第5章 方阵的特征值与特征向量精选文档.ppt

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1、第第5章章 方阵的特征值方阵的特征值与特征向量与特征向量本讲稿第一页，共五十页5.1 5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量主要内容主要内容:一一.特征值特征向量的定义特征值特征向量的定义二二.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质2本讲稿第二页，共五十页引言引言矩阵的特征值理论在许多领域都有重要的应用。如：矩阵的特征值理论在许多领域都有重要的应用。如：工程技术中的振动问题和稳定性问题工程技术中的振动问题和稳定性问题;经济管理中的主成分分析经济管理中的主成分分析(PCA);(PCA);数学中的微分方程组求解和迭代法的收敛性数学中的微分方程组求解和迭代法的收敛性;图像图像(信

2、息信息)处理中的压缩存取处理中的压缩存取.其本质就是其本质就是:对于一个给定的对于一个给定的n n阶矩阵阶矩阵A,A,如果存在的话，如何找？如果存在的话，如何找？3本讲稿第三页，共五十页定义定义:设设A是是n阶方阵阶方阵,如果数如果数 和和n维维非零非零列向量列向量x满满足足则则称称 为为A的的特特征征值值,非非零零向向量量x称称为为A的的对对应应于于(或或属属于于)特征值特征值 的的特征向量特征向量。把把(1)改写为改写为使得使得(2)有非零解有非零解(2)的所有非零解向量都是对应于的所有非零解向量都是对应于 的特征向量的特征向量.是是A的特征值的特征值 一一.特征值特征向量的定义特征值特征

3、向量的定义4本讲稿第四页，共五十页称为称为 A 的的特征多项式特征多项式，而，而 称为称为 A 的的特征方程特征方程。由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根个根(重根按重重根按重数计算数计算)。因此，。因此，n 阶方阵在复数范围内恰有阶方阵在复数范围内恰有 n 个特征值个特征值。本章关于特。本章关于特征值、特征向量的讨论永远征值、特征向量的讨论永远约定约定约定约定在复数范围内在复数范围内.5本讲稿第五页，共五十页设设 n 阶方阵阶方阵 特征值为特征值为,则则又又二二.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质6本讲稿第六页，共五十页例例1求矩阵

4、求矩阵 的特征值的特征值.两个特征值为两个特征值为问问:特征向量是实的还是复的特征向量是实的还是复的?由定义很容易验证：由定义很容易验证：7本讲稿第七页，共五十页例例2求求 A 的特征值的特征值.因此因此,n 个特征值为个特征值为问问：对角矩阵：对角矩阵,下三角矩阵的特征值为多少？下三角矩阵的特征值为多少？8本讲稿第八页，共五十页例例3求矩阵求矩阵 A，B 的特征值和所有的特征向量的特征值和所有的特征向量?解解 （对于矩阵（对于矩阵A）9本讲稿第九页，共五十页A 的特征值为的特征值为对于对于 ，解方程组，解方程组同解方程组为同解方程组为 ，令，令 ，得基础解系，得基础解系因此，对应于特征值因此

5、，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为10本讲稿第十页，共五十页对于对于 ，解方程组，解方程组同解方程组为同解方程组为 ，令，令得基础解系得基础解系因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为11本讲稿第十一页，共五十页(对于矩阵对于矩阵B)B 的特征值为的特征值为12本讲稿第十二页，共五十页对于对于 ，解方程组，解方程组同解方程组为同解方程组为 ，令，令 ，得基础解系，得基础解系因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为13本讲稿第十三页，共五十页对于对于 ，解方程组，解方程组同解方程组为同解方程组为 ，令，令 ，得基础解系，得

6、基础解系因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为14本讲稿第十四页，共五十页求方阵的特征值与特征向量的方法和步骤如下：求方阵的特征值与特征向量的方法和步骤如下：其非零的通解为对应于其非零的通解为对应于从以上例子可看到：从以上例子可看到：当一个矩阵的特征值为重根时，对应的线性无关当一个矩阵的特征值为重根时，对应的线性无关的特征向量的个数不一定等于重根数的特征向量的个数不一定等于重根数15本讲稿第十五页，共五十页回答问题：回答问题：(1)向量向量 满足满足 ,是是 A 的特征向量吗？的特征向量吗？(2)实矩阵的特征值实矩阵的特征值(特征向量特征向量)一定是实的吗一定是

7、实的吗?(3)矩阵矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值可逆的充要条件是所有特征值_。，A 有一个特征值为有一个特征值为_。(4)，A 有一个特征值为有一个特征值为_。可逆可逆,A 的特征值一定不等于的特征值一定不等于_。(5)A 的特征值与的特征值与 的特征值有什么关系？的特征值有什么关系？不是不是不一定不一定全不为零全不为零相等相等16本讲稿第十六页，共五十页(6)一个特征值对应于几个特征向量一个特征值对应于几个特征向量?一个特征向量对应几个特征值一个特征向量对应几个特征值?(7)A 的各行元素之和均等于的各行元素之和均等于2,则则 A 有一个特征值有一个特征值是是_,它对应的特征向量是它对

8、应的特征向量是_。特征向量的个数特征向量的个数=_。是是 的一个特征值，它对应的最大无关的的一个特征值，它对应的最大无关的只对应一个只对应一个217本讲稿第十七页，共五十页例例5设设 是方阵是方阵 A 的特征值的特征值,对应的一个特征向量对应的一个特征向量证明证明(1)是是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为的特征值，对应的特征向量仍为 x。(2)是是 的特征值，对应的特征向量仍为的特征值，对应的特征向量仍为 x。(3)当当 A 可逆时，可逆时，是是 的特征值，对应的的特征值，对应的特征向量仍为特征向量仍为 x。证证18本讲稿第十八页，共五十页推广推广推广推广：设设 是方阵是方阵 A 的特征值

9、，的特征值，则则 是是 的特征值。的特征值。的特征值。的特征值。如果如果 A 可逆，则可逆，则的特征值。的特征值。是是是是思考：思考：19本讲稿第十九页，共五十页例例6设设3阶矩阵阶矩阵A的三个特征值为的三个特征值为求求解解 A的特征值全不为零，故的特征值全不为零，故A可逆。可逆。的三个特征值为的三个特征值为计算得计算得因此，因此，20本讲稿第二十页，共五十页定理定理设设是方阵是方阵A的的m个特征值个特征值,依次是与之对应的特征向量依次是与之对应的特征向量,证明证明:两边左乘两边左乘A得得:设为设为C21本讲稿第二十一页，共五十页证明证明A的特征值只能取的特征值只能取1或或2.设设 是是A的特

10、征值，则的特征值，则的特征值为的特征值为由于由于 是零矩阵，其特征值全是零，故是零矩阵，其特征值全是零，故证证证证例例7所以所以书书165引理引理22本讲稿第二十二页，共五十页小结小结:主要介绍了特征值与特征向量的定义主要介绍了特征值与特征向量的定义;如何求特征值与特征向量如何求特征值与特征向量;特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质.23本讲稿第二十三页，共五十页作业作业:24本讲稿第二十四页，共五十页第五章第五章方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 5.3 5.3 实实实实对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵5.1 5.1 方阵的特征值与特征向量方

11、阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.4 5.4 应用举例应用举例应用举例应用举例本讲稿第二十五页，共五十页5.2 相似矩阵相似矩阵矩阵的相似关系可简化矩阵的计算矩阵的相似关系可简化矩阵的计算,简化线性微分简化线性微分方程组方程组,不仅在理论中起重要作用不仅在理论中起重要作用,在实践中也有广泛在实践中也有广泛的应用的应用.主要内容主要内容:一一.矩阵相似的定义矩阵相似的定义二二.相似矩阵的性质相似矩阵的性质三三.矩阵可对角化的充要条件矩阵可对角化的充要条件26本讲稿第二十六页，共五十页5.2 相似矩阵相似矩阵设设A，B都是都是n阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆

12、矩阵P，使，使则称则称B是是A的相似矩阵，或说矩阵的相似矩阵，或说矩阵A与与B相似相似。对。对A进行进行运算运算 称为对称为对A进行进行相似变换相似变换，可逆矩阵，可逆矩阵P称为把称为把A变成变成B的相似变换矩阵。的相似变换矩阵。定义定义 特别地，如果特别地，如果A与对角矩阵相似，则称与对角矩阵相似，则称A是是可对角化可对角化可对角化可对角化的的的的。一一.相似矩阵的定义相似矩阵的定义27本讲稿第二十七页，共五十页二二.相似矩阵的性质相似矩阵的性质(1)相似关系是一种等价关系相似关系是一种等价关系;(2)A与与B相似相似,则则r(A)=r(B);(3)A与与B相似相似,则则 ;从而从而A与与B

13、有相同的特征值有相同的特征值;(4)A与与B相似相似,则则 ;(6)A与与B相似相似,则则 与与 相似相似;其中其中(7)A与与B相似相似,且且A可逆可逆,则则 与与 相似。相似。(5)A与与B相似相似,则则 ;28本讲稿第二十八页，共五十页例例1(1)与与相似，相似，求求x与与y和和A的特征值。的特征值。(2)与与相似，相似，求求a与与b。解解 (1)A的特征值等于的特征值等于B的特征值为：的特征值为：29本讲稿第二十九页，共五十页(2)30本讲稿第三十页，共五十页三三.矩阵可对角化的充要条件矩阵可对角化的充要条件 说明说明：如果：如果A可对角化，它必有可对角化，它必有n个线性无关的特征向量

14、，就是个线性无关的特征向量，就是P的的n个列；反之，如果个列；反之，如果A有有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆可逆)，把上面过程逆过来即知，把上面过程逆过来即知A可对角化。可对角化。定理定理n阶矩阵阶矩阵A可对可对角化的充要条角化的充要条件是件是A有有n个线个线性无关的特征向性无关的特征向量。量。31本讲稿第三十一页，共五十页 n 阶矩阵阶矩阵 A 如有如有 n 个不同的特征值，则它有个不同的特征值，则它有 n 个线性个线性无关的特征向量，从而无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。一定可对角化。推论推论于是对于矩阵是否可以对角化于是对于矩阵是否可

15、以对角化,判断如下判断如下:2.如果所有的特征值都是单根如果所有的特征值都是单根,则则A一定能对角化一定能对角化3.如果如果A的特征值有重根的特征值有重根,的基础解系的基础解系,如果基础解系所含向量如果基础解系所含向量则则A可以对角化可以对角化,且有这些基且有这些基础解系排成的矩阵为相似变换矩阵础解系排成的矩阵为相似变换矩阵.32本讲稿第三十二页，共五十页例例1线性无关，线性无关，由上面定理，由上面定理，求特征值求特征值 求线性无关的特征向量，求线性无关的特征向量，即求即求 的基础解系的基础解系判断判断A是否可对角化是否可对角化如果可以并求相似变换矩阵如果可以并求相似变换矩阵.解解:令令所以所

16、以A可以对角化可以对角化.33本讲稿第三十三页，共五十页定理定理 n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是A的每个特征值的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。的代数重数等于它的几何重数。即即:设设互不同，此时互不同，此时则则 A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是亦即亦即:的重数的重数 恰好等于它对应的最大无关特征恰好等于它对应的最大无关特征向量的个数。向量的个数。简称简称:几重特征值有几个线性无关的特征向量几重特征值有几个线性无关的特征向量几重特征值有几个线性无关的特征向量几重特征值有几个线性无关的特征向量.34本讲稿第三十四页，共五十页例例2问问 x 为何值时，为何值

17、时，A 可对角化？可对角化？是单重根，恰有一个特征向量是单重根，恰有一个特征向量(不需讨论不需讨论)。是二重根，是二重根，A可对角化可对角化35本讲稿第三十五页，共五十页例例3可对角化可对角化,则则x,y应满足的条件是应满足的条件是解解:36本讲稿第三十六页，共五十页例例3设设3阶方阵阶方阵A的特征值为的特征值为,其对应的特征向量分别为其对应的特征向量分别为:解解:37本讲稿第三十七页，共五十页小结小结:介绍了相似矩阵介绍了相似矩阵;相似矩阵的性质相似矩阵的性质矩阵可对角化的充要条件矩阵可对角化的充要条件.38本讲稿第三十八页，共五十页作业作业:39本讲稿第三十九页，共五十页第五章第五章方阵的

18、特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 5.3 5.3 实实实实对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.2 相似矩阵相似矩阵5.1 5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.4 5.4 应用举例应用举例应用举例应用举例本讲稿第四十页，共五十页5.3 (实实)对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化性质性质2实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交.性质性质1实对称矩阵的特征值必为实数。实对称矩阵的特征值必为实数。(证明自学证明自学)从而特征向量可取到实的。从而特征向量可取到实的。证证41本讲稿第四十一页，共五

19、十页定理定理实对称矩阵必可正交对角化。实对称矩阵必可正交对角化。即设即设A是对称矩阵是对称矩阵,则存在正交矩阵则存在正交矩阵Q使得使得推论推论实对称矩阵特征值的重数必等于其几何重数实对称矩阵特征值的重数必等于其几何重数.即等于其对应的最大无关特征向量的个数。即等于其对应的最大无关特征向量的个数。即即42本讲稿第四十二页，共五十页例例1把对称矩阵把对称矩阵 正交对角化。正交对角化。第第第第1 1步步步步:求特征值。求特征值。(特征值必都是实数特征值必都是实数)43本讲稿第四十三页，共五十页第第第第2 2步步步步:求线性无关的特征向量。求线性无关的特征向量。对对 ，解方程组，解方程组求得基础解系求

20、得基础解系(即最大无关特征向量即最大无关特征向量)44本讲稿第四十四页，共五十页对对 ，解方程组，解方程组求得基础解系求得基础解系(即最大无关特征向量即最大无关特征向量)前面的前面的45本讲稿第四十五页，共五十页第第3步步:检验重特征值对应的特征向量是否正交检验重特征值对应的特征向量是否正交,如果不如果不 正交正交,用施密特过程正交化用施密特过程正交化,再把正交的特征向量再把正交的特征向量 单位化。单位化。46本讲稿第四十六页，共五十页第第4步步:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。单位化：单位化：则则令令47本讲稿第四十七页，共五十页例例2设设3阶对称矩阵阶对称矩阵A的特征值为的特征值为与特征值与特征值 对应的特征向量为对应的特征向量为求求A。设对应于设对应于 的无关特征向量为的无关特征向量为则则说明说明是方程组是方程组的基础解系的基础解系,因此上面方程组的任意基础解系都是因此上面方程组的任意基础解系都是对应于对应于 的特征向量。的特征向量。解解(1)可求得可求得48本讲稿第四十八页，共五十页小结小结:介绍了实对称矩阵特征值与特征向量的性质介绍了实对称矩阵特征值与特征向量的性质;实对称矩阵对角化的方法与步骤实对称矩阵对角化的方法与步骤.49本讲稿第四十九页，共五十页作业作业50本讲稿第五十页，共五十页