格林函数法精选文档.ppt

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1、格林函数法格林函数法本讲稿第一页，共四十二页5.1 5.1 拉普拉斯方程边值问题的提法拉普拉斯方程边值问题的提法设 满足拉普拉斯方程描述稳恒状态下的物理过程。通常表示成不存在初始条件.拉普拉斯方程的解称为调和函数.本讲稿第二页，共四十二页1）第一边值问题狄利克雷(Direchlet)问题边界条件:2)第二边值问题纽曼(Neumann)问题5.1 5.1 拉普拉斯方程边值问题的提法拉普拉斯方程边值问题的提法本讲稿第三页，共四十二页函数除称为三维拉普拉斯方程的基本解三维拉普拉斯方程的基本解。点外处处满足拉普拉斯方程，5.1 5.1 拉普拉斯方程边值问题的提法拉普拉斯方程边值问题的提法本讲稿第四页，

2、共四十二页5.2 5.2 格格 林林 公公 式式高斯公式：设 是以光滑曲面 为边界的有界区域，在闭域 上连续,在 内有一阶连续偏导数，则其中 为 的外法向量。高斯公式可简记为本讲稿第五页，共四十二页设满足令则将代入高斯公式，等式右端为5.2 5.2 格格 林林 公公 式式本讲稿第六页，共四十二页5.2 5.2 格格 林林 公公 式式所以所以 第一格林公式交换交换 u,v 的位置的位置,有有 两式相减两式相减,得得 第二格林公式本讲稿第七页，共四十二页1)牛曼内问题有解的必要条件 设u是在以 为边界的区域 内的调和函数,在 上有一阶连续偏导数,则在第二格林公式中取 u 为上述调和函数,则有 .所

3、以牛曼内问题()有解的必要条件为函数 f 满足事实上,这也是牛曼内问题有解的充分条件.5.2 5.2 格格 林林 公公 式式本讲稿第八页，共四十二页 设 是拉普拉斯方程定解问题的两个解，则它们的差 必是原问题满足零边界条件的解对于狄利克雷问题，v 满足 对于牛曼问题,v 满足 2)拉普拉斯方程解的唯一性问题5.2 5.2 格格 林林 公公 式式本讲稿第九页，共四十二页在第一格林公式中取 ,由 v 是调和函数，可得 在两种边界条件下，都有所以故在 内必有 ,即可得，其中 C为常数.本讲稿第十页，共四十二页对于狄利克雷问题,由于 ,故 从而 .结论 n狄利克雷问题在 内的解是唯一 确定的n牛曼问题

4、的解在相差一个常数下也是唯一确定的.5.2 5.2 格格 林林 公公 式式本讲稿第十一页，共四十二页3)调和函数的积分表达式所谓调和函数的积分表达式,是指用调和函数及其在区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数在 内任一点的值.5.2 5.2 格格 林林 公公 式式本讲稿第十二页，共四十二页 设 是 内一固定点,下面求调和函数在这一点的值.为此构造一个辅助函数 可以证明函数 除点 外处处满足拉普拉斯方程.5.2 5.2 格格 林林 公公 式式本讲稿第十三页，共四十二页为了利用格林公式，我们在 内挖去 的球形邻域 ,是其球面.在区域 内及其边界 上，是任意可导的。在第二格林公式中,取u为调

5、和函数,假定它在 上有一阶连续偏导数,而取 ,在区域 上应用公式得本讲稿第十四页，共四十二页在球面 上 因此同理可得 因此 4.2 4.2 格格 林林 公公 式式 令 ,则 于是 调和函数的积分表达式调和函数的积分表达式本讲稿第十五页，共四十二页 设函数 在某区域 内是调和函数,是 内任一点,表示以 为中心,为半径且完全落在 内的球面,则有 5.2 5.2 格格 林林 公公 式式4)平均值公式本讲稿第十六页，共四十二页5.3 5.3 格林函数格林函数本讲稿第十七页，共四十二页5.3 格林函数能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问题的解？调和函数的积分表达式 为得到狄利克雷问题的解,必须消去 ,这需

6、要引入格林函数的概念.本讲稿第十八页，共四十二页 设 为 内的调和函数并且在 上有一阶连续偏导数，利用第二格林公式可得与相加得5.3 5.3 格林函数格林函数本讲稿第十九页，共四十二页如果能找到调和函数v,使得 ,那么上式意味着令则拉普拉斯方程的格林函数5.3 5.3 格林函数格林函数本讲稿第二十页，共四十二页如果能找到格林函数中的 v 并且它在上有一阶连续偏导数，则狄利克雷问题的解如果存在,必可以表示为类似的，泊松问题的解可以表示为5.3 5.3 格林函数格林函数本讲稿第二十一页，共四十二页说明说明 格林函数仅依赖于选取的区域,而与原定解问题中的非齐次项、边界条件无关.如果求得某个区域的格林

7、函数,就可以解决该区域的一切狄利克雷问题.求解狄利克雷问题意 义 何 在？5.3 5.3 格林函数格林函数本讲稿第二十二页，共四十二页要想确定格林函数,需要找一个调和函数 v,它满足:.对于一般的区域,确定 v 并不容易,但对于一些特殊的区域,如半空间，球域等,格林函数可以通过初等方法得到.我们通常使用“电象法”求解。5.3 5.3 格林函数格林函数本讲稿第二十三页，共四十二页注注：拉普拉斯方程的基本解：拉普拉斯方程的基本解称为称为拉普拉斯方程的基本解拉普拉斯方程的基本解，其中，其中 r 表示空间表示空间中两点之间的距离。中两点之间的距离。三维基本解的三维基本解的物理意义物理意义：在处放置一单

8、位正电：在处放置一单位正电荷，则它在自由空间产生的静电场的电位是荷，则它在自由空间产生的静电场的电位是5.3 5.3 格林函数格林函数本讲稿第二十四页，共四十二页Green函数的物理意义函数的物理意义n在接地的闭曲面在接地的闭曲面 中放上点电荷之后，在中放上点电荷之后，在 面内侧必面内侧必然出现感应电荷然出现感应电荷,内任意一点的电位，就是点电荷的内任意一点的电位，就是点电荷的电位电位 和感应电荷的电位和感应电荷的电位 v 的叠加，的叠加，Green函数函数=内的电位内的电位.5.3 5.3 格林函数格林函数本讲稿第二十五页，共四十二页5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数两种特殊区域的格林函

9、数 及狄氏问题的解及狄氏问题的解本讲稿第二十六页，共四十二页 所谓电象法，就是在 放置的单位正电荷，在区域 外找出 关于边界 的象点 ，然后在象点放置适当电量的负电荷，由它产生的负电位与 处的单位正电荷所产生的正电位在曲面 上互相抵消。而 和 处的点电荷在 内的电位就是所要求的格林函数。5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解本讲稿第二十七页，共四十二页n故故 和和 处的电荷在处的电荷在 内的电位就是所要求的格内的电位就是所要求的格林函数。林函数。n在区域内在区域内 点放置的单位正电荷；点放置的单位正电荷；n在区域在区域 外找出外找出 关于边界关

10、于边界 的某种对称点的某种对称点 ；n在在 点放置适当电量的负电荷，使得它产生的负电点放置适当电量的负电荷，使得它产生的负电位与位与 处正电荷产生的电位在处正电荷产生的电位在 上互相抵消。上互相抵消。处电荷所形成的处电荷所形成的电场在电场在 的电位的电位 处电荷所形成的处电荷所形成的电场在电场在 的电位的电位5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解本讲稿第二十八页，共四十二页n 点的位置点的位置n 点放置的点放置的 负电荷的电量负电荷的电量n在区域内在区域内 点放置的单位正电荷点放置的单位正电荷n在区域在区域 外找出外找出 关于边界关于边界 的某

11、种对称点的某种对称点 n在在 点放置适当单位的负电荷，使得它产生的负电点放置适当单位的负电荷，使得它产生的负电位与位与 处正电荷产生的电位在处正电荷产生的电位在 上互相抵消。上互相抵消。关于边界关于边界的的某种对称点某种对称点5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解本讲稿第二十九页，共四十二页1)1)半空间的格林函数半空间的格林函数 求解拉普拉斯方程在半空间求解拉普拉斯方程在半空间 内的狄利克雷内的狄利克雷问题，就是求函数问题，就是求函数 u(x,y,z)，它满足，它满足 5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数

12、及狄氏问题的解本讲稿第三十页，共四十二页n在在 点放置点放置单位负单位负电荷。电荷。M1xzyo.M0(x0,y0,z0）P.为解上述方程，首先找格林函数为解上述方程，首先找格林函数 在在 点点()放置单位正电荷，放置单位正电荷，问题问题：1.等效点电荷的等效点电荷的位置位置 2.等效点电荷的等效点电荷的电量电量要求：它与要求：它与 处的处的正电荷产生的电位在正电荷产生的电位在平面平面 z=0上抵消上抵消电位：电位：5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解本讲稿第三十一页，共四十二页n在在 点放置点放置单位负单位负电荷。电荷。.M0(x0,y0,

13、z0）.P.M1xzyoM.电位：电位：由于由于 在上半空间内为调和函数，在闭域在上半空间内为调和函数，在闭域 上具有一阶连续偏导数，得上半空间上的格上具有一阶连续偏导数，得上半空间上的格林函数：林函数：5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解本讲稿第三十二页，共四十二页由于由于 在上半空间内为调和函数，在闭域在上半空间内为调和函数，在闭域 上具有一阶连续偏导数，得上半空间上的格上具有一阶连续偏导数，得上半空间上的格林函数：林函数：狄利克雷问题的解狄利克雷问题的解:5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问

14、题的解本讲稿第三十三页，共四十二页5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解本讲稿第三十四页，共四十二页5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解本讲稿第三十五页，共四十二页将上式代入到将上式代入到即得到原问题的解即得到原问题的解:思考思考:半空间半空间 x+y+z 0 的格林函数及狄利克雷问题的解的格林函数及狄利克雷问题的解.5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解本讲稿第三十六页，共四十二页2)球域的格林函数球域的格林函数 设有一个球心在原点,半径为R

15、的球面G,在球内任取一点M0，连接OM0并延长至点M1，使得OM0OM1=R2,点M1称为M0关于球面的反演点。5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解本讲稿第三十七页，共四十二页在点放置单位在点放置单位正正电荷，在点放置电荷，在点放置 q 单位单位负负电荷，使这两个电荷产生的电位在球面上互相抵消电荷，使这两个电荷产生的电位在球面上互相抵消P o R1.等效点电荷的等效点电荷的位置位置 2.等效点电荷的等效点电荷的电量电量确定球域的格林函数：确定球域的格林函数：的反演点的反演点5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林

16、函数及狄氏问题的解本讲稿第三十八页，共四十二页故故 q 必须不依赖于必须不依赖于 P 的选取且满足：的选取且满足：由由 ，得得即只要在即只要在 点放置点放置 个单位负电荷个单位负电荷,它形成电场的电位它形成电场的电位P o R5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解本讲稿第三十九页，共四十二页具有性质具有性质:在在 所围的球域内部是调和函数所围的球域内部是调和函数,在上一阶连续可微在上一阶连续可微,而且而且所以所以,球域的格林函数球域的格林函数为为5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解本讲稿第四十页，共四十二页球坐标系中球坐标系中,P o R5.4 5.4 格林函数及狄氏问题的解格林函数及狄氏问题的解本讲稿第四十一页，共四十二页n利用格林函数求球内的狄氏问题：利用格林函数求球内的狄氏问题：-球的球的Poisson公式公式其中其中5.4 5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解本讲稿第四十二页，共四十二页