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1、材料力学第三章扭转本讲稿第一页，共四十六页主要内容和重点主要内容和重点:扭转的概念扭转的概念外力偶的计算、扭矩、扭矩图外力偶的计算、扭矩、扭矩图纯剪切纯剪切圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的刚度计算圆轴扭转时的刚度计算本讲稿第二页，共四十六页3-1 3-1 引言引言请判断哪一杆件请判断哪一杆件将发生扭转？将发生扭转？当两只手用力相等时，当两只手用力相等时，当两只手用力相等时，当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产拧紧螺母的工具杆将产拧紧螺母的工具杆将产拧紧螺母的工具杆将产生扭转。生扭转。生扭转。生扭转。本讲稿第三页，共四十六页拧紧螺母的工具杆不仅拧紧螺母的工具杆不仅拧紧螺母

2、的工具杆不仅拧紧螺母的工具杆不仅产生扭转，而且产生弯产生扭转，而且产生弯产生扭转，而且产生弯产生扭转，而且产生弯曲变形。曲变形。曲变形。曲变形。请判断哪一杆件将发生扭转？请判断哪一杆件将发生扭转？本讲稿第四页，共四十六页连接汽轮机和发电连接汽轮机和发电连接汽轮机和发电连接汽轮机和发电机的传动轴将产生机的传动轴将产生机的传动轴将产生机的传动轴将产生扭转。扭转。扭转。扭转。请判断哪一杆件将发生扭转？请判断哪一杆件将发生扭转？本讲稿第五页，共四十六页受力特点：作用于横截面上的是力偶受力特点：作用于横截面上的是力偶变形特点：横截面绕轴线变形特点：横截面绕轴线相对转动相对转动圆轴受力与变形特点圆轴受力与

3、变形特点本讲稿第六页，共四十六页功率、转速和扭矩间关系功率、转速和扭矩间关系MeMe设轴的传输功率为设轴的传输功率为P（千瓦或马力）千瓦或马力）转速为转速为n（转转/分、分、r/min）WMe2nt/60PW/t=Me2n/60 若功率的单位为千瓦：若功率的单位为千瓦：Me=9549P/n(N.m)若功率的单位为马力若功率的单位为马力:Me=7024P/n(N.m)3-2 3-2 动力传递与扭矩动力传递与扭矩本讲稿第七页，共四十六页思考：思考：汽车起步或爬坡时，为什么要汽车起步或爬坡时，为什么要“抵挡行车抵挡行车”?PW/t=Me2n/60 本讲稿第八页，共四十六页扭矩扭矩 扭矩图扭矩图扭矩扭

4、矩(T)：杆件扭转时横截面上的内力。杆件扭转时横截面上的内力。截面法截面法符号：符号：右手螺旋法则右手螺旋法则 扭矩矢量方向与截面外法扭矩矢量方向与截面外法线方向一致，则扭矩为正线方向一致，则扭矩为正扭矩图扭矩图oTx本讲稿第九页，共四十六页例题例题1：已知已知A、B、C的传输功率为的传输功率为PA4kW PB=10kW PC=6kW n=500r/min。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。1.外力偶矩外力偶矩2.扭矩扭矩3.画扭矩图画扭矩图T176.4N.mT2=114.6N.m本讲稿第十页，共四十六页3.1 薄壁圆筒扭转时的剪应力：薄壁圆筒扭转时的剪应力：3-3 3-3 切应力互等定理与剪切

5、胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律本讲稿第十一页，共四十六页3.2 纯剪切与切应力互等定理：纯剪切与切应力互等定理：剪应力互等定理剪应力互等定理纯剪切状态纯剪切状态本讲稿第十二页，共四十六页3.3 剪切胡克定律剪切胡克定律m剪切胡克定律剪切胡克定律G：比例系数，材料的剪切（变）模量比例系数，材料的剪切（变）模量本讲稿第十三页，共四十六页3-4 3-4 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 应力分布应力分布应力公式应力公式变变 形形应变分布应变分布平面假定平面假定平面假定平面假定物性关系物性关系物性关系物性关系静力方程静力方程静力方程静力方程变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力

6、学关系静力学关系本讲稿第十四页，共四十六页几何方面几何方面平面假设平面假设:圆轴扭转时，横截面仍保持平面，半径保持直线，圆轴扭转时，横截面仍保持平面，半径保持直线，圆轴扭转时，横截面仍保持平面，半径保持直线，圆轴扭转时，横截面仍保持平面，半径保持直线，横截面就象刚性平面一样，只绕轴线转过一个角度。横截面就象刚性平面一样，只绕轴线转过一个角度。横截面就象刚性平面一样，只绕轴线转过一个角度。横截面就象刚性平面一样，只绕轴线转过一个角度。本讲稿第十五页，共四十六页cc/=d （R）cc/ac=d rdx=d dx 横截面上任意点处的剪应变与该点到圆心横截面上任意点处的剪应变与该点到圆心横截面上任意点

7、处的剪应变与该点到圆心横截面上任意点处的剪应变与该点到圆心的距离成正比的距离成正比的距离成正比的距离成正比本讲稿第十六页，共四十六页G G ddx物理关系：物理关系：G 横截面上任意点处的剪应力与该点到圆心的横截面上任意点处的剪应力与该点到圆心的横截面上任意点处的剪应力与该点到圆心的横截面上任意点处的剪应力与该点到圆心的距离成正比，所有距圆心距离相等的点，剪应力距离成正比，所有距圆心距离相等的点，剪应力距离成正比，所有距圆心距离相等的点，剪应力距离成正比，所有距圆心距离相等的点，剪应力均相同。（同一圆周上各点的剪应力大小相等）均相同。（同一圆周上各点的剪应力大小相等）均相同。（同一圆周上各点的

8、剪应力大小相等）均相同。（同一圆周上各点的剪应力大小相等）()=ddx本讲稿第十七页，共四十六页G G ddx本讲稿第十八页，共四十六页静力关系静力关系GIp扭转刚度扭转刚度Ip 截面的极惯性矩截面的极惯性矩本讲稿第十九页，共四十六页切应力公式和强度准则切应力公式和强度准则Wp 扭转截面模量。扭转截面模量。本讲稿第二十页，共四十六页思考与讨论：下面那个切应力图表示思考与讨论：下面那个切应力图表示正确？正确？TTTT本讲稿第二十一页，共四十六页实心轴：实心轴：3-5 3-5 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数空心轴：空心轴：本讲稿第二十二页，共四十六页例例题题1：图图示示实实心心圆圆轴

9、轴承承受受外外加加扭扭力力矩矩T，已已知知T=3kNm。试试求求：1轴轴横横截截面面上上的的最最大大剪剪应应力力；2去去掉掉r=15mm以以内内部部分分，横横截截面上的最大剪应力增加的百分比。面上的最大剪应力增加的百分比。本讲稿第二十三页，共四十六页3-6 3-6 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件扭转极限应力：扭转极限应力：包括扭转屈服应力和扭转强度极限包括扭转屈服应力和扭转强度极限轴的扭转强度条件：轴的扭转强度条件：圆轴的合理截面设计：圆轴的合理截面设计：本讲稿第二十四页，共四十六页例题例题例题例题2 2 2 2：已知：已知：已知：已知：N N7.5kW,7.5kW,n n=10

10、0r/min,=100r/min,许用剪应力许用剪应力4040MPa,MPa,空心圆轴的内外径之比空心圆轴的内外径之比 =0.5=0.5。求求求求:实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外径和空心轴的外径D D2 2。NT=9549n7.5=9549 100=716.2 N.m=0.045 m=45 mm max=Wt116 TT=d13=40 MPad1 16 716.2 40 1063实心圆截面：实心圆截面：强度条件：强度条件：本讲稿第二十五页，共四十六页 max=40 MPaWt2M16 M=D3(1-4)=0.046 m=46 mmD=16 716.2 (1-0.5 4)40

11、106d =0.5D=23 mmA1A2=d12D2(1-2)=1.28为什么承受同样的外力偶矩，为什么承受同样的外力偶矩，空心轴比实心轴更合理空心轴比实心轴更合理 空心圆截面：空心圆截面：3本讲稿第二十六页，共四十六页作业作业3-2;3-4;3-5习题要求习题要求1）要抄题，画原图；）要抄题，画原图；2）用铅笔、直尺作图）用铅笔、直尺作图本讲稿第二十七页，共四十六页3-7 3-7 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 扭转变形用两个横截面绕轴线的相对扭转变形用两个横截面绕轴线的相对扭转角表示扭转角表示本讲稿第二十八页，共四十六页相距相距dx的两横截面间扭转角：的两横截面间扭转角：相距

12、相距L的两横截面间扭转角：的两横截面间扭转角：若两横截面间扭矩不变若两横截面间扭矩不变单位：弧度单位：弧度 GIP：抗扭刚度抗扭刚度本讲稿第二十九页，共四十六页刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件（单位长度的扭转角）（单位长度的扭转角）本讲稿第三十页，共四十六页1kN.m 2kN.m 3.5kN.m 0.5kN.m例题例题3:已知轴的直径已知轴的直径d=10cm，G=80GPa，a=0.5m，求求（1）画扭矩图（）画扭矩图（2）max（3）CD两截面间扭转角两截面间扭转角 CD、AD两截面间扭转角两截面间扭转角 AD2aa4aABCD本讲稿第三十一页，共四十六页1kN.m 2kN.m 3.5kN.

13、m 0.5kN.m例题例题3:已知轴的直径已知轴的直径d=10cm，G=80GPa，a=0.5m，求求（1）画扭矩图（）画扭矩图（2）max（3）CD两截面间扭两截面间扭转角转角 CD、AD两截面间扭转角两截面间扭转角 AD2aa4aABCD1kN N.m3kN N.m0.5kN N.m+-解解:T本讲稿第三十二页，共四十六页1kN.m 2kN.m 3.5kN.m 0.5kN.m例题例题例题例题3:3:已知轴的直径已知轴的直径已知轴的直径已知轴的直径d=10cmd=10cm，G=80GPaG=80GPa，a=0.5ma=0.5m，求求求求（1 1）画扭矩图）画扭矩图）画扭矩图）画扭矩图（2 2

14、）maxmax（3 3）CDCD两截面间扭转角两截面间扭转角两截面间扭转角两截面间扭转角 CDCD、ADAD两截面间扭转角两截面间扭转角两截面间扭转角两截面间扭转角 ADAD2aa4aABCD1kN N.m3kN N.m0.5kN.m+-本讲稿第三十三页，共四十六页1kN.m 2kN.m 3.5kN.m 0.5kN.m2aa4aABCD1kN N.m3kN N.m0.5kN.m+-例题例题例题例题3:3:已知轴的直径已知轴的直径已知轴的直径已知轴的直径d=10cmd=10cm，G=80GPaG=80GPa，a=0.5ma=0.5m，求求求求（1 1）画扭矩）画扭矩）画扭矩）画扭矩图（图（图（图

15、（2 2）maxmax（3 3）CDCD两截两截两截两截面间扭转角面间扭转角面间扭转角面间扭转角CDCD、ADAD两两两两截面间扭转角截面间扭转角截面间扭转角截面间扭转角 ADAD本讲稿第三十四页，共四十六页例题例题例题例题4:4:4:4:已知传动轴主动轴输出功率已知传动轴主动轴输出功率P PB B60kW n=300r/min 60kW n=300r/min P PA A=P=PC C=P=PD D=20kW =20kW 轴为直径轴为直径d d=55mm=55mm的实心轴的实心轴 G=80GPa G=80GPa =40MPa =1=40MPa =10 0/m /m 试校核该轴。试校核该轴。本

16、讲稿第三十五页，共四十六页1.求外力偶矩求外力偶矩2.画扭矩图画扭矩图 Tmax=1273N.m3.校核校核例题例题例题例题4:4:4:4:已知传动轴主动轴输出功率已知传动轴主动轴输出功率P PB B60kW n=300r/min 60kW n=300r/min P PA A=P=PC C=P=PD D=20kW =20kW 轴为直径轴为直径d d=55mm=55mm的实心轴的实心轴 G=80GPa G=80GPa =40MPa =1=40MPa =10 0/m /m 试校核该轴。试校核该轴。本讲稿第三十六页，共四十六页例题例题例题例题5:5:图示等截面实心圆轴图示等截面实心圆轴图示等截面实心

17、圆轴图示等截面实心圆轴,已知外力偶矩已知外力偶矩已知外力偶矩已知外力偶矩MMB B=400=400N.m,MN.m,MC C=600N.m=600N.m，G=80GPaG=80GPa，=40MPa=40MPa，=0.25 0.25 0 0/m/m。试确定轴的直径试确定轴的直径试确定轴的直径试确定轴的直径.MBAD50050012501250MC750750本讲稿第三十七页，共四十六页MBAD50050012501250MC750750MBMCMDMA解解:受力分析及平衡方程受力分析及平衡方程:作扭矩图作扭矩图MA=20N.m,MD=220N.m MMA A(M(MA A MMB B)MMD D

18、变形协调方程变形协调方程:T例题例题例题例题5:5:图示等截面实心圆轴图示等截面实心圆轴图示等截面实心圆轴图示等截面实心圆轴,已知外力偶矩已知外力偶矩已知外力偶矩已知外力偶矩MMB B=400=400N.m,MN.m,MC C=600N.m=600N.m，G=80GPaG=80GPa，=40MPa=40MPa，=0.25 0.25 0 0/m/m。试确定轴的直径试确定轴的直径试确定轴的直径试确定轴的直径.本讲稿第三十八页，共四十六页50050012501250750750MBMCMDMAMA=20N.m,MD=220N.m 220220N.mN.m380380N.mN.m T 20N.mT 2

19、0N.m+-强度条件强度条件:刚度条件刚度条件:本讲稿第三十九页，共四十六页MM0ABCL1L2例题例题6:已知已知 L1=1.5m,L2=1m,d1=70mm,d2=50mm,=60MPa，G 1=G 1=G。试求试求:M0CM0ABMAMC解解:平衡方程平衡方程:变形协调方程变形协调方程:本讲稿第四十页，共四十六页CM0ABMAMC例题例题例题例题6:6:已知已知已知已知 L L1 1=1.5m,L=1.5m,L2 2=1m,=1m,d d1 1=70mm,d=70mm,d2 2=50mm,=50mm,=60MPa=60MPa。试试试试求求求求:MM0 0 本讲稿第四十一页，共四十六页例题

20、例题7：已知凸缘联轴节用螺栓连接，轴的已知凸缘联轴节用螺栓连接，轴的max=70MPa 直直径径d1=10cm 螺栓直径螺栓直径d22 cm 2=40MPa。D=20cm。试确试确定所需螺栓个数。定所需螺栓个数。1.确定确定Tmax2.螺栓受力、变形螺栓受力、变形PP由螺栓剪切强度条件：由螺栓剪切强度条件：得得n=7.3 取取n=8TP本讲稿第四十二页，共四十六页6.6.非圆截面扭转的概念非圆截面扭转的概念本讲稿第四十三页，共四十六页 剪应力计算公式剪应力计算公式 画扭矩图画扭矩图 外加扭矩处发生突变外加扭矩处发生突变本章总结本章总结 =d d/D D本讲稿第四十四页，共四十六页本章总结续本章总结续 扭转强度条件扭转强度条件 扭转刚度条件扭转刚度条件 轴的动力传递轴的动力传递本讲稿第四十五页，共四十六页习题习题3-10；3-11；3-191）要抄题，画原图；）要抄题，画原图；2）用铅笔、直尺作图）用铅笔、直尺作图习题要求习题要求本讲稿第四十六页，共四十六页