能带固体物理学兰州大学.pptx

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1、这里 ，这样可用自由电子的波函数代替电子的零级波函数，用微扰论求解ShodingerShodinger方程，这样一种物理模型称之为近自由电子模型 或准自由电子模型，这也就是SommuefeldSommuefeld的自由电子模型再加上弱周期势的修正。第1页/共146页第2页/共146页2 2、能隙的起因 对于一维点阵（点阵常数为a a），电子的波函数 若k k远离BzBz边界时（即 时），电子波不受BraggBragg反射，从各原子散射的波没有确定的位相关系，对入射波的传播无什么影响，与x-rayx-ray在晶体中的传播是相同的。第3页/共146页但当 时，如 ，此时平面波 满足BraggBra

2、gg条件，波程差为2a2a，相位差为22，从相邻的原子反射的波有相同的位相，发生相长干涉，产生向反方向传播的波 ，这个波同样受到其近邻原子的BraggBragg反射，再一次反向，这样就形成了向相反方向传播的两列行进波，平衡时两波叠加形成驻波。第4页/共146页有两种形态的驻波：这是由自由电子的行波在BzBz边界上的BraggBragg反射而形成的，两个驻波使电子聚积在不同的区域内。第5页/共146页第6页/共146页 下面我们分别计算一下这两种情况下电子的平均能量。（+）这种分布时的能量低，（-）分布时能量高，电子的平均能量是不同的，没有周期势场的-k-k曲线是一条抛物线，在有周期势场存在时，

3、在BzBz边界上分裂成两个波函数，相应的能量也分成两个，一个E E+、一个E E-，可以证明，对 的电子的能量与 的电子的能量是不同的，这个能量差就是能隙，这个能隙就是所谓的禁带。第7页/共146页 为简单起见，我们考虑势场是谐和势（简谐势）对于L=1L=1的单位晶体：=为归一化因子，对（+）.（-）计算平均能量（+）:（+）（-）:（-）（+）-（-）第8页/共146页=(-)=(-)=第9页/共146页 实际的势场并非是上面的简单形式，而是一个复杂函数，但可用倒易点阵矢量展成付氏级数，展成余弦势的叠加，在一级近似下，在BzBz边界都有能量间隙。=能隙的大小等于相应的傅立叶分量，UnUn是收

4、敛的，能隙的宽度越来越小。第10页/共146页22、BlochBloch定理在存在周期性势场时，电子满足的ShodingerShodinger方程为:其中 =(+)=(+)Bloch Bloch定理是关于周期势场中单电子ShodingerShodinger方程的本征解的形式的问题。第11页/共146页 BlochBloch定理：对于一个周期势场，单电子ShodingerShodinger方程的解必定具有形式：=即波函数为一个周期性函数与一个平面波相乘的形式，其中 是一个具有晶体点阵周期性的函数。=（+）为点阵平移矢量。第12页/共146页把波函数平移点阵平移矢量可得：=这也是BlochBloc

5、h定理的另一种表达式，利用这种表达式BlochBloch定理可叙述为：周期势场中单电子ShodingerShodinger方程的本征函数 可以这样来选取，使得与每个 相联系的有一个波矢 满足：=第13页/共146页由BlochBloch定理可得两个重要结论：1 1BlochBloch定理表明周期势场中电子的本征函数有BlochBloch函数的形式，是一个被周期势场调幅了的平面波，平面波的振幅具有周期势场的周期性，这与自由电子的波函数不同，自由电子的波函数是一个平面波。第14页/共146页2 2BlochBloch波函数是周期势场中电子的本征函数，这个波在晶体空间是自由（均匀）传播的，既不随时间

6、和空间而衰减，也不会在传播过程中突然改变形态，即不会由一个BlochBloch波变成另一个BlochBloch波。第15页/共146页BlochBloch定理的证明:首先从正空间证明。先定义平移算符，若点阵的平移矢量是，当 取一系列整数值时，它代表平移矢量群，对此，我们可定义平移算符 把平移算符作用在ShodingerShodinger方程中的上得；=第16页/共146页 =有平移不变性，在周期场中 =则 =第17页/共146页 平移算符与哈密顿算符是对易算符，据量子力学可知，对易算符有相同的本征函数，即 的本征函数也就是 的本征函数。若 是同一平移矢量群中的任意两个矢量，则：=这就是说同一平

7、移矢量群中的两个平移算符彼此是对易的。第18页/共146页 现在就一维情况来证明BlochBloch定理：考虑长为L L的一维晶体，有N N个初基晶胞，L=NaL=Na，固体物理考虑的都是理想晶体，不考虑边界，为排除晶体的有限尺寸对问题的限制，采用周期性边界条件，即把晶体首尾相接成一个环型晶体。第19页/共146页ShodingerShodinger方程的解以晶体长度为周期重复：是周期场中哈密顿算符的本征函数，也是平移算符的本征函数:c c为 算符的本征值。第20页/共146页当用平移算符重复作用时，将平移算符在波函数上作用N N次，则：第21页/共146页按周期性边界条件：这是由平移对称性得

8、到的。于时 则 =令 （周期性边界条件下k k的允许值）这正是一维点阵中BlochBloch定理的表达式。第22页/共146页 对三维晶体在x x、y y、z z方向都用周期性边界条件和平移算符，同样可得：第23页/共146页 在以上的证明中，我们没有用到周期势的性质和波函数的具体形式，只用了平移对称性，BlochBloch定理是晶体平移对称性的直接结果，不仅适用于周期场中的电子的本征态，而且适用于严格具有完全的平移对称性的体系，它的所有本征函数都具有BlochBloch函数的形式。第24页/共146页33、电子在周期势场中的波动方程周期势场中的ShodingerShodinger方程为：=现

9、在我们要把ShodingerShodinger方程和解的形式在波矢空间中表示出来，就要经过量子力学中的表象变换。第25页/共146页1.1.中心方程 势函数和波函数的傅立叶分析 势函数有平移对称性，总可以用倒易点阵矢量展成付氏级数，在一维情况下，可对倒易矢量展开成付氏级数：n n为整数若 是实函数，付氏级数的傅立叶分量的系数 有如下性质：第26页/共146页 是实函数，第二章中讲过，实周期函数必有此结果：任指定 ，则上式左边为 右边为要使上面等式成立，则须第27页/共146页若势函数具有中心反演对称性：则在势函数既是实函数又具有中心反演对称性的情况下第28页/共146页波函数：一个波函数可对波

10、矢k k展开成付氏级数，在周期性边界条件下：（n n为整数）在波矢空间中关键就是c c（k k），只要c c（k k）已知，则 在K K空间的形式就知道了，此时 就唯一确定了。第29页/共146页2 2中心方程的推导空间的ShodingerShodinger方程为：=把波函数展开成付氏级数,K,K取边界条件允许的所有值（包括倒易阵点和非倒易阵点）把势函数对倒易矢量展开成付氏级数将波函数和势函数的付氏级数代入一维ShodingerShodinger方程中。第30页/共146页动能项为：=势能项为：=则一维情况下的ShodingerShodinger方程变为：=+=+=第31页/共146页任意指定

11、一个傅立叶分量 （一个波矢代表一个分量），是边界条件允许的K K 值，我们看一看各项的系数；第一项分量为 ，当 时，系数为：第二项要使分量仍为 ，只有 系数为：等式右边，时，分量 的系数为任何一个傅立叶分量的系数都应满足这个关系：+=+=第32页/共146页因此可以把 再写成 ，则：+=+=式中的 是边界条件允许的任意一个 值。为方便起见，我们引入 ，代表波矢为的平面波的动能，于是上面的方程可写成：+=0+=0这就是中心方程。第33页/共146页3 3中心方程说明的问题 中心方程是一个代数方程，它是由真实空间中的ShodingerShodinger方程（微分方程）演变来的，是周期势场中单电子S

12、hodingerShodinger方程在波矢空间的表现形式，这个方程要对G G求和（这是因为一个给定的势函数展开付氏级数要对G G求和）。它应包含无穷多项，K K是周期性边界条件允许的任意一个K K值，这实际上是一个包含无穷多项和无穷多个方程的代数方程组，求解中心方程的目的是求 和各付立叶分量的系数，从表面看，这样一个有无穷多个方程，而每个方程又包含有无穷多项的方程组是没法求解的，但是在一些近似条件下，取一些有限项和有限的方程，还可说明许多问题。第34页/共146页 中心方程把波函数的傅立叶分量C C（K K）及C C（K-GK-G）联系了起来，在中心方程中对K K不求和，只对G G求和，在中

13、心方程中出现的傅立叶分量的系数为 C C（K K）和C C（K-GK-G），G G要取所有的倒易点阵矢量，中心方程把 联系起来了。第35页/共146页如在一维情况下，令最短的 ，所有倒易点阵矢量G G可写成 n n取所有的整数，因此中心方程包含这样一些傅立叶分量：在方程中出现的只是第36页/共146页我们可以在波矢空间中标出这些分量：第37页/共146页 在中心方程中出现的只有与指定的K K相差一个G G的傅立叶分量，统称之为C(K)C(K)、C(K-G),GC(K-G),G取所有倒易点阵矢量。也就是说当用中心方程求解波函数的本征函数的傅立叶分量时，只能求出C(K)C(K)与C(K-G)C(K

14、-G)这样一些系数的分量，而与K K相差不是一个G G的那些分量是不出现的。第38页/共146页 求解中心方程是为了求解电子波函数的本征函数，在中心方程中消失掉的傅立叶分量，在中心方程的解中也不会出现，这也就是说，周期势场中单电子ShodingerShodinger方程的解不会包括边界条件所允许的所有K K值的分量，而只包含一些特殊的分量。第39页/共146页 +式中的K K值是边界条件的任意一个K K值。可以简写为：式中的G G值取所有的倒易点阵矢量。这就是由中心方程得到的单电子在周期势场中电子波函数的本征函数的形式。第40页/共146页 把含有分量K K的波函数（本征函数）给一个下标，表示

15、波矢为K K的傅立叶分量只要知道了K K分量，其它的分量可用 找出来，波函数就唯一地确定了，即 =它们都是由相同的傅立叶分量组成，因此它们都是相同的，与 表示相同的波函数。第41页/共146页既然 与 是同一个波函数，由相同的付氏级数组成，通常我们就把K K限制在第1BZ1BZ之内，用k k表示，称简约波矢，它所表示的本征函数都可以通过加减适当的G G用第1BZ1BZ以内的本征函数来表示，第1BZ1BZ以外的波函数只不过是第1BZ1BZ以内的波函数的重复和再现而已。第42页/共146页 另外要注意的是，格波不存在比2a2a更短的波长，即波矢超出第1BZ1BZ是没有物理意义的，然而电子波则不同，

16、电子波是几率波，代表在 处电子出现的几率，在阵点以外的空间仍有物理意义，也就是说，对电子波，波矢可超出第1BZ1BZ，在第1BZ1BZ以外，它是有物理意义的，只不过与第1BZ1BZ以内的是重复的，这是与格波不同的地方。第43页/共146页4 4BlochBloch定理重述由中心方程再看BlochBloch定理。用简约波矢：=我们现在证明这样一个付氏级数就是BlochBloch函数 =第44页/共146页令 =现在只要证明 =具有点阵周期性即可证明 为BlochBloch函数。第45页/共146页 =是BlochBloch函数，即 =第46页/共146页 以前我们讲过一个具有晶体点阵周期性的函数

17、可用倒易点阵矢量展开成付氏级数，现在我们证明了它的逆定理，即若一个函数可用倒易点阵矢量展成付氏级数，那么这个函数必定有点阵周期性质。第47页/共146页由BlochBloch函数的付氏级数形式 =可写成：=+=+对三维波函数：=+=+第48页/共146页据LaueLaue衍射条件：=，在 方向有一个反射波 =-=-，除第一项外，其它分量的波矢都有 -的形式，因此它们都是各级BraggBragg反射波，取所有倒易点阵矢量，即得各级平面的所有反射，就是把所有的反射波加起来，BlochBloch波实际是是一个平面波与它的各级BraggBragg反射波的叠加。第49页/共146页 2.2.电子的晶体动

18、量1 1BlochBloch函数的下标k k是表征本征函数本征态的量子数，描写函数的量子态需要两个量子数，波矢 和自旋量子数 。第50页/共146页2 2如果周期势 =0=0，则 =0=0，此时中心方程为：=0=0要使 有非零解，则必须 =0 =0 即 =这正是自由电子的能量，此时的波函数为 =，相当于自由电子的波函数。第51页/共146页这时的波矢 表示这样的物理意义：代表电子动量的本征值，但 0 0，则 不代表电子动量的本征值，BlochBloch波是由许多平面波叠加起来的，BlochBloch函数不是动量算符的本征函数，而是能量算符的本征函数。我们把动量算符作用到BlochBloch函数

19、上得：+不是电子动量的本征值。第52页/共146页 3 3 凡是有BlochBloch电子参与的碰撞过程中，这个量要出现在守恒定律中，它的作用与一个动量的作用一样，所以我们把叫做电子的晶体动量。第53页/共146页用量子力学的方法来计算有BlochBloch电子参与的过程的跃迁几率，可得到波矢的选择定则,对于电子与声子的碰撞：=+=+式中 为电子波矢，为声子波矢 为电子跃迁后的波矢，为倒易点阵矢量，的选取以保证 不超出第1BZ1BZ，满足上述波矢选择定则的跃迁是允许的，否则就是不允许的。第54页/共146页若对波矢选择定则两边乘以 ，相当于动量守恒定律：=+=+式中 代表电子跃迁后的动量。第5

20、5页/共146页 出现在动量守恒定律中，相当于一个动量，称为电子的晶体动量，它即非电子动量的本征值，又不是电子动量的平均值，只是它的性质相于一个动量。电子在外场作用下，的变化服从牛顿定律。第56页/共146页 3.3.中心方程的解 =0=0在中心方程中出现的系数只有k k、k-Gk-G的形式，对波矢空间任一点（如 ）求解，可对此点写出中心方程，这时对有关的傅立叶分量都要写出中心方程，因为用一个方程是无法求解能量的本征值与本征函数的，只有用一系列的方程列成方程组来求解。第57页/共146页现在我们考虑最简单的情况，假定势函数只包含有两个傅立叶分量：=+=+并设 =则 G=G=为整数于是 可写成余

21、弦函数的形式：=第58页/共146页在波矢空间任意指定一个k k值，则中心方程为：+=0=0由于方程中只有：=，而 =0=0中心方程简化为：+=0+=0 第59页/共146页对 写出中心方程：把是式(1)(1)中的k k换成 +=0 +=0 对 写出中心方程来：+=0 +=0 第60页/共146页但由此引出的中心方程是无穷的，即中心方程是由无穷多的方程组成的奇次方程组。这些方程把 、等波矢联系起来了，这样一个由无穷多个方程组成的方程组是无法求解的，但在一定的近似条件下，我们把波函数 =的傅立叶分量只取有限个项，则中心方程是有限的方程组，还是可以求解的。第61页/共146页如对上面势函数只有两个

22、分量的情况下，我们取：即波函数只有五个分量 、时，中心方程只有5 5个。第62页/共146页对 写出中心方程为：对 写出中心方程为：第63页/共146页 把上述方程组按一定顺序排列，如排列，要使关于有非零解，则其系数行列式须满足：第64页/共146页 若势函数包含有两对傅立叶分量如对于波函数取五个分量的情况，这时写出的中心方程的系数行列式为：第65页/共146页中心方程的解说明的问题：1 1对每一个给定的k k值，是多值的，有多少个 值，取决于波函数傅立叶分量的个数，对于每一个波矢k k，有不止一个能量，每一个 值对应一个能带，所以标志电子的一个能量状态，需要两个指标 ，即一个是波矢指标，一个

23、是能带指标，同样标志一个波函数 也需要两个指标，因为 是将 代入中心方程得到的。第66页/共146页第67页/共146页2 2将中心方程中的k k平移一个任意倒易点阵矢量，中心方程所代表的方程组不变，解也是不变的。k k是边界条件允许的任意值。中心方程把 这些傅立叶分量联系在一起，若指定k k，则只能出现的形式的分量，G G取所有倒易点阵矢量。第68页/共146页若对K K求解中心方程，则对都要写出中心方程来，若将K K平移任意倒易矢量G G，如 ，现在实际上对 求解中心方程，现在的中心方程组中只出现与 相差一个G G的所有分量，如 ，也就是说对 写出的中心方程组实际上是与对K K写出的中心方

24、程组相同，所不同的只是方程的顺序有些变化而已。由此解中心方程组解出的能量与波函数也不变。第69页/共146页第70页/共146页 同一个能带中的能量是G G的周期数，同一个能带中的波函数也是G G的周期函数，这是能带在周期势场中的性质，与格波的色散关系 相对应，这些性质都是由周期势场引起的，所以我们只在第1BZ1BZ内解出所有的能带和轨道就全部解决了电子的能带和轨道问题，在三维情况下：第71页/共146页 特别要注意的是：在正空间 有正点阵的平移不变性，而波函数没有平移不变性，但在波矢空间，即倒易空间，和 都对倒易点阵矢量 有平移不变性。第72页/共146页 4.4.弱周期势下BZBZ边界附近

25、的近似解设势函数有三角函数的形式：势函数展开包括两个傅立叶分量：比电子在BZBZ边界是的动能要小得多，即：现在来求在附近中心方程的解第73页/共146页1 1当 时 （波矢为K K的自由电子的能量或波矢为K K的平面波分量的动能）第74页/共146页 （波矢为 与 的自由电子的动能是相同的）+当 时：第75页/共146页 在波函数中 的分量与-的分量具有同样重要的地位，在比较粗略的近似下，必须保留这一对傅立叶分量（时这一对分量的 是相同的），而将其它高阶分量略去，这就是波函数的两分量近似，这两个分量有同样重要的地位。第76页/共146页略去高阶项，对 写出中心方程，这时势函数有一对分量，波函数

26、也只有一对分量：第77页/共146页这方程组要有非零解，须：得：第78页/共146页 由中心方程在两个分量近似下，得到了电子的能带为 ，若无周期势场电子的能带应为自由电子能带，但由于弱周期势场的作用，使能带分成两个，这两个能量差为：第79页/共146页第80页/共146页将 代回中心方程可得波函数的两个解：若不考虑归一化因子，就有上述形式，此时：与前面的似真性论证得到的结果完全一样。第81页/共146页2 2k k在BZBZ边界 附近 此时电子的本征函数k k与k-Gk-G这两个分量有大约相差的动能，其它的G G可略去。第82页/共146页对k k、k-Gk-G分别写出中心方程：其中 第83页

27、/共146页要使上述方程组有非零解，须可得：或 第84页/共146页由此可得：为了能清楚看出和k k的关系，我们引入：即从布里渊区边界算起的波矢差。第85页/共146页则 第86页/共146页代入能量关系式中得：或第87页/共146页当波矢k k足够靠近BZBZ边界时，即 足够小时，使得 就可把后项（方括号内的项）用二项式定理展开，取一级近似得：第88页/共146页于是式中是波矢 时自由电子的动能，能量对BZBZ边界对称。第89页/共146页 是抛物线函数，抛物线的顶点分别在（+）和（-）两点，若U U0 0，则势是吸引势，（+）、（-）如图所示第90页/共146页由中心方程可得：把中心方程得

28、到的的两个根分别代入，可求出 的关系，得到如上面右图的关系。第91页/共146页当k k远离BZBZ边界（即）时，分别对两个能带来说，只有一个平面波分量是主要的，如对第一带来说，因为此时 ，即 ，也就是说用一个分量表示就可以了，离BZBZ边界越远 越小。对于第二带来说，只要k k离 越远 ，占主要地位，也只有一个平面波占主要地位。第92页/共146页当 时，两个分量都是主要的，此时当k=k=时，两个分量相等，与前面讲的完全一致。第93页/共146页 44、能带图示法1.1.简约区图、周期区图和扩展区图 前面我们由中心方程得到了重要的结论：即对于同一个能带，能量和波函数都是倒易矢量G G的周期函

29、数：,第94页/共146页 -k -k的关系曲线在波矢空间有三种画法：1 1简约区图把 限制在第1BZ1BZ之中，在第1BZ1BZ中解出 与能带，画出能带曲线，如一维时只看0 0 范围与前面讲的 附近的图非常相似，能带与能带之间有间隙，对于任一波矢k k对应有不同的能量值,是k k的多值函数，只在第1BZ1BZ之中画图。第95页/共146页第96页/共146页2 2周期区图把第1BZ1BZ中的 曲线平移 移到波矢空间其它区域，这样得到的图叫周期区图或重复区图。第97页/共146页3 3扩展区图 、都有两个下标n n和 ，有时需要 是 的单值函数，在这个前提下出现了能带的扩展区图。约定在第1BZ

30、1BZ中画第一带（n=1n=1），在第2BZ2BZ中画第二带（n=2n=2），在第3BZ3BZ画第三带，以此类推，由此得到的曲线称之为扩展区图。第98页/共146页第99页/共146页 对于简约区图并不是说第1BZ1BZ以外的能带和轨道是不存在的，而是为了避免重复，周期区图虽然是重复的，但它是最完整的，扩展区图是在每个BZBZ中只画出一个能带，并不是说其它能带在这些BZBZ中不存在，如在第3BZ3BZ中的第一、二能带与第一、二BZBZ是一样的，这三种图式在不同的场合都要用到，常用的是简约区图。第100页/共146页2.2.空点阵近似 所谓空点阵近似就是点阵依然存在，周期性也存在，但势场为零。当

31、周期势场非常弱 0 0，对 =0=0的极限情况，称为空点阵近似。空点阵近似就是周期结构中的自由电子近似。第101页/共146页 在一维情况下，自由电子的函数为 ，（，为整数），空点阵近似的 图与自由电子的 图相同，但有三种图示法，我们采用简约区图。我们从自由电子的 图画出空点阵近似下的 图的简约区图，只要把k k平移适当的 移入第1BZ1BZ就得到空点阵近似下 的简约区图。第102页/共146页第103页/共146页1 1G=0G=0，把第1BZ1BZ边界的能量写成作为度量其它能量的单位。第104页/共146页2 2 在BZBZ中心，k=0k=0，在BZBZ边界上，即 时，这样就画出了空点阵近

32、似下一维的简约区图。第105页/共146页在弱周期势下，在第1BZ1BZ边界是，能带都要一分为二，出现能隙，这样就得到了一维情况下弱势场的简约区图。第106页/共146页 三维情况下，K K沿不同方向，曲线可能不同，（这是因为晶体本身就是各向异性的），画 图就要指定K K的方向，如K K沿100100方向，就表示100100方向的K K值。第107页/共146页 三维情况下空点阵近似的能带的简约区图，即把自由电子的 关系曲线，平移到第1BZ1BZ之中，令 ,则简约区中 =这就是简约区中的函数。第108页/共146页三维空间的 曲线图都是要在波矢空间给定的方向画出，如SCSC点阵的100100方

33、向，为简便起见，令 =1=1，即以 为能量的度量单位，则简约区中的 函数为：=第109页/共146页SCSC点阵的倒易点阵矢量是表示倒易点阵矢量的，给定h,k,lh,k,l，就给定了。作为一个例子，对SCSC点阵，来研究K K沿100100方向，曲线的形状。第110页/共146页 =（000000）（以 为单位表示的指数）即 则 也就是说，K K本来就在简约区中。在100100方向，即 这就是简约区中的函数沿方向的函数形式。第111页/共146页 在第1BZ1BZ中心 在第1BZ1BZ边界 把第1BZ1BZ边界是的值为，作为度量其它能量的单位。第112页/共146页 最短的 =100=100、

34、010010、001001、根据这些相对于方向的对称性分组，对称性相同的取作一组，因此100100、为一组，010010、为一组，001001、为一组。第113页/共146页先看 =100=100和 ，这是对 =100=100对称的，即 ，代入简约区中的 =中得：=第114页/共146页再沿 方向显示能带，此时则 在BZ BZ 中心 在BZBZ边界上 第115页/共146页再看相对于 k100k100的另外四个 =010=010、，或 =001=001、对于这样两组 ，先写出简约区中的函数形式：=010=010、时：=001=001、时：第116页/共146页 沿 方向的 的形式：=在BZBZ

35、区中心：=0=0，在BZBZ区边界：，第117页/共146页对于次短的 ，即 =110110令 =110=110，对 方向对称的还有 分别写出简约区中的函数在 方向的形式：（令 ）则 =第118页/共146页在BZBZ区中心，=0=0，=8 8在BZBZ边界，第119页/共146页这样就可画出一维情况下，空点阵近似的能带图。如右图所示第120页/共146页 这是空点阵近似的能带若考虑弱周期势的微扰是在区边界上将原来简单带分开就可得近自由电子的能带图（如图中红线所示）。第121页/共146页上面是SCSC点阵的能带图，对于其它点阵要特别注意 的选取，因为在上述考虑中 是采用了惯用轴，但对于如fc

36、cfcc点阵，就不是基矢，（为 ），这时就要考虑结构的消光规律，对于fccfcc点阵，hklhkl只能取全奇或全偶的指数，除000000外，下一个 就应取111111，再下一个就是200200，在作能带图时一定要考虑到消光规律。第122页/共146页 空点阵近似下简约区图的作图步骤。对给定的点阵先写出倒易点阵矢量 ，由于 是惯用晶轴h h、k k、l l的取值要考虑到消光规律。第123页/共146页把 依次代入到 函数中去 简约区中的 =注意对于波矢空间中的给定方向 的对称性，对称性相同的 可同时代入，这样每 可能是同一曲线或对称性很高的曲线。第124页/共146页对波矢空间给定的方向,写出

37、函数形式如沿 方向 则 沿 方向 则 沿 方向 则 沿111111方向:第125页/共146页定出区中心的能量值 和区边界上的能量值,对区边界要注意计算,如沿100100方向,区边界为 ,若沿111111方向就不再是 ,对于fccfcc点阵,111,111方向的边界为 =处，=只有把 值定准，才能把 算准。第126页/共146页55、金属和绝缘体1.1.能带中的轨道数根据前面讲过的能量和波函数的性质：能带和波函数对波矢K K有周期性，只要我们对第1BZ1BZ解出 和 ，则BlochBloch电子的所有能带和轨道都解出来了，第1BZ1BZ以外的所有波矢代表的轨道只是第1BZ1BZ以内的轨道的重复

38、而已，一个能带中的轨道数，就指的是这个能带在第1BZ1BZ之内的轨道数。第127页/共146页在一维情况下，对长为L L的一维晶体，第1BZ1BZ的体积为 ，而边界条件允许的每个K K值占有的体积为 ，则 =也就是说第1BZ1BZ中的K K值的数目与晶体的初基晶胞的数目相同，每个K K值又对应两个自旋相反的电子，因此每个能带中有2N2N个轨道。第128页/共146页以SCSC点阵为例，对于三维晶体来说，第1BZ1BZ的体积为 ，则：=为SCSC点阵的初基晶胞数，我们认为晶体的宏观体积是一个正方体，即：长宽高=LLL=LLL，则三维时的轨道数为2 2 个，这时仍认为2 =2 2 =2 （=），则

39、能带中仍有2 2 个轨道。第129页/共146页2.2.金属和绝缘体1 1金属 若一种固体，每个初基晶胞中包含一个一价原子，晶体中共有N N个初基晶胞，就有N N个价电子，这N N个价电子填充轨道时，只能填满一个能带中2N2N个轨道的一半，另一半是空的，同时其它能带也都是空带，半满的能带在外加电磁场下电子的运动状态可发生变化，对电流有贡献，这样的固体将是所谓的金属。第130页/共146页第131页/共146页 同理，若每个初基晶胞中有3 3个价电子，晶体中将有3N3N个价电子，可填满一个半能带，完全被电子填满的能带在外加电场下是惰性的，根据泡利原理，电子的状态不可能发生变化，而半满的能带中的电

40、子的状态可能发生变化，这样的固体仍是所谓的金属。第132页/共146页2 2绝缘体 若一种固体每个初基晶胞中有一个二价原子，在一个能带中有2N2N个价电子，这2N2N个价电子刚好填满一个能带，填满的能带在外加电场下是惰性的，这样的固体将形成绝缘体。第133页/共146页 同理，每个初基晶胞中若有两个2 2价原子，则4N4N个电子刚好填满两个能带，这样的固体仍是绝缘体。第134页/共146页3 3半金属半金属 若初基晶胞中包含的价电若初基晶胞中包含的价电子数是偶数这是可能形成绝子数是偶数这是可能形成绝缘体的必要条件，但不是充缘体的必要条件，但不是充分条件，不是说初基晶胞中分条件，不是说初基晶胞中

41、的价电子数是偶数时就一定的价电子数是偶数时就一定形成绝缘体，有时还可形成形成绝缘体，有时还可形成所谓的半金属。所谓的半金属。第135页/共146页第136页/共146页 在波矢空间的不同方向能带可重叠，电子填充时是不论方向而是先占据能量低的轨道，而不是先占据第一带，再占据第二带的，这样2N2N各价电子在填轨道时，可能在某个方向的第一带还未填满时，就去填另一个方向的第二带的少数轨道，使得某一方向的第一带同另一方向的第二能带都是部分填满的，也就是说，这2N2N个价电子本来是可以填满一个能带的，但由于能带的交叠，结果使两个能带都是部分填满的，两个能带在外场作用下对电流都有贡献，但总的贡献还是比较小，

42、这样的晶体称为半金属。第137页/共146页4 4半导体半导体在在0K0K时半导体都是绝缘时半导体都是绝缘体，半导体性能的出现，体，半导体性能的出现，主要是温度的升高，出现主要是温度的升高，出现热激发引起的。热激发引起的。第138页/共146页 在T=0K T=0K 时，若初基晶胞中的价电子数是偶数，在无能带交叠的情况下，能带非满带，即空带，我们把电子能填充的最高能带称为价带，而靠近价带的空带称为导带，半导体与绝缘体的差别在于半导体的禁带较小（能隙小），在温度升高时，一部分电子由于热激发跃迁到导带，在价带中出现少量空轨道，在导带中有少量电子，这样在外场作用下空轨道和电子对电流都有贡献，这样的固

43、体称为半导体，这种半导体称作本征半导体。第139页/共146页 还有一种半导体称为杂质半导体，是在族的SiSi、GeGe中掺入族或族元素形成的，SiSi、GeGe在T=0KT=0K时都是绝缘体，SiSi是金刚石结构，每个初基晶胞中有2 2个SiSi原子，SiSi是4 4价，每个初基晶胞有8 8个价电子，刚好填满4 4个能带。第140页/共146页 若掺入族元素后，在禁带中将会出现一些杂质能级，杂质的周期性与原物质的周期性不同，破坏了原物质的周期性，由于热激发杂质的价电子可能跃迁到导带中去，在外场作用下这些电子对电流有贡献，靠导带中的电子导电，这种半导体称为N N型半导体，族元素称为施主杂质。第141页/共146页 若在SiSi中掺入了族元素（称为受主杂质）满带顶部的电子由于热激发可跃迁到杂质轨道，形成空轨道，外加电场下对电流也有贡献，靠空轨道导电，这种半导体称为P P型半导体。第142页/共146页第143页/共146页第144页/共146页 第七章能带（I I）内容提要1.1.布洛赫定理2.2.周期场中电子的波动方程3.3.弱周期势场中的电子BZBZ边界 附近的近似解4.4.能隙5.5.能带的简约区、扩展区 和周期区图6.6.轨道密度7.7.金属和绝缘体第145页/共146页感谢您的观看！第146页/共146页