第7章_矩阵的特征值和特征向量精选文档.ppt

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1、第7章_矩阵的特征值和特征向量本讲稿第一页，共三十二页特征值：的根 为矩阵A的特征值特征向量：满足的向量v为矩阵A的对于特征值 的特征向量称为矩阵A的特征多项式是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根来求矩阵的特征值。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，从而求得所有特征值的近似。本讲稿第二页，共三十二页7.1 幂法幂法 矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如：矩阵的谱半径。幂法就是一种求矩阵按模最大特征值的方法，它是最经典的方法。幂法要求A有完备的特征向量系。即A有n个线性

2、无关的特征向量。在实践中，常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征值和特征向量如下：特征值：特征向量：幂法可以求，基本思想很简单。本讲稿第三页，共三十二页设线性无关，取初值，作迭代设：则有：本讲稿第四页，共三十二页（1）若：则k足够大时，有可见几乎仅差一个常数所以：任意分量相除特征向量乘以任意数，仍是特征向量本讲稿第五页，共三十二页（2）若：则k足够大时，有所以：所以：本讲稿第六页，共三十二页这样，我们有算法：1、给出初值，计算序列2、若序列表现为，相邻两个向量各个分量比趋向于常数，则3、若序列表现为，奇偶序列各个分量比趋向于常数，则4、若序列表现为其他，退出不管本讲

3、稿第七页，共三十二页求矩阵A的按模最大的特征值解解 取x(0)=(1,0)T,计算x(k)=Ax(k-1),结果如下例例kx1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.本讲稿第八页，共三十二页在幂法中，我们构造的序列可以看出因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0本讲稿第九页，共三十二页改进幂法的规

4、范运算改进幂法的规范运算则，易知：所以，有：最大分量为1本讲稿第十页，共三十二页即（1）若：本讲稿第十一页，共三十二页本讲稿第十二页，共三十二页时，有时，有收敛分别收敛反号的两个数本讲稿第十三页，共三十二页（2）若：分别收敛到两个数，且绝对值不同。本讲稿第十四页，共三十二页求：则：本讲稿第十五页，共三十二页这样，我们有算法：1、给出初值，计算序列2、若序列收敛，则3、若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数绝对值相同，则4、若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数绝对值不同，则本讲稿第十六页，共三十二页决定收敛的速度，特别决定收敛的速度，特别是是|2/1|希望希望|2/1|越小越好。越小越好。不妨设不妨设

5、 1 2 n，且，且|2|n|。1 2 nOp=(2+n)/2思思路路令令 B=A pI，则有，则有|I A|=|I(B+pI)|=|(p)I B|A p=B。而而 ，所以求，所以求B的特征根收敛的特征根收敛快。快。本讲稿第十七页，共三十二页反幂法反幂法所以，A和A1的特征值互为倒数这样，求A1的按模最大特征值，就可以求出A的按模最小特征值为避免求逆的运算，可以解线性方程组本讲稿第十八页，共三十二页若知道某一特征根若知道某一特征根 i 的大致位置的大致位置 p，即对任意，即对任意 j i 有有|i p|j p|，并且如果，并且如果(A pI)1存在，则可以用反幂法存在，则可以用反幂法求求(A

6、pI)1的主特征根的主特征根 1/(i p)，收敛将非常快。，收敛将非常快。思思路路本讲稿第十九页，共三十二页7.1 Jacobi方法对称阵方法对称阵P为n阶可逆阵，则A与P1AP相似，相似阵有相同的特征值。若A对称，则存在正交阵Q(QTQ=I)，使得直接找Q不大可能。我们可以构造一系列特殊形式的正交阵Q1,.,Qn对A作正交变换使得对角元素比重逐次增加，非对角元变小。当非对角元已经小得无足轻重时，可以近似认为对角元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是这样一类方法。本讲稿第二十页，共三十二页1、Givens旋转变换对称阵为正交阵p列q列本讲稿第二十一页，共三十二页记：则：变换的目的是为了减

7、少非对角元的分量，则本讲稿第二十二页，共三十二页记则的按模较小根所以：本讲稿第二十三页，共三十二页本讲稿第二十四页，共三十二页2、Jacobi迭代取p,q使，则定理：若A对称，则本讲稿第二十五页，共三十二页 解解 记 A A(0)=A,A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有例例 用Jacobi 方法计算对称矩阵的全部特征值.从而有本讲稿第二十六页，共三十二页所以再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,类似地可得本讲稿第二十七页，共三十二页本讲稿第二十八页，共三十二页从而A A的特征值可取为 1 2.125825,2 8.388761,3 4.48

8、5401本讲稿第二十九页，共三十二页为了减少搜索非对角线绝对值最大元素时间,对经典的JacobiJacobi方法可作进一步改进.1.1.循环循环JacobiJacobi方法方法:按(1,2),(1,3),(1,n),(2,3),(2,4),(2,n),(n-1,n)的顺序,对每个(p,q)的非零元素apq作JacobiJacobi变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至(A)为止.2.2.过关过关JacobiJacobi方法方法:取单调下降收敛于零的正数序列k,先以 1为关卡值,依照1中顺序,将绝对值超过 1的非对角元素零化,待所有非对角元素绝对值均不超过 1时,再换下一个关卡值 2,直到关卡值小于给定的精度 .本讲稿第三十页，共三十二页clc;clear;close;A=3,-1,-2;2,0,-2;2,-1,-1;X,B=eig(A)%求矩阵A的特征值和特征向量,其中B的对角线元素是特征值,%X的列是相应的特征向量本讲稿第三十一页，共三十二页本讲稿第三十二页，共三十二页