(19.1)--第18章整环分解.ppt

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1、1不可约元和素元不可约元和素元唯一分解环唯一分解环第第第第18181818章章章章 整环可分性整环可分性整环可分性整环可分性 (Divisibility in Integral Domains)(Divisibility in Integral Domains)第第1818章章 整环分解整环分解欧式环欧式环一、不可约元和素元一、不可约元和素元设设D是一个整环是一个整环.相伴相伴 D中两个元素中两个元素a,b 称为称为相伴相伴(associates),如果如果a=ub,u是是D单位单位.不可约不可约 D中的一个中的一个非零非单位元素非零非单位元素a称称为为不可约的不可约的(irreducible

2、),若只若只要要a=bc,其中其中b,cD,则必有则必有b或或c是单位是单位.素元素元 D中的一个中的一个非零非单位元素非零非单位元素a称为是称为是素元素元(prime),若只要若只要a|bc,其中其中b,cD,则必有则必有a|b 或或 a|c.2 不可约元和素元不可约元和素元设设D是一个整环是一个整环.相伴相伴 D中两个元素中两个元素a,b 称为称为相伴相伴(associates),如果如果a=ub,u是是D单位单位.不可约不可约 D中的一个中的一个非零非单位元素非零非单位元素a称称为为不可约的不可约的(irreducible),若只若只要要a=bc,其中其中b,cD,则必有则必有b或或c是

3、单位是单位.素元素元 D中的一个中的一个非零非单位元素非零非单位元素a称为是称为是素元素元(prime),若只要若只要a|bc,其中其中b,cD,则必有则必有a|b 或或 a|c.3 不可约元和素元不可约元和素元根据定义，可得如下简单观察：根据定义，可得如下简单观察：不可约元是仅有平凡分解的元素不可约元是仅有平凡分解的元素元素元素a是素元当且仅当是素元当且仅当 是素理想是素理想(素理想：交换环素理想：交换环R的一个真理想的一个真理想A称为是素理想，如果对任意的称为是素理想，如果对任意的b,cR,只要只要bc D,必有必有bD 或或cD)设设D是一个整环是一个整环.相伴相伴 D中两个元素中两个元

4、素a,b 称为称为相伴相伴(associates),如果如果a=ub,u是是D单位单位.不可约不可约 D中的一个中的一个非零非单位元素非零非单位元素a称称为为不可约的不可约的(irreducible),若只若只要要a=bc,其中其中b,cD,则必有则必有b或或c是单位是单位.素元素元 D中的一个中的一个非零非单位元素非零非单位元素a称为是称为是素元素元(prime),若只要若只要a|bc,其中其中b,cD,则必有则必有a|b 或或 a|c.4 不可约元和素元不可约元和素元整数环中素元和不可元等价整数环中素元和不可元等价(一个大于一个大于1 1的整数称是素数如果它的因子只的整数称是素数如果它的因

5、子只有有1 1和它自己和它自己)一般地，素元和不可约元是不等价的一般地，素元和不可约元是不等价的5 不可约元和素元不可约元和素元不可约元不一定是素元不可约元不一定是素元数论中的一类重要整环：数论中的一类重要整环：称称 为为 的的范数范数(norm).关于关于范数范数,如下事实成立如下事实成立(留作练习留作练习Ex1，读者自行验证，读者自行验证)例例1:中中 是是不可约不可约,但但不是素元不是素元.解解:由范数的由范数的定义知：定义知：6 不可约元和素元不可约元和素元不可约元不一定是素元不可约元不一定是素元定理定理 18.1:整环中整环中,素元一定不可约素元一定不可约.7 不可约元和素元不可约元

6、和素元证明证明:设设 a是整环是整环D中的素元中的素元,且且 a=bc,其中其中b,cD.那么那么,前者前者,后者后者,素元一定是不可约元素元一定是不可约元本次课到此结束谢谢！9不可约元和素元不可约元和素元唯一分解环唯一分解环第第第第18181818章章章章 整环可分性整环可分性整环可分性整环可分性 (Divisibility in Integral Domains)(Divisibility in Integral Domains)第第1818章章 整环分解整环分解欧式环欧式环定理定理 18.2:主理想整环中主理想整环中,一个元是不可约的当且仅当它是素元一个元是不可约的当且仅当它是素元.10

7、 不可约元和素元不可约元和素元一个整环称为是一个整环称为是主理想整环主理想整环(Principal Integer Domain),如果它的每个理如果它的每个理想都是主理想想都是主理想,即具有形式即具有形式.主理想整环简称为主理想整环简称为PID.PID中不可约元与素元等价中不可约元与素元等价证证:根据定理根据定理18.1,只需证必要性只需证必要性.令令a是主理想整环是主理想整环D中的一个不可约元中的一个不可约元.假假设设a|bc,其中其中b,cD.要证要证 a|b或或a|c.令令 因因D为为PID,所以所以显然显然aI.所以所以a=dr,其中其中rD.因为因为a不可约不可约,所以所以d或或r

8、是单位是单位.11 不可约元和素元不可约元和素元PID将整数环中素元与不可约等价的性保留下来将整数环中素元与不可约等价的性保留下来.那么那么,哪些环是哪些环是PID?Z,Fx是是PID,其中其中F是域是域.但但Zx不是不是PID.(.(见见第第16章章Ex.26)例例2:Zx 不是主理想整环不是主理想整环.证：证：假设假设Zx 是主理想整环是主理想整环,则则 12 不可约元和素元不可约元和素元Z,Zx具有所谓的唯一分解性具有所谓的唯一分解性:即每个大于即每个大于1的整数可唯一的分解为一些不的整数可唯一的分解为一些不可约元可约元(即素数即素数)的乘积的乘积;每个非零非单位整系数多项式可唯一分解为

9、一些每个非零非单位整系数多项式可唯一分解为一些不可约整系数多项式的乘积不可约整系数多项式的乘积.那么那么,是否所有的整环都具有唯一分解性？是否所有的整环都具有唯一分解性？一般整环中的唯一分解性问题最初起源于人们试图解决数论中著名问题一般整环中的唯一分解性问题最初起源于人们试图解决数论中著名问题费马大定理的努力中费马大定理的努力中.费马大定理的有关历史费马大定理的有关历史13 不可约元和素元不可约元和素元费马大定理的有关历史费马大定理的有关历史我们知道存在无数多个非零整数我们知道存在无数多个非零整数x,y,z满足方程满足方程:但是但是,当当n2时时,是否存在是否存在非非零整数零整数x,y,z满足

10、方程满足方程?没人能发现该方程有解没人能发现该方程有解,而人们花了三个多世纪试图证明该方程无解而人们花了三个多世纪试图证明该方程无解,其中其中包括欧拉、勒让德、阿贝尔、高斯、狄利克雷、柯西、希尔伯特等大数包括欧拉、勒让德、阿贝尔、高斯、狄利克雷、柯西、希尔伯特等大数学家学家.这些努力极大的推动了环论的发展这些努力极大的推动了环论的发展.大约大约10001000年前年前,阿拉伯数学家们给出了上述方程在阿拉伯数学家们给出了上述方程在n=3n=3时无解的错误证明时无解的错误证明.直到直到16371637年，法国数学家费马在一本书的页边空白处中写到：年，法国数学家费马在一本书的页边空白处中写到：“一个

11、整数的三次方不能为两个整数的立方和，一个整数的四次方不能为两一个整数的三次方不能为两个整数的立方和，一个整数的四次方不能为两个整数的四次方的和个整数的四次方的和.一般地，一个整数的任意一般地，一个整数的任意(高于高于2)2)次幂不能为其它两次幂不能为其它两个整数的相同次幂的和个整数的相同次幂的和.我已发现一个不可思议的证明，但这个空白处实在我已发现一个不可思议的证明，但这个空白处实在太窄，而不能将其全部写出太窄，而不能将其全部写出.”14 不可约元和素元不可约元和素元费马大定理的有关历史费马大定理的有关历史正是因为费马没有给出证明，许多数学家试图证明这一结果正是因为费马没有给出证明，许多数学家

12、试图证明这一结果.1770年年,欧拉解决了欧拉解决了n=3的情形的情形(他的证明不完全他的证明不完全)n=4的情形比较简单，费马自己解决了的情形比较简单，费马自己解决了n=5的情形于的情形于1825年被狄利克雷年被狄利克雷(刚满刚满20岁岁)和勒让德和勒让德(70多岁多岁)独立解决独立解决.由于一旦对于某个整数无解，对于该整数的所有倍数都无解由于一旦对于某个整数无解，对于该整数的所有倍数都无解.所以下一个所以下一个有趣的情形是有趣的情形是n=7.1839年年Gabriel Lame解决了这一情形解决了这一情形.1847年年,Gabriel Lame宣称完全解决这一问题宣称完全解决这一问题.他的

13、主要方法是将他的主要方法是将 其中其中p为奇素数为奇素数,分解为：分解为：其中其中 因此这个分解在因此这个分解在 中中进进行行.但但Lame犯了一个错误，即假设这个环中犯了一个错误，即假设这个环中分解具有唯一性分解具有唯一性.Kummer首先首先证明这个环不具有唯一分解性证明这个环不具有唯一分解性.后来后来，Kummer改进了改进了Lame的方法，解决了的方法，解决了n100且且n37,59,67,74的情形的情形.他他的方法也的方法也成为当今成为当今解决该问题的核心思想解决该问题的核心思想.15 不可约元和素元不可约元和素元费马大定理的有关历史费马大定理的有关历史1988年年3月月,Yoic

14、hi Miyaoka关于该定理的证明被新闻报纸和科学出版物广关于该定理的证明被新闻报纸和科学出版物广为报道为报道.然而，几个星期后，该证明被发现是错误的然而，几个星期后，该证明被发现是错误的.1993年年7月月,普里斯顿大学的普里斯顿大学的Andrew Wiles宣称证明了费马大定理宣称证明了费马大定理.普林斯普林斯顿大学数学首席教授说：顿大学数学首席教授说：“When we heared it,people started walking on air.”但再一次，这个证明没经得住严格的检验但再一次，这个证明没经得住严格的检验.幸运的是，幸运的是，Wiles和和Richard Taylor于

15、于1994年给出了其证明的修改版本年给出了其证明的修改版本.最终被数学界普遍认最终被数学界普遍认为是正确的为是正确的.这里要指出的是许多数学家在证明费马大定理所犯的错误是假设整数的这里要指出的是许多数学家在证明费马大定理所犯的错误是假设整数的一些性质，如唯一分解性在一般的整环中成立一些性质，如唯一分解性在一般的整环中成立.“当我们获知该消息时，人们高兴的有些飘飘然了。当我们获知该消息时，人们高兴的有些飘飘然了。”本次课到此结束谢谢！17不可约元和素元不可约元和素元唯一分解环唯一分解环第第第第1818章章章章 整环分解整环分解整环分解整环分解 (Divisibility in Integral

16、Domains)(Divisibility in Integral Domains)第第1818章章 整环分解整环分解欧式环欧式环二、唯一分解整环二、唯一分解整环唯一分解整环唯一分解整环(Unique Factorization Domain,UFD)整环整环D称为称为唯一分解整环唯一分解整环,如果如果 (1)D中每一中每一非零非单位元非零非单位元都可写成都可写成不可约元之积不可约元之积;(2)在在不区分相伴和不考虑因子顺序意义下不区分相伴和不考虑因子顺序意义下,分解唯一分解唯一.唯一分解环唯一分解环18(2)的具体意义：的具体意义：若若 和和 为某个元素的两个不可约分解为某个元素的两个不可约

17、分解,其中任意两个不其中任意两个不同的同的 不相伴不相伴,任意两个不同的任意两个不同的 也不相伴也不相伴,那么那么r=s,且对每个且对每个 ,有有且仅有一个且仅有一个 使得使得 相伴相伴,且且 Z和和Fx均是均是UFQ下面我们将证明下面我们将证明PID必为必为UFQ.引理引理:任意主理想整环中不存在任意主理想整环中不存在理想理想的的无限严格增链无限严格增链 .证证:设设 是主理想整环是主理想整环D中理想的严格增链中理想的严格增链,令令 ,则可验证则可验证I 是理想是理想(留作练习留作练习Ex3,读者自行完成读者自行完成).因为因为D D为主理想整环为主理想整环,存在存在aD使得使得 .从而存在

18、从而存在n,使得使得即理想增链即理想增链 最长长度为最长长度为n.唯一分解环唯一分解环19先来证明如下引理先来证明如下引理定理定理 18.3:每个主理想整环每个主理想整环都都是唯一分解整环是唯一分解整环.唯一分解环唯一分解环20证证：可分解性：设可分解性：设D D是一个主理想整环是一个主理想整环,为一个非零非单位元为一个非零非单位元.断言断言1 1：至少含有一个不可约因子至少含有一个不可约因子.若若 不可约不可约,断言成立断言成立.故可设故可设 如果如果 可约可约,则可设则可设 重复上述讨论重复上述讨论,得到两个非零得到两个非零非单位元序列非单位元序列 和和 满足满足 .这样可知这样可知为一个

19、严格理想增链为一个严格理想增链.由上边引理知由上边引理知,这个链长度必有限这个链长度必有限,所以所以 现在设现在设 继续讨论可知继续讨论可知 为一个严格理想增链为一个严格理想增链.由上边引理知由上边引理知,这个链长度这个链长度必有限必有限,若若=,则存在则存在cD,使得使得a1=a0c,从而从而,a0=b1a1=b1a0c,即即1=b1c,导致导致b1为单位为单位,矛盾矛盾.唯一分解环唯一分解环定理定理 18.3:每个主理想整环每个主理想整环都都是唯一分解整环是唯一分解整环.分解唯一性分解唯一性:设设 对对r用用归纳法归纳法.当当r=1=1时时,设设r1.作为上述定理的直接推论作为上述定理的直

20、接推论,可得如下结论可得如下结论.推论推论:令令F是域是域,则则Fx是唯一分解整环是唯一分解整环.本次课到此结束谢谢！23不可约元和素元不可约元和素元唯一分解环唯一分解环第第第第1818章章章章 整环分解整环分解整环分解整环分解 (Divisibility in Integral Domains)(Divisibility in Integral Domains)第第1818章章 整环分解整环分解欧式环欧式环例例3:是整环但不是唯一分解整环是整环但不是唯一分解整环.证明证明:容易验证容易验证 是整环是整环.由范数的定义知：由范数的定义知：所以所以,2 2和和 但是但是24 不可约元和素元不可约

21、元和素元存在整环但不是存在整环但不是UFD例例4:是一个整环但不是唯一分解整环是一个整环但不是唯一分解整环.证明留作练习证明留作练习,读者自行完成读者自行完成.定理定理18.3存在性部分的证明存在性部分的证明,只用到每个只用到每个PID中中不存在理想的无限严格不存在理想的无限严格增链增链这一性质这一性质.不存在理想的无限严格增链的整环称诺特整环不存在理想的无限严格增链的整环称诺特整环(Noetherian).诺特整环在代数几何中非常重要诺特整环在代数几何中非常重要,原因之一就是对许多重要的环原因之一就是对许多重要的环R,Rx是诺特整环是诺特整环,但不是但不是PID.比如比如Zx.唯一分解环唯一

22、分解环25问题：对于哪些不被素数平方整除的负整数问题：对于哪些不被素数平方整除的负整数d,是是UFQ?答案：答案：d=-1或或-2.证明请见证明请见H.M.Stark,An Introduction to Number Theory,Chicago:Markham 1970,p.297.d=-1的情形由的情形由Guass首次给出证明首次给出证明.例例5:令令 设有素数设有素数 p,使得使得 则则 f(x)在在Q上不可约上不可约.应用定理应用定理18.3,还可以给出还可以给出Eisentein判别法的新的巧妙证明判别法的新的巧妙证明.唯一分解环唯一分解环26本次课到此结束谢谢！28不可约元和素元

23、不可约元和素元唯一分解环唯一分解环第第第第1818章章章章 整环分解整环分解整环分解整环分解 (Divisibility in Integral Domains)(Divisibility in Integral Domains)第第1818章章 整环分解整环分解欧式环欧式环三、欧氏环三、欧氏环 整环整环D称称欧氏整环欧氏整环(Euclidean domain(ED),若存在一个从若存在一个从D的的非零元非零元集合集合到到非负整数集合非负整数集合的映射的映射d 满足满足:(1)(2)例例3:整数环是欧式环整数环是欧式环,其中其中d(a)=|a|.例例4:F是域是域,Fx是欧式环是欧式环,其中其

24、中 欧式环欧式环29Z和和Fx的相似性的相似性 欧式环欧式环30例例5：高斯整数环高斯整数环 是欧氏环是欧氏环.证明：证明：对任意的对任意的a+biZi,令令 则对任意的则对任意的x,yZi,可验证可验证d(xy)=d(x)d(y)(见见Ex.7,读者自行完成读者自行完成),从而从而d(x)d(xy).ED-(1)满足满足 欧式环欧式环31下面证明下面证明ED-(2)满足满足.首先注意到首先注意到 定理定理 18.4:欧式环是一个主理想环欧式环是一个主理想环.推论推论:欧式环是唯一分解整环欧式环是唯一分解整环.欧式环欧式环32证证:设设D是一个欧式环是一个欧式环,I是是D的非零理想的非零理想.

25、在在I所有非零元中所有非零元中,取取 使得使得d(a)最小最小.因因D为欧氏环为欧氏环,但是但是 所以所以D为为主理想主理想整环整环.总结一下：欧式环总结一下：欧式环主理想环主理想环唯一分解环唯一分解环,但反之都不成立但反之都不成立.已已有有是是UFD但但不不是是PID的的例例子子.对对于于是是PID但但不不是是ED的的例例子子比比较较难难构构造造,可可见见The American Mathematical Monthly 95(1988)868-871.定理定理 18.5:若若D是唯一分解整环是唯一分解整环,则则Dx是唯一分解整环是唯一分解整环.欧式环欧式环33本本章章最最后后，介介绍绍一一大大类类唯唯一一分分解解整整环环.第第17章章证证明明Zx是是UFD.下下面面的的定定理理是是这个结果的推广这个结果的推广,其证明类似于前边的结果其证明类似于前边的结果,略去证明略去证明.本次课到此结束谢谢！