2011届高考数学总复习直通车课件-数列.ppt

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1、数学直通车数学直通车-数列数列知识体系知识体系1.数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项),往后各项依次叫做这个数列的第2项，第n项，.数列的一般形式可以写成 其中 是数列的第n项，我们把上面的数列简记为 .2.数列的分类（1）根据数列的项数可以将数列分为两类:有穷数列项数有限的数列；无穷数列项数无限的数列.（2）按照数列的每一项随序号变化的情况分类：递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；常数列各项相等的数列；摆

2、动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.基础梳理基础梳理第一节第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法3.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成以N*（或它的有限子集）为定义域的函数 =f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3,)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),f(n),.4.数列的通项公式如果数列 的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。5.递推公式如果已知数列 的首项（或前n项)，且任一项

3、 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.6.数列的简单表示法:列举法、列表法、解析法、图象法.典例分析典例分析【例1】写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数.(4)1,3,6,10,15,.题型一题型一 数列的概念及通项公式数列的概念及通项公式分析 写出数列的通项公式，应注意观察数列中各项和项数n的联系和变化情况，应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列与 相关的数列、等差数列、等比数列，以及由它们组成的数列，从其中找出规律，并分别写出通项公式.解 （1）这是一个分数数列，分子为偶数列，而分母为13,35,57,79,911,是两

4、个连续奇数的积，故所求数列通项公式为(2)数列的前5项可改写为：由于数列的各项间正负互相间隔，应有调节符号作用的数列 ，分子构成规律为 ,分母也为两个连续奇数的积,故(3)原数列直接写不能看出通项公式，但改写之后，分母依次为1,2,3,4,分子为1,0,-1,0,呈周期性变化，可以用 表示，当然也可以用 表示.故 .(4)由观察可知，此题亦可这样考虑：以上（n-1）个式子左边相加为 ,又学后反思 （1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求.（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“

5、从特殊到一般”的思想;由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用 调整.（3）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列，奇、偶数列等）转换,从而使问题得到解决.举一反三举一反三1.已知数列 的前4项分别为1,0,1,0，则下列各式可以作为数列 的通项公式的个数为 ()(nN*);(nN*);+(n-1)(n-2)(nN*);(nN*);1(n为正偶数),=0(n为正奇数).A.1 B.2 C.3 D.4解析 当n为正奇数时，当n为正偶数时，所以可以作为数列 的通项公式.当n=3时，+(n-

6、1)(n-2)=3,所以不是数列an的通项公式;显然不是数列 的通项公式.答案 C题型二题型二 递推公式递推公式【例2】根据下列条件，写出数列的通项公式.分析 (1)将递推关系写成n-1个等式累加.（2）将递推关系写成n-1个等式累乘，或逐项迭代也可.解（1）当n=1,2,3,n-1时，可得n-1个等式：将其相加，得(2)方法一：方法二：由 得学后反思 （1）对于由形如 的递推公式求通项公式，只要f(n)可求和，便可利用累加的方法求通项.（2）对于由形如 的递推公式求通项公式，只要g(n)可求积，便可利用累乘的方法求通项.(3)已知首项 ,递推关系为 (nN+)，求数列 的通项公式的关键是将

7、转化为 的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即(4)已知首项a,递推关系为 （nN+）,将递推关系两边取倒数，整理即可得 ,将 视为通项，便转化为第(3)种类型，从而得以解决.举一反三举一反三2.根据数列 的首项和基本关系式，求 的通项公式.解析 以上n-1个式子相加,得题型三题型三 利用数列的前利用数列的前n项和公式求通项项和公式求通项【例3】(12分)已知下面数列 的前n项和 ,求 的通项公式.（1）(2)分析 当n2时，由 求出 ，再验证当n=1时 是否成立.解 (1),.2当n2时，.4由于 也适合此等式，.6 (2)当n2时，8 当b=-1时，适合此等式；当b-1时，不适合此等式1

8、0当b=-1时，.11 当b-1时，.12举一反三举一反三3.（1）已知数列 的前n项和 满足 求 的通项公式；（2）已知 求 的通项公式.学后反思 数列的通项 与前n项和 的关系是此公式经常使用，应引起足够的重视.已知 求 时方法千差万别，但已知 求 时方法却是高度统一.当n2时，求出 也适合n=1时，可直接写成 ，否则分段表示.解析：（1）由已知得 当n=1时，当n2时，(2)由 得 ,当n2时，,即 数列 为等差数列，且公差d=4.又易错警示易错警示【例】已知数列 的前n项和 ,求 .错解 ,数列的通项公式为 =4n+1.错解分析 上述解答忽略了使用 的成立条件n2.如果令n=1，则这个

9、式子化为 这里的 是没有意义的，故本题求得的只是数列从第二项起的通项公式,而不包括 .事实上,并不适合 =4n+1.正解 当n=1时，;当n2时，=4n+1.7,n=1,故数列 的通项公式为 =4n+1,n2.考点演练考点演练10.(2010银川模拟)已知数列 满足 ,且 (nN+),则数列 的通项公式是_.解析:由已知得 ,答案:11.求下列数列的通项公式:（1）(nN*);(2)(n2,nN*).解析：（1）将 移项得 ,得出:将这n-1个等式相加得 (nN*).(2)由 得又 +1=2,数列 +1是首项为2，公比为2的等比数列，+1=,12.已知数列 的通项公式为 .(1)求该数列的前三

10、项,60是此数列的第几项？（2）n为何值时，=0,0,0?(3)该数列前n项和 是否存在最值？说明理由.解析：(1)由 得 =1-1-30=-30,设 =60,则60=-n-30,解得n=10或n=-9(舍去),60是此数列的第10项.（2）令 -n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去),当n=6时，=0;令 -n-300，解得n6或n-5(舍去),当n6(nN*)时，0;令 -n-300,解得-5n6,又n0,nN*,当0n6(nN*)时，0.(3)由 (nN*),知 是递增数列，且 故 存在最小值 ,不存在 的最大值.第二节第二节 等差数列及其前等差数列及其前n n项和项和基础梳理基础梳

11、理1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列 的首项为 ,公差为d,那么它的通项公式是 ,3.等差中项如果三个数a,A,b组成的数列是等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：(n,mN*);(2)若 为等差数列，且k+=m+n(k,m,nN*),则 .(3)若 是等差数列，公差为d,则 也是等差数列，公差为2d.(4)若 ,是等差数列，则 也是等差数列.(5)若 是等差数列，则 (k,mN*)组成公差为 md的

12、等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列 的公差为d,其前n项和 .6.等差数列的前n项和公式与函数的关系数列 是等差数列的充要条件是其前n项和公式 =f(n)是n的二次函数且常数项为0，即 .7.在等差数列 中，0,d0，则 存在最大值;若 0,d0，则 存在最小值.典例分析典例分析题型一题型一 等差数列的基本运算等差数列的基本运算【例1】(2009安徽)已知 为等差数列，.以 表示 的前n项和，则使得 达到最大值的n是 （）A.21 B.20 C.19 D.18分析 用 、d表示出 ,从而得到关于 ,d的方程组，进而解出 ,d的值，将 表示为n的函数，再研究最值问题.解 99-105

13、=3d,d=-2.又当n=20时，有最大值.学后反思 等差数列 中一共涉及五个基本量，即首项 ,第n项 ,项数n,公差d以及前n项和 ,在 ,n,d,中只要知道其中三个，其他两个就能求（简称“知三求二”）.其中 与d是两个最基本的量，往往用它们表示其他的量，然后列出方程（组）进一步求解.另外等差数列的通项公式 ,前n项和公式 以及其性质公式应在解题过程中灵活应用.举一反三举一反三1.（2009全国）设等差数列 的前n项和为 ,若 ,则解析:设等差数列的公差为d,首项为 ,则由 ,知 .答案:92.等差数列an中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则an的前9项和为（）A.99 B

14、.110 C.198 D.220解析：两式相加得(a1+a9)+(a4+a6)+(a3+a7)=66，3(a1+a9)=66，a1+a9=22,S9=99.答案：A【例2】(2010启东模拟)已知数列 的前n项和为 且满足 (1)求证:是等差数列；（2）求 的表达式.题型二题型二 等差数列的判定等差数列的判定分析（1）由已知条件联想 (n2)，然后再利用等差数列的定义证明 为常数；（2）根据等差数列通项公式求出 ，代入 (n2)即可求出 .解（1）证明：(n2),=2(n2).由等差数列的定义知 是以 为首项，以2为公差的等差数列.（2）由（1）知 当n2时，有又当n=1时，,学后反思 (1)

15、数列 是等差数列的判定方法有四种：(nN*且n2,d为常数)或 (nN*);(nN*且n2);=kn+b(k,b为常数);(A,B为常数).（2）判断等差数列最常用的方法是定义法 (nN*)和等差中项法 (nN*且n2).举一反三举一反三3.已知非零实数a,b,c的倒数成等差数列，求证：也成等差数列.解析：由 成等差数列，得 当a+b+c0时，两边同乘以a+b+c,得 ,化简得 成等差数列；若a+b+c=0,则 各项均为-1,也成等差数列.题型三题型三 等差数列性质的应用等差数列性质的应用【例3】(1)(2008宁夏、海南)已知 为等差数列，求 的值;(2)等差数列 的前m项和为30,前2m项

16、和为100,求它的前3m项的和.分析（1）由等差数列的性质 即可求出 ,或用 与d表示出 根据已知条件列出关于 与d的方程组，求出 与d的值，然后根据等差数列的通项公式求出 .(2)由等差数列 的前n项和 的性质:也成等差数列，即由 即可求出 .解 (1)方法一：由等差数列通项公式有方法二：由等差数列的性质有:=15.(2)方法一：成等差数列.从而有方法二：将 代入 得 由方程组得方法三：由等差数列 的前n项和公式知 是关于n的二次函数，即 (A,B是常数)，将 代入，得学后反思 (1)运用通项公式 和前n项和公式结合方程思想是解决此类问题的通用方法.(2)运用等差数列的性质解决此类问题更简捷

17、.等差数列常用的性质有：是等差数列，且m+n=p+q,则 (m,n,p,qN*);是等差数列，是前n项和,则 仍然成等差数列.4.（2009滨州模拟）等差数列 ,的前n项和分别是 ,且 则 =()解析：利用等差数列的性质，若m+n=p+q,则 .所以答案：C举一反三举一反三题型四题型四 等差数列中的最值问题等差数列中的最值问题【例4】(12分)在等差数列 中，已知 前n项和为 ,且求当n取何值时，取得最大值，并求出它的最大值.分析（1）由 及 可求得d,进而求得通项,由通项得到此数列前多少项为正，或利用 是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.（2）利用等差数列的性质，判断出数列从第

18、几项开始变号.解 方法一：.2 .4 .6即当n12时，0,n14时，08当n=12或13时，取得最大值，.10且最大值为 .12方法二：同方法一求得 .2nN*,当n=12或13时，有最大值，且最大值为 .12方法三:同方法一得 .2 又由 得 .6 即 .8当n=12或13时，有最大值，且最大值为 .12学后反思 求等差数列前n项和的最值常用的方法：（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利用等差数列的前n项和 (A,B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值.5.设等差数列 的前n项和为 ,已知 (1)求公差d的取值范围；

19、（2）指出 中哪一个值最大，并说明理由.举一反三举一反三解析：(1)依题意，有 由 ,得 将式分别代入、式，得即(2)方法一：由d0可知,因此，若在1n12中存在自然数n，使得 则 就是 ，中的最大值.由于即 因此故在 ,中 的值最大.方法二：由d0可知 因此，若在1n12中存在自然数n,使得 则 就是 ，中的最大值.由故在 ,中，的值最大.易错警示易错警示【例】已知数列 中，(n2,nN*).判断 是等差数列吗？错解 ,是等差数列.错解分析 没有注意条件n2.当n2时，,这说明从第三项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，而 .正解 ,不是等差数列.考点演练考点演练10.(2009海南)等差

20、数列 的前n项和为 ,已知 ,则m=.解析:在等差数列 中，由 得 不恒为零，=2.由 ,得(2m-1)=38,即2(2m-1)=38,m=10.答案:1011.(2009江苏改编)设 是公差不为零的等差数列,为其前n项和,满足 .求数列 的通项公式及前n项和 .解析：由题意，设等差数列 的通项公式为由 ，得 .又因为 =7,所以 +3d=1.由可得 =-5,d=2.所以数列 的通项公式 =2n-7,12.在第十一届全运会举行期间，10月18日的金牌榜上有一组很有趣的数字.山东、广东、天津、湖南四省市的名次成等差数列 ，四省市所获金牌数成等差数列 .其中 ，四省市名次之和为30,而广东省的金牌

21、数是湖南省的2倍，试求四省市当天的名次及所获金牌数.解析：设等差数列 、的公差分别为由 ,得 ,又由题意故山东、广东、天津、湖南四省市10月18日的名次分别为3,6,9,12,所获金牌数依次为25,20,15,10.第三节第三节 等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和基础梳理基础梳理1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示.2.等比数列的通项公式设等比数列 的首项为 ,公比为q,则它的通项公式 .3.等比中项如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.5.等比数列的前n项和

22、公式等比数列 的公比为q(q0),其前n项和为 ，当q=1时，当q1时 即 或 .6.等比数列前n项和的性质等比数列 的前n项和为 ,则 （均不为0时）仍成等比数列.4.等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：(n,mN*).(2)若 为等比数列，且k+=m+n(k,m,nN*),则(3)若 ,（项数相同）是等比数列，则 ,(0),(0)仍是等比数列.典例分析典例分析题型一题型一 等比数列的基本运算等比数列的基本运算【例1】已知数列 为等比数列，（1）若 0,且 求 ,求 .分析 首项 和公比q是确定等比数列 最基本的量，而已知条件可转为关于 和q的方程.解 (1)由已知 0，且 知即故(2)

23、由已知得 即两式相除得即2 -5q+2=0，解得q=2或q=,当q=2时，=1,当q=时，=4,学后反思 在求等比数列基本量的运算中,“知三求二”问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程组，解之即可，同时利用前n项和公式时需对q进行分类讨论.举一反三举一反三1.(2009浙江)设等比数列 的公比q=,前n项和为 ,则 =.解析:答案:152.等比数列an的前n项和为Sn，已知a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求n和公比q的值.解析：在等比数列an中，a1an=a2an-1=128，又a1+an=66，解得 或 q1.由an=a1qn-1和Sn=126,得 或 解得 或

24、设数列 的前n项和 求证：是等比数列.【例2】分析 利用 来化简证明 所以 是以2为首项，公比为2的等比数列.学后反思 等比数列的判定方法主要有：(1)定义法:=q(q是不为0的常数，nN*)an是等比数列；(2)通项公式法：an=cqn(c,q均是不为0的常数，nN*)an是等比数列;(3)中项公式法：a2n+1=anan+2(an、an+1、an+2不为零，nN*)an是等比数列;(4)前n项和公式法：Sn=kqn-k(k=是常数，且q0,q1)an是等比数列.题型二题型二 等比数列的判定等比数列的判定解析：+1是以 +1=2为首项，2为公比的等比数列.题型三题型三 等比数列的性质等比数列

25、的性质【例3】(1)在等比数列 中，求 的值；（2）等比数列 中，则 等于()A.4 B.8 C.16 D.32分析 (1)利用等比数列的性质求解.（2）合理利用等比中项求解.举一反三举一反三3.已知数列 满足 (nN*).求证：数列 +1是等比数列.解（1）由等比数列的性质知 也成等比数列，则(2)数列 为等比数列，学后反思 在等比数列的基本运算问题中，一般是建立 、q满足的方程组，求解方程组，但如果灵活运用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.举一反三举一反三4.（1）在等比数列 中，则 =()A.14 B.16 C.18 D.20(2)在等比数列

26、 中，已知 求 的值.解析：（1）因为 成等比数列，而 所以 .解析又 .题型四题型四 等比数列的最值问题等比数列的最值问题【例4】(12分)等比数列 的首项为 =2 008，公比q=-.(1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式;(2)当n取何值时，f(n)有最大值？分析（1）求出等比数列的通项公式 ，然后根据f(n)=求f(n)的表达式.（2）先判断f(n)的符号，然后根据|f(n)|的单调性，进一步解决问题.解（1）.2 .4(2)当n10时，.6|f(11)|f(10)|f(1)|;当n11时，.7|f(11)|f(12)|.f(11)0,f(10)0,f(9)0,f(

27、12)0,f(n)的最大值为f(9)和f(12)中的最大者，.9 .11当n=12时，f(n)有最大值为 .12学后反思 只要明确 的正负，q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项和的最值问题,但是对于求等比数列前n项积的最值问题的方法有:一是用定义，若f(n)f(n+1),f(n)f(n-1)，则f(n)为最大值；二是用函数法.举一反三举一反三5.（2009潍坊模拟）已知等比数列 与数列 满足 （nN*）.(1)判断 是何种数列，并给出证明；（2）若 ,求(3)若 ,求 的最大值或最小值.解析：（1）是等差数列.证明:设 的公比为q（q0）,是以 为公差的等差数列.（2）,由等差数列的性质，

28、得(3)由 ,得又 ,解得即当 时，有最大值 ,即当n=5时，有最大值 .易错警示易错警示【例】已知一个等比数列的前四项之积为 ,第2、3项的和为 ,求这个等比数列的公比.错解 依题意，设这四个数为 则 由得a=,代入并整理，得解得q=1或q=-1,故原等比数列的公比为 =3+2 或 =3-2 ,错解分析 从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题过程，由于设这四个数为 公比为 ,就等于规定了这个等比数列各项要么同为正，要么同负，而例题中无此规定,错误就出在这里.正解 依题意，设这四个数为则解得q=32 或q=-52 .考点演练考点演练10.（2009江苏）设 是公比为q的等比数列,|q

29、|1,令 =+1(n=1,2,).若数列 有连续四项在集合-53,-23,19,37,82中，则6q=.解析:由题意知，数列 有连续四项在集合-53,-23,19,37,82中，说明 有连续四项在集合-54,-24,18,36,81中，由于 中连续四项至少有一项为负，q0,又|q|1,的连续四项为-24,36,-54,81,6q=-9.答案:-911.设 是由正数组成的等比数列，是其前n项和，求证：解析：设 的公比为q且q0,则由 为正数列，两边取对数可得:12.(2009全国)设数列 的前n项和为 ,已知(1)设 ,求证:数列 是等比数列；（2）求数列 的通项公式.解析：(1)证明：由已知有

30、 ,解得故 .又 ,于是 ,即 因此数列 是首项为3，公比为2的等比数列.（2）由(1)知等比数列 中,=3,公比q=2,所以 于是 ,因此数列 是首项为 ,公差为 的等差数列，所以第四节第四节 数列求和数列求和基础梳理基础梳理数列求和的常用方法（1）公式法 直接用等差、等比数列的求和公式求.掌握一些常见的数列的前n项和.(2)倒序相加法 如果在一个数列 中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于 同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的.（3）错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之 积构成的，那么这个数列的前n

31、项和即可用此法来求，如等比数列 的前n项和就是用此法推导的.（4）裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵 消，从而求得其和.常见的拆项公式有：.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适 当拆开，可分为几个等差，等比或常见的数列，即先分别求和，然 后再合并，形如：,其中 等差数列；是等比数列；典例分析典例分析(5)分组求和法题型一题型一 利用常用公式求和利用常用公式求和【例1】已知 ，求 的值.分析 由已知条件可求得x的值，再代入求 的值.解学后反思 利用常用求和公式求和是数列求和最基本最重要的方法.常用求和公式有：（1）等差数列求和公式：(2)等

32、比数列求和公式:=举一反三举一反三1.已知数列 的通项 ，求数列 的前n项和 .提示：2.解析：题型二题型二 利用错位相减法求和利用错位相减法求和【例2】(2008全国)在数列 中，(1)设 ,证明:数列 是等差数列；（2）求数列 的前n项和 .分析 (1)求 ，观察 与 的关系.（2）由 的特点可知，运用错位相减法求 .解（1）证明：由已知 得 又 ,是首项为1，公差为1的等差数列.学后反思(1)一般地，如果数列 是等差数列，是等比数列，求数列 的前n项和时，可采用错位相减法.（2）用错位相减法求和时，应注意：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意;在写出“”与“q ”

33、的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“-q ”的表达式;.（2）由(1)知 ,即，,两边乘以2得:,两式相减得 举一反三举一反三应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查2.(2009天津改编)已知等差数列 的公差为d(d0)，等比数列 的公比为q(q1),设 (nN*).(1)若 ,d=2,q=3,求 的值；（2）若 =1,证明:(nN*).解析：(1)由题设，可得 nN*,所以 .（2）证明：由题设，可得 ,则 -，得+，得 式两边同乘以q,得所以 nN*.题型三题型三 利用裂项相消法求和利

34、用裂项相消法求和【例2】(2008江西)等差数列 的各项均为正数,前n项和 为x为等比数列,(1)求(2)求分析由条件易求得应用裂项法求出 的值.解 设 的公差为d,的公比为q,则d为正数，依题意有解得 或学后反思如果数列的通项公式可转化为f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项求和的方法.特别地，当数列形如 ,其中 是等差数列时，可尝试采用此法.常用裂项技巧如：使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；要注意由于数列 中每一项 均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.实质上

35、，正负项相消是此法的根源和目的.举一反三举一反三3.求数列解析：题型四题型四 倒序相加法求和倒序相加法求和【例3】设函数 图象上有两点 ，若 p是 的中点,且p点的横坐标为 .求证p点的纵坐标为定值，并求出这个值；求分析（1）由已知函数图象上两点 可得,设P(x,y),根据中点坐标公式去求(2)根据（1）的结论：若 ，则由 可以得到 ，利用倒序相加进行求解.解(1)证明:P为 的中点，学后反思本题在求和时，运用第（1）问所得等式f(x)+f(1-x)=1得到通项的特征，即 ，由于距首末两项等距的两项相加和为定值，所以可以用倒序相加法求和.举一反三举一反三 4.如果函数f(x)满足:对任意的实数

36、m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)且f(1 005)=2,则f(2)+f(4)+f(6)+f(2 008)+f(2010)=.解析：由已知f(x)对任意实数m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)，得f(1 005)+f(1 005)=f(2 010)=2+2=4;f(0)+f(2010)=f(2010)=4;f(2)+f(2 008)=f(2 010)=4;f(1 004)+f(1 006)=4.令S=f(0)+f(2)+f(4)+f(6)+f(2 008)+f(2010),则S=f(2010)+f(2 008)+f(2 006)+f(2)+f(0).于是2S=f(0)+f(201

37、0)+f(2)+f(2 008)+f(4)+f(2 006)+f(2 008)+f(2)+f(2010)+f(0)=41 006=4 024,故S=4 024=2 012.答案：2 012题型五题型五 分组法求和分组法求和【例4】(12分)(2008陕西)已知数列 的首项(1)求证：数列 是等比数列；（2）求数列 的前n项和 .分析(1)由已知条件利用等比数列的定义证明，即从 得到 的等式关系.（2）充分利用（1）的结论得出 .欲求数列 的前n项和 可先求出的值 .解(1)学后反思 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式求和，从而得出原

38、数列的和.拆项法是通过对数列通项结构的分析研究，将数列分解转化为若干个能求和的新数列，从而求得原数列的和的一种求和方法.-举一反三举一反三5.求和:解析：当x1时，当x=1时，=4n.易错警示易错警示【例1】求和:错解.正解(1)当x1且y1时(2)当x1且y=1时,(3)当x=1且y1时，(4)当x=1且y=1时，=2n.错解分析 等比数列的求和公式应分q=1和q1两种情况讨论.上述解答只求了x1且y1的一种情况.考点演练考点演练10.解析：答案：11.已知数列 的前n项和 (1)求证：数列 是等差数列；（2）若 ,求数列 的前n项和 .解析12.(2009山东)等比数列 的前n项和为 ,已

39、知对任意的nN*,点(n,)均在函数y=+r(b0且b1，b,r均为常数）的图象上.（1）求r的值；（2）当b=2时，记 (nN*),求数列 的前n项和 .解析：(1)由题意,当n2时，.所以 .由于b0且b1,所以n2时，是以b为公比的等比数列,又 即 ,解得r=-1.(2)由（1）知，nN*，所以两式相减得第五节第五节 数列的综合应用数列的综合应用基础梳理基础梳理1.解答数列应用题的基本步骤（1）审题仔细阅读材料，认真理解题意;（2）建模将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实 际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求什么;（3）求解求出该问题的数学解;（4）还原将所求结果还原到原实际问

40、题中.（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定值时，该模 型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差.其一般形式 是：=d(常数).100=q2.数列应用题常见模型(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.其一般形式是:(3)混合模型：在一个问题中同时涉及到等比数列和等差数列的模型.(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加（或减少），同时又以一个固定的具体量增加（或减少）,称该模型为生长模型，如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等.（5）递推模型：如果容易推导该数列任意一项 与它的前一项 （或前n项）间的递推关系式

41、,那么我们可以用递推数列的 知识求解问题.(常数).题型一题型一 建立等差或等比数列模型解应用题建立等差或等比数列模型解应用题【例1】陈老师购买安居工程集资房72平方米,单价为1 000元/平方米，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款,每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再经过一年又付款一次，等等，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%,每年按复利计算，那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元）(参考下列数据 )分析 (1)分期付款，各期所付的款与各期所付款时所生利息的合计，应等于个人负担的购房余额的

42、现价及这次付款现价到最后一次付款时所生的利息之和.（2）每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息.解 设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房10年后)，第1年付款及所生利息之和为x 元，第2年付款及所生利息之和为x 元，第9年付款及其所生利息之和为x1.075元，第10年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为1 00072-(28 800+14 400)=28 800 元，x(1+1.075+)=28 800 .x=28 800 28 8002.0610.0714 200元.每年需付款4 200元.学后反思 分期付款中的有关计算关键在于：（1）准确计算出在贷款全部付清时，各期

43、所付款额的增值.(注：最后一次付款没有利息)（2）明确各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系.（3）掌握等比数列前n项和的计算方法.举一反三举一反三1.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡规模进行调查，提供如图所示两个不同的信息.甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场生产1万只肉鸡上升到第6年平均每个养鸡场生产2万只肉鸡.乙调查显示：养鸡场个数由第1年的30个减少到第6年的10个.请回答下列问题：（1）第2年养鸡场的个数及全县生产肉鸡的只数各是多少？（2）第6年这个县出产的肉鸡数比第1年出产的肉鸡数增加

44、了还是减少了？解析：（1）设第n年全县有养鸡场 个，每个养鸡场产鸡 万只，则由题意，,都是等差数列，且1n6,nN*,因此,(万只).所以第2年有鸡场26个，全县产鸡31.2万只.（2）由（1）知，所以第6年出产的肉鸡数比第1年出产的肉鸡数减少了.题型二题型二 建立递推模型解应用题建立递推模型解应用题【例2】某油料库已储油料a t,计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%,以后每年的进油量为上一年底储油量的25%，且每年运出b t,设 为正式运营第n年底的储油量.（1）求 的表达式并加以证明；（2）为应对突发事件，该油库年底储油量不得少于 at,如果b=a t，该油库能否长期按计划运营？

45、如果可以请加以证明，如果不行请说明理由.（取lg 20.301 0,lg 30.477 1）分析 （1）本题易知 ,由构造法得数列 -4b是等比数列.即可求出 -4b的通项公式，即可求 .（2）根据题意把问题转化为不等式问题,通过解不等式说明实际问题.解 (1)依题意油库原有储油量为a t,则 =(1+25%)a-b=54a-b,=(1+25%)-b=54 -b(n2,nN*），令数列 -4b是首项为 a-5b,公比为 的等比数列.(2)若b=a t时，该油库第n年年底储油量不少于 a t,可见该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营.学后反思 (1)分析数列中相邻两项间的关系，得递推关系，构

46、造数列（等差或等比数列）求得通项是解决数列问题的有效方法之一.本题可以通过分析 ,构造等比数列 -4b,求得 ,也可以用数学归纳法证明.将不等式 a转变为 的计算,充分利用信息lg2,lg3，向着解题的目标要求转变.（2）常见的递推关系迭加型：，如果可以求出f(n-1)+f(n-2)+f(1)的表达式，即可求出通项公式.若f(n)=d,则 =(n-1)d+迭乘型：如果可以求出f(n-1)f(n-2)f(1)的乘积，即可求出通项公式.若f(n)=q(q0,且q1)，则 .一阶线性型：(其中p,q均为常数，pq(p-1)0).不妨设 ,这样就得到一个等比数列 -t，其公比为p,首项为 -t,且不难

47、求出 .分式线性型：然后再用待定系数法求解.举一反三举一反三2.某学生在体育训练时弄伤了膝关节，医生给他开了一些消炎药，并叮嘱他每天早晚八时各服用一片药片.现知该药片每片220毫克，他的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%；并且如果这种药在体内的残留量超过386毫克，就将产生副作用.请问：(1)该同学上午八时第一次服药，问:第二天早间服完药时，药在他体内还残留多少？（2）该同学若长期服用该药会不会产生副作用？解析：(1)设该同学第n次服药后，药在他体内的残留量为 毫克，=220,=220+(1-60%)=2201.4.=220+(1-60%)=220+2201.40.4=343.2.第二天早

48、间是他第三次服药，故服药后，药在他体内的残留量为343.2毫克.（2）由 =220+0.4 得,(n2).是一个以 -为首项，0.4为公比的等比数列，-=（-）0,这就是说,该同学长期服用该药不会产生副作用.题型三题型三 等差数列与等比数列的综合应用等差数列与等比数列的综合应用【例3】(12分)设数列 的前n项和为 ,且 其中m为常数，m-3,且m0.(1)求证:是等比数列；(2)若数列 的公比满足q=f(m)且 ,求证:为等差数列，并求 .分析对于已知的条件运用 之间的关系式：求出 之间的关系，以及 之间的关系，再进行判定.证明（1）由 ,得 ,两式相减，得 .,m是常数,且m-3,m0.4

49、故 是不为0的常数.是等比数列.6学后反思（1）为了求数列 的通项，用取“倒数”的技巧，得出数列 的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题.本题求解过程中用到 与 之间的关系式:该公式运用时要注意验证n=1时的情况.（2）等差数列的判定方法:定义法：对于数列 ，若 (常数),则数列 是等差数列；等差中项法：对于数列 ，若 ,则数列 是等差数列.(3)等比数列的判定方法：定义法：对于数列 ,若 0),则数列 是等比数列；等比中项：对于数列 ，若 ,则数列 是等比数列.举一反三举一反三3.已知数列 ，是其前n项和，并且 (n=1,2,),=1.(1)设数列 (n=1,2,),求证:数列 是等比数列

50、；（2）设数列 (n=1,2,)，求证：数列 是等差数列；(3)求数列 的通项公式及前n项和.解析：(1)证明：由 两式相减，得 由、得，数列 是首项为3，公比为2的等比数列，故(2)证明：(nN*),又 ,数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,(3),又 ,当n2时，;当n=1时,=1也适合上式.综上可知,前n项和为 .易错警示易错警示【例】从社会效益和经济利益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ,本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年比上年增加 .(1)设n