G21_3格林公式 曲线积分与路径的无关性.ppt

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1、寄寄 语语假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舆马者，非利足也，而致千里；假舆马者，非利足也，而致千里；-旬旬子子1第第21 21章章 第一节、二重积分概念 第三节、格林公式-曲线积分与路线的无关性重积分重积分 第21章 本章内容：本章内容：第二节、直角坐标系下二重积分的计算第四节、二重积分的变量替换第五节、三重积分第六节、重积分的应用第七节、第八节、第九节-N重积分；反常二重积分；变量替换公式证明-略去2第3节 格林(Green)公式一、格林一、格林(Green)公式公式二、曲线积分与路线的无关性曲线积分与路线的无关性曲线积分与路线的无关性 第21章 本节内容：本节

2、内容：主要研究问题：曲线积分与二重积分的关系3区域 D 分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域 D 边界L 的正向的正向:域的内部靠左域的内部靠左定理定理21.11 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有(Green公式公式)函数在 D 上具有连续一阶偏导数,或一、一、格林格林(Green)公式公式4证明证明:1)若D 既是 X-型区域,又是 Y-型区域,且则5即同理可证、两式相加得:62)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图3)若区域D由几条闭曲线所围成，可以添加适当线段转化为2）的情形(P226)。证毕7推论推论:正向闭曲线

3、 L 所围区域 D 的面积格林公式格林公式例如例如,椭圆所围面积8例例1.（补）设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明证证:令则利用格林公式,得9例例2.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.（P227 例2推广）解解:令设 L 所围区域为D,由格林公式知10在D 内作圆周取逆时针方向,对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式,得11例例3.计算其中D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.（补充）（补充）解解:令,则利用格林公式,有12解解例例413例例5.计算其中L 为上半从 O(0,0)到 A(4,0).（补充）解解:为了使用格林公式,添加辅

4、助线段它与L 所围原式圆周区域为D,则注:求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;14二、曲线积分与路线的无关性二、曲线积分与路线的无关性定理定理21.12 设D 是单连通闭区域,在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意按段光滑闭曲线 L,有(2)对D 中任一按段光滑曲线 L,曲线积分(3)(4)在 D 内每一点都有与路线无关,只与L的起点与终点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 15说明说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为 证明证明(1)(2)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1)16证明证明

5、(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数 17证明证明(3)(4)设存在函数 u(x,y)使得则P,Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有18证明证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式格林公式,得所围区域为证毕19说明说明:根据定理21.12,若在某区域内则2)可用积分法求d u=P dx+Q dy 在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;20例例6.设质点在力场作用下沿曲线 L:由移动到求力场所作的功W解解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路

6、径无关.21思考思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!22例例7.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证证:设则由定理2 1-12可知,存在函数 u(x,y)使。23例例8.验证在右半平面(x 0)内存在原函数,并求出它.（补充）证证:令则由定理定理 21.12可知存在原函数24或25内容小结内容小结1.Green公式2.等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有26思考与练习思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示提示:272.设提示提示:

7、作业作业P232 1(1);3;4;5(1),(3);6(2);1028 备用题备用题 1.设 C 为沿从点依逆时针的半圆,计算解解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点292.质点M 沿着以AB为直径的半圆,从 A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解解:由图知 故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y 轴正向夹角为求变力 F 对质点M 所作的功.(90考研)F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,30解解：因为 即在不含原点的单连通域内，积分与路径无关。取新路径 3.31其参数方程为 324.验证在整个平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。解：解：在整个平面上都成立则所给出的微分式是全微分式。利用公式：取为起点，动点为方法一：方法一：33方法二：方法二：方法三：方法三：取 注：注：积分的起点不同，结果相差一个常数。应该选择某些特殊的点方便计算。34方法四：方法四：355.计算解：解：应用积分与路径无关,统一变量化成定积分36解解6.3738统一变量化成定积分397.利用格林公式计算L由曲线解：解：画出闭曲线及其所围成的区域D。408.计算其中L 为折线 OABO,O(0,0)A(1,0)B(1,2)解：解：419.计算积分路径沿着圆周的正向。解解：应用格林公式42所以由格林公式 10.43