第7章 S域分析2.ppt

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1、Signals and Systems1主讲：童耀南13875874445 电子与通信工程系2011年11月第七章第七章 信号与系统的复频域分析信号与系统的复频域分析Signals and Systems2第第七七章章 信号与系统的复频域分析信号与系统的复频域分析7.1 连续时间信号的复频域分析7.2 连续时间系统响应的复频域分析7.3 连续时间系统函数与系统特性7.4 连续系统的模拟Signals and Systems37.1 连续时间信号的复频域分析从傅立叶变换到拉普拉斯变换从傅立叶变换到拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换及其存在的条件单边拉普拉斯变换及其存在的条件常用信号的拉普拉斯变换常用信

2、号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系拉普拉斯变换反变换拉普拉斯变换反变换Signals and Systems4一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换f(t)=etu(t)0的傅里叶变换？将将f(t)乘以衰减因子乘以衰减因子e-t若 不存在!Signals and Systems5推广到一般情况推广到一般情况令s=+j定义：定义：对 f(t)e-t求傅里叶反变换可推出拉普拉斯正变换拉普拉斯反变换Signals and Systems6拉普拉斯变换符号表示及物理含义拉普拉斯变换符号表示及物理含义符号表示：物理意义：物理意义：信号f(t)可分解成复指数est的线性组

3、合F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。Signals and Systems7关于积分下限的说明：关于积分下限的说明：二、单边拉普拉斯变换及其二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件存在的条件积分下限定义为积分下限定义为零的左极限零的左极限，目的在于分析，目的在于分析和计算时可以直接利用起始给定的和计算时可以直接利用起始给定的0 0-状态。状态。单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换Signals and Systems8单边拉普拉斯变换存在的条件对任意信号f(t)，若满足上式，则 f(t)应满足(0)充分条件为：Signals and Systems9

4、0称收敛条件称收敛条件收敛区j00称绝对收敛坐标称绝对收敛坐标右半平面左半平面S平面平面Signals and Systems10 例例 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域分析：求收敛域即找出满足的取值范围。收敛域为全S平面不存在Signals and Systems11（1 1）指数型函数）指数型函数e t u(t)三、常用信号的拉普拉斯变换同理：Signals and Systems12正弦信号正弦信号Signals and Systems13(2)(2)阶跃函数阶跃函数u(t)Signals and Systems14Signals and Systems1

5、5(4)(4)t的正幂函数的正幂函数t n,n为正整数为正整数根据以上推理,可得Signals and Systems16常用信号的单边拉氏变换常用信号的单边拉氏变换Signals and Systems17常用信号的单边拉氏变换常用信号的单边拉氏变换Signals and Systems18常用信号的单边拉氏变换常用信号的单边拉氏变换Signals and Systems19常用信号的单边拉氏变换常用信号的单边拉氏变换Signals and Systems20四、拉普拉斯变换与傅里叶四、拉普拉斯变换与傅里叶变换变换的关系的关系例计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换解：时域信号傅里叶变换 拉

6、普拉斯变换不存在Signals and Systems21结论：结论：（1）当收敛域包含轴时，拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。（2）当收敛域不包含轴时，拉普拉斯变换存在而傅里叶变换不存在。（3）当收敛域的收敛边界位于轴时，拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。Signals and Systems23五、拉普拉斯变换的性质1 1、线性特性、线性特性若若则则Signals and Systems242 2、展缩特性、展缩特性若若则则Signals and Systems253 3、时移特性、时移特性若若则则Signals and Systems264 4、卷积特性、卷积特性Signals and Sy

7、stems275 5、乘积特性、乘积特性Signals and Systems28乘积性质两种特殊情况：乘积性质两种特殊情况：6.指数加权性质指数加权性质若则7.线性加权性质线性加权性质Signals and Systems298 8、微分特性、微分特性证明Signals and Systems30重复应用微分性质，求得：重复应用微分性质，求得：若f(t)=0,t0,则有f r(0-)=0，r=0,1,2,.Signals and Systems319 9、积分特性、积分特性若f-1(0-)=0，则有Signals and Systems32证明证明其中，右边第一项第二项按部分分式，得Sign

8、als and Systems331010、初值定理和终值定理、初值定理和终值定理Signals and Systems34作业：作业：7-1 (1)(2)(6)(7)7-3 (a)(c)7-4 7-8 (1)(2)(3)(4)Signals and Systems35六、拉普拉斯反变换六、拉普拉斯反变换部分分式展开法部分分式展开法计算拉普拉斯反变换方法：计算拉普拉斯反变换方法：1.利用复变函数中的留数定理2.采用部分分式展开法Signals and Systems36例 采用部分分式展开法求下列的反变换Signals and Systems37解：解：F(s)为有理真分式，极点为一阶极点。S

9、ignals and Systems38Signals and Systems39F(s)为有理假分式,将F(s)化为有理真分式Signals and Systems40归纳：归纳：(1)F(s)为有理真分式(m n)，若极点为一阶极点一阶极点Signals and Systems41(2)F(s)为有理真分式(m n)，若极点为r重阶极点重阶极点Signals and Systems42(3)F(s)为有理假分式有理假分式(m n)为真分式，根据极点情况按(1)或(2)展开。Signals and Systems43例 求下列F(s)的反变换Signals and Systems44解：解：

10、Signals and Systems45令s2=q,Signals and Systems46k2,k3用待定系数法求Signals and Systems47信号的复频域分析小结信号的复频域分析小结信号的复频域分析实质是将信号分解为复指数信号的线性组合。信号的复频域分析使用的数学工具是拉普拉斯变换。利用基本信号的复频谱和拉普拉斯变换的性质可对任意信号进行复频域分析。复频域分析主要用于线性系统线性系统的分析。Signals and Systems487.2 连续系统响应的复频域分析微分方程描述系统的微分方程描述系统的S S域分析域分析电路的电路的S S域模型域模型Signals and Sy

11、stems49微分方程描述系统的s域分析时域差分方程时域差分方程时域响应时域响应y(t)s域响应域响应Y(s)拉拉氏氏变变换换拉拉氏氏反反变变换换解微分方程解代数方程s域代数方程域代数方程Signals and Systems50二阶系统响应的S域求解已知 f(t)，y(0-)，y(0-)，求y(t)。(1)经拉氏变换将时域微分方程变换为s域代数方程(2)求解s域代数方程，求出Yx(s),Yf(s)(3)拉氏反变换，求出响应的时域表示式求解步骤：求解步骤：Signals and Systems51Yx(s)Yf(s)y”(t)a1y(t)a2y(t)Signals and Systems52

12、系统的微分方程为系统的微分方程为y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t)激励f(t)=e-tu(t)，初始状态y(0-)=3，y(0-)=2，求响应y(t)。例例1 1：Signals and Systems53解解 ：对微分方程取拉氏变换可得：对微分方程取拉氏变换可得Signals and Systems54Signals and Systems55电路的电路的s s域模型域模型时域时域复频域复频域Signals and Systems56R、L、C串联形式的串联形式的s域模型域模型Signals and Systems57 例例2 2图示电路初始状态为图示电路初始状态为vc

13、(0(0-)=-)=-E,求电容两端电压求电容两端电压 vc(t t)解：解：建立电路的s域模型由s域模型写回路方程求出回路电流电容电压为Signals and Systems587.3 7.3 系统函数系统函数H(s)与系统特性与系统特性系统函数系统函数H(s)系统函数的定义 H(s)与h(t)的关系 s域求零状态响应 求H(s)的方法零极点与系统时域特性零极点与系统时域特性零极点与系统频响特性零极点与系统频响特性连续系统的稳定性连续系统的稳定性Signals and Systems59一、系统函数一、系统函数H(s)(1)定义：系统在零状态条件下，输出的拉氏变换式与输入的拉式变换式之比，记

14、为H(s)。(2)H(s)与h(t)的关系：h(t)f(t)yf(t)=f(t)*h(t)Signals and Systems60(3)求零状态响应：(4)求H(s)的方法：由系统的冲激响应求解：H(s)=Lh(t)由系统的微分方程写出H(s)h(t)H(s)f(t)yf(t)=f(t)*h(t)F(s)Yf(s)=F(s)H(s)由定义式一、系统函数一、系统函数H(s)Signals and Systems61二、零极点与时域特性零极点分布图零极点分布图极点零点Signals and Systems62j0u(t)e-t u(t)et u(t)1-1H(s)与与h(t)的关系的关系3111

15、1)位于位于s s 轴的单极点轴的单极点Signals and Systems632)共轭单极点共轭单极点j0-11sin(t)e-t u(t)sin(t)et u(t)sin(t)u(t)1-1Signals and Systems64三、零极点与系统频响特性 频响特性是指系统在正弦信号激励之下频响特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。稳态响应随信号频率的变化情况。系统稳定时，令H(s)中 s=j，则得系统频响特性频响特性幅频特性相频特性Signals and Systems65系统频响特性对于零极增益表示的系统函数当系统稳定时，令s=j，则得Signals and S

16、ystems66复数复数a和和b及及a-b的向量表示的向量表示系统函数的向量表示系统函数的向量表示Signals and Systems67 例例已知已知，求系统的频响特性。，求系统的频响特性。解解Signals and Systems68四、H(s)与系统的稳定性因果系统因果系统在s域有界输入有界输出(BIBO)的充要条件是系统函数H(s)的全部极点极点位于的 左半左半s平面平面。连续时间LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是Signals and Systems69例例判断下述系统是否稳定。判断下述系统是否稳定。（1）极点为s=-1和s=-2，都在s左半平面。显然输出也有界，所以系统稳定。

17、若激励为有界输入u(t)，则其输出为解:Signals and Systems70（2）极点为j0，是虚轴上的一对共轭极点。显然，输出不是有界信号，所以系统不稳定。若激励为有界输入sin(0 t)u(t)，则其输出为Signals and Systems71 7.4 7.4 连续时间系统的模拟连续时间系统的模拟系统的基本联接系统的基本联接系统的级联系统的并联反馈环路连续系统的模拟框图连续系统的模拟框图直接型结构级联型结构并联型结构Signals and Systems721)1)系统的级联系统的级联系统的基本联接系统的基本联接Signals and Systems732)系统的并联Signal

18、s and Systems743)反馈环路Signals and Systems75连续系统的模拟框图N阶LTI连续时间系统的系统函数为设m=n,并将H(s)看成两个子系统的级联,即H1(s)H2(s)Signals and Systems761 1、直、直接接型结构型结构这两个子系统的微分方程为Signals and Systems77用 加法器、乘法器加法器、乘法器和和积分器积分器 实现这两个方程即 得系统的直接型模拟方框图。设m=nSignals and Systems78设m=nSignals and Systems792 2、级联型结构、级联型结构 画出每个子系统直接型模拟流图，然后

19、将各子系统级联。H(s)=H1(s)H2(s).Hn(s)将系统函数分解为一阶或二阶因子相乘的形式,即 一般，实数极点对应实系数一阶有理分式，共轭复数极点对应实系数二阶有理分式。Signals and Systems803 3、并联型结构、并联型结构 画出每个子系统直接型模拟流图,然后将各子系统并联。H(s)=H1(s)+H2(s)+.+Hn(s)将系统函数分解为一阶或二阶因子相加的形式 一般，实数极点对应实系数一阶有理分式，共轭复数极点对应实系数二阶有理分式。Signals and Systems81例：画出系统的模拟方框框图s-1s-1s-157F(s)Y(s)510解:直接型框图Sign

20、als and Systems82(b)级联式级联式S-1s-1s-1S-1s-155F(s)Y(s)12Signals and Systems83(c)并联式并联式S-1s-1s-1S-1s-120.55/64/3F(s)Y(s)5Signals and Systems84综合题综合题综合题综合题1 1：一连续线性LTI因果系统的微分方程描述为 已知 ,由s域求解：(1)零输入响应yzi(t),零状态响应yzs(t),完全响应y(t)(2)系统函数H(s),单位冲激响应h(t)并判断系统是否 稳定。(3)画出系统的直接型模拟框图。Signals and Systems85综合题综合题综合题综

21、合题1 1：一连续线性LTI因果系统的微分方程描述为 解：解：解：解：已知 ,由s域求解：(1)零输入响应yzi(t)，零状态响应yzs(t)，完全响应y(t)。(1)对微分方程两边做单边拉普拉斯变换得 零输入响应的s域表达式为 进行拉普拉斯反变换可得Signals and Systems86综合题综合题综合题综合题1 1：一连续线性LTI因果系统的微分方程描述为 解：解：解：解：已知 ,由s域求解：(1)零输入响应yzi(t)，零状态响应yzs(t)，完全响应y(t)。零状态响应的s域表达式为 进行拉普拉斯反变换可得 完全响应为Signals and Systems87综合题综合题综合题综合

22、题1 1：一连续线性LTI因果系统的微分方程描述为 解：解：解：解：已知 ,由s域求解：(2)系统函数H(s)，单位冲激响应h(t)并判断系统是否稳定。(2)根据系统函数的定义，可得进行拉普拉斯反变换即得 对于因果系统，由于系统函数的极点为-2,-5，在左半s平面，故系统稳定。Signals and Systems88综合题综合题综合题综合题1 1：一连续线性LTI因果系统的微分方程描述为 解：解：解：解：已知 ,由s域求解：(3)画出系统的直接型模拟框图。(3)将系统函数改写为 Signals and Systems89综合题综合题综合题综合题2 2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应 解

23、：解：解：解：试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。零状态响应和激励信号的拉氏变换分别为,激励信号x(t)=u(t),根据系统函数的定义，可得 Signals and Systems90综合题综合题综合题综合题2 2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应 解：解：解：解：试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。该系统的零点z=-5为，极点为p1=-1,p1=-2，,激励信号x(t)=u(t),零极点分布图 Signals and Sy

24、stems91综合题综合题综合题综合题2 2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应 解：解：解：解：试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。由式可得系统微分方程的s域表达式 ,激励信号x(t)=u(t),两边进行拉氏反变换，可得描述系统的微分方程为Signals and Systems92综合题综合题综合题综合题2 2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应 解：解：解：解：试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。将系统函数进行部分分式展

25、开，有,激励信号x(t)=u(t),再进行拉氏反变换，可得系统冲激响应为由于系统的冲激响应满足 故该系统为因果系统故该系统为因果系统 Signals and Systems93综合题综合题综合题综合题2 2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应 解：解：解：解：试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。对因果系统，由零极点分布图可看出，系统的极点位于s左半平面，故该系统稳定故该系统稳定。,激励信号x(t)=u(t),Signals and Systems94连续时间信号的（单边）拉氏变换连续时间信号的（单边）拉氏变换 定义，收敛域，常用信号的拉氏变换定义，收敛域，常用信号的拉氏变换 与傅氏变换的关系，性质与傅氏变换的关系，性质 拉氏反变换拉氏反变换连续连续时间时间LTI系统的复频域分析系统的复频域分析 微分方程微分方程代数方程代数方程yzs(t)和和yzi(t)电路的电路的复频域复频域模型模型系统函数系统函数H(s)定义，与定义，与h(t)关系，求解，时域特性，关系，求解，时域特性，频率特性，稳定性频率特性，稳定性系统模拟系统模拟复频域分析小结复频域分析小结Signals and Systems95作业作业P263-265：7-307-327-387-397-40