClllE-200C-200C1FN图图1附属部分：附属部分：基本部分：基本

46、部分：第109页/共121页M M图图l1 1F FN N图图1 1附属部分：附属部分：基本部分：基本部分：-20-200 0C C20200 0C C10100 0C C-20-200 0C ClllE E-20-200 0C C-20-200 0C C第110页/共121页解：构造虚拟状态解：构造虚拟状态F FN N图图例：例：求图示桁架温度改变引起的求图示桁架温度改变引起的ABAB杆转角杆转角.上弦杆杆轴上弦杆杆轴 温度升温度升高高第111页/共121页 2.2.静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座移动时的位移计算 K K实际位移状态实际位移状态虚拟力状态虚拟力状态1 1K K一般公

47、式般公式第112页/共121页 静定结构由于支座移动并不产生静定结构由于支座移动并不产生内力，故杆件不产生变形内力，故杆件不产生变形，只发生只发生刚体位移刚体位移。（该位移也可由几何关系求得）。有。（该位移也可由几何关系求得）。有注意注意:.c.ci i表示实际状态的支座位移。表示实际状态的支座位移。.表示虚设广义力状态下与表示虚设广义力状态下与c ci i对应的的支座反力。对应的的支座反力。两者方向相同为正，反之为负。两者方向相同为正，反之为负。.注意公式的负号。注意公式的负号。第113页/共121页例：求例：求解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态实际位移状态实际位移状态C CB BA Al

48、lC CB BA AF FP P=1虚拟力状态虚拟力状态第114页/共121页解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态()F FAyAyF FAxAx例例 ：已知：已知 l=12 m12 m,h=8 m8 m,，求求第115页/共121页例例 ：求：求实际位移状态实际位移状态C CB BA AllF FP P=1=1解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态同时考虑荷载、温度和支座位移的影响同时考虑荷载、温度和支座位移的影响C CB BA A虚拟力状态虚拟力状态F FP P=1=1第116页/共121页温度温度支座支座问题：试给出多因素下的位移计算一般公式问题：试给出多因素下的位移计算一般公式第117页

49、/共121页小结小结二、虚功原理虚功原理W We e=W=Wi i力：满足平衡力：满足平衡位移：变形连续位移：变形连续虚设位移虚设位移虚位移原理（求未知力）虚位移原理（求未知力）虚功方程等价于平衡条件虚功方程等价于平衡条件虚力原理（求未知位移）虚力原理（求未知位移）虚功方程等价于位移条件虚功方程等价于位移条件虚设力系虚设力系三、=刚架、梁刚架、梁桁架桁架支座移动支座移动组合结构、拱组合结构、拱各项含义各项含义正负号的确定正负号的确定虚设广义单位荷载的方法虚设广义单位荷载的方法一、位移位移第118页/共121页标准图形的面积和形心位置标准图形的面积和形心位置非标准图形乘直线形的处理方法非标准图形乘直线形的处理方法五、互等定理五、互等定理适用条件适用条件内容内容 W W1212=W W2121r r1212=r r2121四、图乘法求位移四、图乘法求位移 图乘法求位移的适用条件图乘法求位移的适用条件y y0 0的取法的取法=DPEIydxEIMM0w2112dd=第119页/共121页第120页/共121页感谢您的观看！第121页/共121页