理论力学质点的振动.pptx

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1、9494质点的强迫振动质点的强迫振动9393质点的衰减振动质点的衰减振动9292质点的自由振动质点的自由振动9191概概述述第九章质点的振动动动 力力 学学目录第1页/共93页9-1 概 述第2页/共93页振动实例振动实例 振动是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动。9-19-1概概述述第3页/共93页 振动振动是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动。线线性性振振动动的的运运动动微微分分方方程程都都是是线线性性的的。实实际际系系统统往往往往要要经经过过近近似似处处理才能化成线性的。理才能化成线性的。在在质质点点受受到到扰扰动动而而脱脱离离其其平平衡衡位位置置后后，会会受受到到一一个

2、个恒恒指指向向这这平平衡衡位位置而促使质点返回的力，这种力称为置而促使质点返回的力，这种力称为恢复力恢复力。几几个个概概念念 当当恢恢复复力力的的大大小小和和质质点点到到平平衡衡位位置置的的距距离离成成正正比比时时，则则称称为为线线性性恢恢复力复力。质质点点振振动动时时还还可可能能受受阻阻力力作作用用，这这里里只只考考虑虑与与速速度度一一次次方方成成正正比比的的线性阻力线性阻力。9-19-1概概述述第4页/共93页9-2 质点的自由振动 第5页/共93页质量一弹簧系统km9-29-2质点的自由振动质点的自由振动 自由振动自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型为下面所示的质量一弹簧

3、系统。第6页/共93页9-2 质点的自由振动 质点受到初始扰动后，将得到初位移和初速度，此后质点在弹簧力维持下的运动，即为自由振动。自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型如图(a)所示的质量一弹簧系统。l0OM(a)(b)xF FMOx第7页/共93页9-2 质点的自由振动一、自由振动的微分方程及其解一、自由振动的微分方程及其解取坐标轴Ox，原点O是质点M的平衡位置。如图（a）所示。当M的坐标是x时，弹簧作用于M的力F的大小表示成因F 恒指向平衡位置O，故它可写成于是，质点M的运动微分方程写成或式中c称为弹簧的刚度系数，简称刚度。l0OM(a)(b)xF FMOx第8页/共93页

4、9-2 质点的自由振动引入参量则上式可写成标准形式这就是在线性恢复力单独作用下，质点受初扰动后的无阻尼自由振动微分方程，它是二阶常系数线性齐次微分方程。其通解为把上式对时间求导数，得第9页/共93页9-2 质点的自由振动当t=0时，质点的初坐标和初速度令t=0且和，就可以确定积分常数和这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是l0OM(a)(b)xF FMOx第10页/共93页9-2 质点的自由振动这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是通常把上二式写成利用三角变换，可以确定第11页/共93页9-2 质点的自由振动可见，质点无阻尼自由振动是简谐振动，其运动如图所示。TAAOtx第

5、12页/共93页9-2 质点的自由振动二、自由振动的基本参数二、自由振动的基本参数（1）振幅和相角由式（a）可见质点相对于振动中心（平衡位置）的最大偏离称为振幅。（0t+）称为相角，而称为初相角。由式（b）可见，振幅和初相角都和运动的初始扰动()有关。（a）（b）TAOtxA第13页/共93页9-2 质点的自由振动（2）周期和频率每重复一次运动状态所需的时间间隔，称为周期，并用T 表示。每隔一个周期T，相角应改变0T=2。因此，周期可以表示成周期一般以s计。周期仅和系统本身的固有参数（质量m与刚度）有关，而和运动的初始条件无关。TAOtxA 周期第14页/共93页9-2 质点的自由振动每2秒内

6、振动的次数称为圆频率，表示为单位时间内振动的次数，称为频率，记作 f。0 只和系统的固有的性质有关，而和运动的初始条件无关系。因此，0称为系统的固有频率或自然频率。频率TAOtxA第15页/共93页9-2 质点的自由振动用s代表当物块在重力G 和弹簧力F0的作用下在平衡位置静止时弹簧所具有的变形，即静变形（如图a）。以平衡位置O作为原点，令轴Ox铅直向下，则当物块在任意位置x时，弹簧力F在轴x上的投影Fx=-k(s+x)（如图b）。（1）显然，由平衡条件G-F0=0有可得物块的运动微分方程MGGF F0 0l0 s（a）MxxOGGF F（b）三、铅直悬挂质量一弹簧系统三、铅直悬挂质量一弹簧系

7、统第16页/共93页9-2 质点的自由振动或其中，可见，M 仍在平衡位置附近作无阻尼自由振动。利用弹簧自由悬挂时的静伸长s，来求出系统的固有频率，有考虑到关系式，上式写成与水平质量一弹簧系统比较，铅直悬挂质量一弹簧系统质点上只有增加了一个常力，这力只引起平衡位置的改变，而不影响振动的规律（如周期、频率、相位）。即MMxxOGGF F第17页/共93页如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kn，圆盘对杆轴的转动惯量为J。9-29-2质点的自由振动质点的自由振动第18页/共93页9-29-2质点的自由振动质点的自由振动第19页/共93页解：圆盘绕杆轴转动微分方程为或振动周期9-29-2质点

8、的自由振动质点的自由振动knO如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kn，圆盘对杆轴的转动惯量为J。第20页/共93页例9-1求单摆(数学摆)的运动规律。Om0l9-29-2质点的自由振动质点的自由振动 例题例题9-19-1第21页/共93页 把单摆看成一个在圆弧上运动的质点 M，设其质量为 m，摆线长 l。又设在任一瞬时质点 M具有速度 v，摆线 OM与铅垂线的夹角是 。通过悬点 O 而垂直于运动平面的固定轴 z 作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理动量矩解：力矩Ov vM0lmgF9-29-2质点的自由振动质点的自由振动 例题例题9-19-1第22页/共93页从而可得化简即得单摆的

9、运动微分方程9-29-2质点的自由振动质点的自由振动动量矩力矩动量矩定理 例题例题9-19-1Ov vM0lmgF第23页/共93页单摆的运动微分方程微小摆动中，值始终很小，可以认为sin ，则考虑初始条件：t=0,。得单摆的运动规律9-29-2质点的自由振动质点的自由振动与幅角和初始条件无关。例题例题9-19-1Ov vM0lmgF第24页/共93页 例9-2利用静变形求并联弹簧和串联弹簧两种情形的直线振动系统的固有频率。k1k2WWk1k2WWk=k1+k2WWWW9-29-2质点的自由振动质点的自由振动 例题例题9-29-2第25页/共93页1.并联情形。固有频率上式说明并联弹簧的等效刚

10、度系数为k1k2WWs解：设弹簧刚度系数分别为k1和k2，在W重力作用下作铅直平动，静变形为s，有9-29-2质点的自由振动质点的自由振动 例题例题 9-29-2skWW选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替并联的两弹簧，使它在相等的变形下，产生与并联的两弹簧相等的恢复力，有第26页/共93页设弹簧刚度系数分别为k1和k2，在W重力作用下，两弹簧的总静变形s等于单个弹簧的静变形之和，有2.串联情形。k1k2WW1 s+2 s由于弹簧是串连的，每个弹簧受的力W相等，于是9-29-2质点的自由振动质点的自由振动 例题例题 9-29-2选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替串联的两弹簧，使它的静变形s等于串联的两弹

11、簧静变形之和1 s+2 s。sWW第27页/共93页固有频率串联弹簧的等效刚度系数为得9-29-2质点的自由振动质点的自由振动 例题例题 9-29-2弹簧串联后的刚度系数减小，柔度系数增大。c1c2WW1 s+2 s sWW第28页/共93页9-29-2质点的自由振动质点的自由振动 例题例题 9-29-2k1Ok21212k1Ok2第29页/共93页mv v提升重物系统中，钢丝绳的横截面积S2.89104 m2，材料的弹性模量E200 GPa。重物的质量m6000 kg，以匀速v0.25 ms1下降。当重物下降到l25 m时，钢丝绳上端突然被卡住，求重物的振动规律。l例例 题题 9-39-3振

12、动例题第30页/共93页钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块系统，弹簧的刚度为mk静平衡位置Ox设钢丝绳被卡住的瞬时t0，这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x作为广义坐标，则系统的振动方程为解：方程的解为例例 题题 9-39-3振动例题第31页/共93页利用初始条件求得mk静平衡位置Ox方程的解为例例 题题 9-39-3振动例题第32页/共93页如图为一摆振系统，杆重不计，球质量为m，摆对轴O的转动惯量为J。弹簧刚度系数为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求此系统微小振动的运动微分方程及振动频率。例例 题题 9-69-6振动例题dlkFmgOm第33页/共93页例例 题题 9-69

13、-6振动例题第34页/共93页解：摆于水平位置处，弹簧已有压缩量0，由平衡方程MO(Fi)=0，有以平衡位置为原点，摆在任一小角度处，弹簧压缩量为0+d。摆绕轴的转动微分方程为将式(a)代入上式，得例例 题题 9-69-6振动例题dlkFmgOm第35页/共93页上式移项，可化为标准形式的无阻尼自由振动微分方程则此摆振系统的固有频率为例例 题题 9-69-6振动例题dlkFmgOm第36页/共93页9-3 质点的衰减振动第37页/共93页9-3 质点的衰减振动本节将讨论质点在有阻尼时的自由振动，但只限于与速度一次方成正比的介质阻力，这种阻力称为线性阻力（或粘滞阻力）。如图示系统在介质里运动中，

14、质点M将受到介质阻力的作用。其中，c称为粘滞阻力系数（以为单位），表示质点在单位速度时，所受的阻力值，其大小与介质和物体的形状等因素有关，可由实验测定。式中负号表示阻力与速度的方向恒相反。MMxxkGGF FdvF FOl0+s在微振动情况下，速度不大，可以认为阻力Fd与速度v 的一次方成正比，即有一、一、质点的衰减振动质点的衰减振动第38页/共93页9-3 质点的衰减振动取物块的平衡位置作为坐标原点O，轴Ox沿直线向下。当物块在位置O时，弹簧拉力F0=ks,与表观重力G（已扣除浮力）相互平衡，即有物块运动时，考虑到，上式简化成代入参量则上式写成质点的运动微分方程写成(称为阻尼系数)MMxxk

15、GGF FdvF FOl0+s（1）第39页/共93页9-3 质点的衰减振动这就是在线线性性恢恢复复力力和和线线性性阻阻力力作作用用下下质质点点运运动动微微分分方方程程的的标标准形式准形式。式中称为阻尼系数。此式是二阶常数线性齐次方程，这个方程具有形式如ezt 的解，把ezt 代入，得到特征方程，即z值与比值/k有关。有三种不同的情形：（1）0 称为大阻尼。特征方程的解为第40页/共93页9-3 质点的衰减振动当 0 时，特征方程具有一对共轭复根引入参量，则式(1)的通解可以写成我们将只讨论小阻尼 0情形。式中，B1和B2是积分常量，由运动的初始条件来决定。(1)特征方程第41页/共93页9-

16、3 质点的衰减振动令B1+B2=C1，i(B1B2)=C2，则上述通解可改写成式中，新的积分常量C1和C2仍可以由运动的初始条件来决定。根据欧拉公式把上式对时间t求导数，得质点速度的一般表达式第42页/共93页9-3 质点的衰减振动从而解得于是，质点的运动方程写成或者通过三角函数的变换，把上式写成运动的初始条件：当t=0时，；将它们代入上式，得到(2)(3)第43页/共93页9-3 质点的衰减振动1.由式(2)或式(3)可以看到，由于小阻尼的影响，物块不再进行振幅不变的简谐运动。式中式中T1A2A1结果分析讨论结果分析讨论(2)(3)第44页/共93页9-3 质点的衰减振动2.因子sin(t+

17、)表明物块仍周期性地通过平衡位置O而交替地向点O的两侧偏离。这样的运动称为衰减振动，但习惯上仍把称为它的周期，而Aet称为它的振幅。与无阻尼自由振动相比较，衰减振动也称为有阻尼自由振动。(3)T1A2A13。因子Aet表示这些偏离的可能最大值，但它是随时间而不断减小的，最后趋近于零。第45页/共93页99-3 质点的衰减振动二、阻尼对周期二、阻尼对周期Td的影响的影响上式可改写成式中，T是无阻尼自由振动周期。T1A2A1因为衰减振动中 0 ，可见，由于小阻尼的存在，使振动的周期Td相对于无阻尼时的周期T 来说有所增长。第46页/共93页9-3 质点的衰减振动例如，当时，可见，当阻尼系数 比0

18、小得多时，阻尼对周期的影响并不显著，在初步计算中甚至可以直接用T 代替Td。1。当 0 时，周 期 Td无 限 地 增 长，(Td),),从而运动失去往复性。T1A2A12。而当 很小时，即 0 时，Td可近似地表示为仅增加0.12 5%.第47页/共93页99-3 质点的衰减振动在任意瞬时t1，振幅是三、阻尼对振幅三、阻尼对振幅Ae-t的影响的影响由于阻尼的存在，振幅Ae-t 随时在减小。为了说明振幅衰减的快慢，可作如下分析时间逐次增加半周期，则瞬时振幅将分别是因此，有比值=常数T1A2A1即，每隔半个周期的振幅按等比级数递减。(3)第48页/共93页99-3 质点的衰减振动减缩率（或对数减

19、缩率）表示每经过半个周期后振幅的衰减程度。由于振幅是按等比级数递减的，即使阻尼很小，振幅的衰减也是迅速的。即，每经过半个周期，振幅就缩减15%。经过10个周期，振幅将变成原来振幅的(0.855)20=0.043，只有原来的4.3%。通过以上讨论可见，小阻尼（0 ）对周期的影响很小，可以忽略不计，而对振幅的影响却是非常显著的。当 0 时，运动将失去往复性。公比称为减缩率。称为对数减缩率。仍以 =0.050 为例，这时减缩率是1.小阻尼(0)情形第49页/共93页cMAB例9-3图示为一种液体减振器装置的简化模型。悬挂在弹簧下端的物块M与圆筒A内的活塞B相固连，简内充满粘性液体。活塞上钻有许多圆孔

20、，当物块M上下振动时，液体从孔中往复流过，给活塞一正比于速度的阻力。设物块连同活塞的质量 m=1 kg，弹簧的刚度系数k=3 920 Nm。已知物块开始运动后经过10个周期，振幅减到初值的1 40。求阻尼系数和阻力系数c。9999-3-3质点的衰减振动质点的衰减振动 例题例题 9-39-3第52页/共93页解：由题意知，物块M的运动是衰减运动。阻尼系数可通过减缩率来求出。已知经过10周期，振幅减缩到初始的140，即有kMAB故有取自然对数，求得对数减缩率另一方面，考虑到=0.184 49999-3-3质点的衰减振动质点的衰减振动 例题例题 9-39-3第53页/共93页kMAB因而阻尼系数为即

21、以值代入式（2），求得但固有频率于是，求得阻尼系数为c=2 m=213.67=7.34 kgs9999-3-3质点的衰减振动质点的衰减振动 例题例题 9-39-3(1)第54页/共93页 其实，当 0 时，在式（1）和式（2）的根式中，与 (0 )2 相比较可以忽略1，用这种近似计算求得的结果是足够精确的。在本例中 0 ，可以取Td近似地等于T。于是有因而kMAB9999-3-3质点的衰减振动质点的衰减振动 例题例题 9-39-3第55页/共93页99-4 质点的强迫振动第56页/共93页99-4 质点的强迫振动假定振动物块M 还受到扰力S的作用Sx=Hsinpt，其中H 称为力幅，表示扰力的

22、最大值；p 称为扰力变化的频率。H 和p 都可以认为仅决定于扰力的来源而与物块的运动无关。取物块M的平衡位置作为原点O，轴Ox铅直向下。在任意瞬时t，物块M的运动微分方程写成一一、有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动 MMxxcGGR RvF FOl0+sS S第57页/共93页9-4 质点的强迫振动考虑到平衡关系，仍引用，并引入新的参数，则上式化为这就是质点强迫振动的微分方程的标准形式，它是非齐次的二阶常系数线性微分方程。(9-25)方程的通解由两部分组成，即其中x1是与方程（9-25）相对应的齐次方程的通解。第58页/共93页9-4 质点的强迫振动特解x2可以写成把特解x2及其导数代入微分方程方程

23、的标准形式得方程的通解由两部分组成，即第59页/共93页9-4 质点的强迫振动从而可以解得故得在小阻尼n 1，即扰力频率p 远大于固有频率k时，表示强迫振动的振幅几乎等于零（高频强迫振动）。引入无量纲参数zv来不及振动第66页/共93页9-4 质点的强迫振动可见，这时强迫振动的振幅B 和阻尼系数成反比。特别是如n0,0,则B（共振）。（3）当z=1，即p=k 时，由式可得zv第67页/共93页9-4 质点的强迫振动当1-2v2 0 0 时，z=0给出的极小值。而给出的极大值，这时强迫振动的振幅也达到最大值，即所谓峰值。对应的扰力频率称为峰值频率，用pp代表，则由式(c)得（4）放大系数具有极大

24、值。取函数求导数（a）（b）由极值条件，得（c）第68页/共93页9-4 质点的强迫振动在式(9-27)中，令P=Pp，可得强迫振动的振幅峰值，以Bp代表，有如果阻尼很小，nk，则由式（9-33）和式（9-34）可得(9-27)(9-34)(9-35)峰值频率(9-33)第69页/共93页9-4 质点的强迫振动可以看出，在小阻尼下发生共振（p=k）时，振幅B已接近于峰值Bp。(9-35)与比较第70页/共93页9-4 质点的强迫振动特别注意：如果阻尼趋向于零；n0,0,则由式（9-32）可给出共振的振幅和由式（9-34）给出强迫振动的振幅峰值Bp都趋向无穷大。共振频率p=k 有时也称临界频率，

25、并用Pcr代表。（9-32）（9-34）v=0第71页/共93页9-4 质点的强迫振动（5）阻尼对强迫振动振幅有不同的影响。可知当增大阻尼能使放大系数值和振幅的峰值变小。可见，阻尼对强迫振动振幅及其峰值起抑制作用。(9-31)（9-34）由由第72页/共93页9-4 质点的强迫振动由图可以看出，当阻尼很小（即n p 时适用，这时发生无阻尼低频强迫振动，它的相位与扰力的相位相同。当k p，则强迫振动的部分9-49-4质点的强迫振动质点的强迫振动 例题例题 9-49-4第81页/共93页MxcGGF FOl0+sMx3.如果弹簧的刚度系数适中，kp时，物块将作剧烈振动，幅度很大。频率计利用这种现象

26、来测量干扰力的频率。2.如果弹簧的刚度很小，有 kp，则x20。表明物块在空间几乎固定不动。因此，可以用它作参考体，去测定基础的振动。另外，柔软弹簧防止了基础振动对物块的影响，隔绝外来振动的干扰。这种方式的隔振称为被动隔振。对于精密仪器、设备的安装来说，这样的隔振装置是非重要的。9-49-4质点的强迫振动质点的强迫振动 例题例题 9-49-4第82页/共93页质量为m1的物块用弹簧及阻尼器支承，被光滑槽约束，只能沿铅直线运动，如图所示。物块上有无质量杆O1A以匀角速度绕物块中心轴O1转动。杆的A端有一偏心小质量m，设m 1时，B/a 1。因此，设计时应当使测振仪具有比较低的固有频率，才能有比较大的z 值。被测频率愈高，测量精度也高；被测频率低，测量精度便低。对于同一z 值，阻尼较大时，B/a趋近于1。例例 题题 9-189-18振动例题稳态响应的幅频特性与相频特性曲线稳态响应的幅频特性与相频特性曲线z zz z第91页/共93页片尾第92页/共93页感谢您的观看！第93页/共93页