(14.1)--第13章整环近世代数.ppt

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1、1定义和例子定义和例子域域第第第第1313章章章章 整环整环整环整环 (Integral Domains)(Integral Domains)第第1313章章 整环整环环的特征环的特征一、整环的定义一、整环的定义 在一定程度上在一定程度上,引入环的主要目的之一便是将整数的代数性质放到一引入环的主要目的之一便是将整数的代数性质放到一个抽象的集合中个抽象的集合中.然而然而,环并不是整数集的合适的抽象环并不是整数集的合适的抽象.原因是许多整数性质并没有被原因是许多整数性质并没有被 环保留下来环保留下来.比如比如,环中不一定有单位元、乘法不一定满足交换律和消去率环中不一定有单位元、乘法不一定满足交换律

2、和消去率.本章将学习整环本章将学习整环,该类环同时保留了上述三个整数性质该类环同时保留了上述三个整数性质.整环在数论和代数几何中扮演十分的重要作用整环在数论和代数几何中扮演十分的重要作用.整环的定义整环的定义2 零因子零因子,整环整环一、定义和例子一、定义和例子 零因子零因子(zero-divisor):交换环交换环R 中非零元素中非零元素a称为称为R 的的零因子零因子,如如果有果有R中非零元中非零元b,使得使得ab=0.整环整环(integral domain):无零因子无零因子有有单位元单位元的的交换环交换环称为称为整环整环.定义和例子定义和例子3两点简单观察：两点简单观察：整环中至少两个

3、元素整环中至少两个元素,即零元和单位元即零元和单位元;整环中整环中:若若ab=0,则要么则要么a=0要么要么b=0.例例1:整数环是整环整数环是整环.例例2:高斯整环高斯整环 是整环是整环.例例3:整系数多项式环整系数多项式环Z x 是整环是整环.例例4:环环 是整环是整环.例例5:整数模素数整数模素数 p 组成的环组成的环 是整环是整环.例例6:整数模整数模n环环 ,当当n不是素数时不是素数时不是整环不是整环.例例7:整数集合上的整数集合上的 矩阵环矩阵环 不是整环不是整环.例例8:不是整环不是整环.4定义和例子定义和例子下面的例子表明在我们熟悉的许多环中下面的例子表明在我们熟悉的许多环中,

4、一些是整环一些是整环,而一些却不是而一些却不是.请读者请读者验证例题中的相关断言验证例题中的相关断言,这实际上熟悉概念的一个很有效的方法这实际上熟悉概念的一个很有效的方法.定理定理 13.1 设设a,b,c是整环是整环D中元素中元素,若若a0且且ab=ac,则则b=c.证证:5定义和例子定义和例子尽管整环的非零元全体并不一定构成一个乘法群尽管整环的非零元全体并不一定构成一个乘法群,但却具有一个重要的群论但却具有一个重要的群论特性特性,即即消去率消去率.本次课到此结束谢谢！7定义和例子定义和例子域域第第第第1313章章章章 整环整环整环整环 (Integral Domains)(Integral

5、 Domains)第第1313章章 整环整环环的特征环的特征域域:有有单位元单位元且且每个非零元都是单位每个非零元都是单位的的交换环交换环叫做叫做域域(field).二、域二、域域域8在许多应用中在许多应用中,一类称为是域的特殊整环常常是必要的一类称为是域的特殊整环常常是必要的.根据定义根据定义,我们可以得到以下两点观察：我们可以得到以下两点观察：一个环一个环F是域当且仅当是域当且仅当(F,+)和和(F*,)均是交换群均是交换群.域一定是整环域一定是整环.(域论是由德国物理学家域论是由德国物理学家Heinrich Weber于于1893年年创立的创立的.群、环、域构成了群、环、域构成了近世代数

6、的近世代数的三个主要分支三个主要分支.)二、域二、域 定理定理13.2 有限整环是域有限整环是域.证证:设设D是有限整环是有限整环,单位元为单位元为 1.任取任取0aD.只需证明只需证明a有逆元即可有逆元即可.若若a=1,则则a本身就是其逆元本身就是其逆元.设设a1.考虑考虑D中非零元序列中非零元序列a,a2,a3,.因因D有限有限,存在正整数存在正整数i,j使得使得ij且且ai=aj.从而从而,ai-jaj=1aj.由消去率由消去率,可知可知ai-j=1.所以所以ai-j-1 就是就是a的逆元的逆元.域域9 推论推论 对任一素数对任一素数p,模模p剩余类环剩余类环Zp是域是域.在例在例5中中

7、,我们已知对每一素数我们已知对每一素数p,Zp是整环是整环.从而由上面定理从而由上面定理,可得如下推论可得如下推论.结合例结合例6,我们可知对任一整数我们可知对任一整数n,Zn是域是域当且仅当当且仅当n是素数是素数.那么那么,除我们常见的数域和除我们常见的数域和Zp外外,是否还其它有限域的例子？是否还其它有限域的例子？二、域二、域域域10例例9.令令Zi=a+bi|a,bZ3,其中其中i2=-1.这是这是Guass模模3整环整环.所有的加法所有的加法和乘法和通常的复数的加法和乘法一致和乘法和通常的复数的加法和乘法一致,唯一不同的是系数运算是模唯一不同的是系数运算是模3进进行的行的.例例10:令

8、令 .易证易证 是有单位元的交换环是有单位元的交换环.利用利用“分母有理化分母有理化”,可求得其逆可求得其逆:所以所以,是域是域.本次课到此结束谢谢！12整环的定义整环的定义域域第第第第1313章章章章 整环整环整环整环 (Integral Domains)(Integral Domains)第第1313章章 整环整环环的特征环的特征三、环的特征三、环的特征 特征特征(characteristic):环环R的的特征特征指的是使得指的是使得 的最小正整数的最小正整数n.如果这样的正整数不存在如果这样的正整数不存在,则则称称R的的特征是特征是0.环环R的特征记为的特征记为 char R.整数环整数

9、环 Z 的特征是的特征是 0,Zn的特征是的特征是n.无限环的特征可以是无限环的特征可以是0,也可以是有限的也可以是有限的,比如比如Z2x的特征是的特征是2.环的特征环的特征13证证:若若1的阶无限的阶无限,由定义由定义,知知charR=0.设设1的阶是的阶是n,只需证只需证R的任一元素的任一元素x的阶整除的阶整除n.定理定理 13.3(有单位元环的特征有单位元环的特征)设设R是有单位元是有单位元1的环的环.在加法群中在加法群中,若若1的阶的阶无限无限,则则charR=0;若若1的阶是的阶是n,则则charR=n.环的特征环的特征14下面我们来看有单位元的环以及整环的特征下面我们来看有单位元的

10、环以及整环的特征.证证:只需考虑单位元只需考虑单位元1的加法阶的加法阶.若若|1|无限无限,则则charR=0.故设故设|1|=n,则则n1.假设假设n不是素数不是素数,则则 从而从而,所以，所以，1的阶不超过的阶不超过 s,t中较大者中较大者,与与|1|=n 矛盾矛盾.定理定理 13.4 整环的特征要么是整环的特征要么是0,要么是素数要么是素数.环的特征环的特征15最后最后,我们提一下：在一个环我们提一下：在一个环R中中,零因子的存在零因子的存在,求解求解系数在系数在 R的方程时的方程时,可导致一些可导致一些不合常规不合常规的结论的结论.比如：方程比如：方程 在在Z12 中有四个根：中有四个根：1,3,7和和9.16常见环的有关性质常见环的有关性质常见环常见环16本次课到此结束谢谢！