复变函数第二章.ppt

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1、第二章第二章 解析函数解析函数 第一节第一节第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念 第二节第二节第二节第二节 函数解析的充要条件函数解析的充要条件函数解析的充要条件函数解析的充要条件 第三节第三节第三节第三节 初等函数初等函数初等函数初等函数第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念 一一 复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分 二二 解析函数的概念解析函数的概念 三三 本节小结本节小结一一复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分1.导数的定义导数的定义:在定义中注意在定义中注意:解解例例1 例例2 解解2.可导与连续可导与连续:函数函数 f(z)在在 z0

2、处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续,但函数但函数 f(z)在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证证毕证毕例例3 解解由上章知识易知，由上章知识易知，f(z)是连续的是连续的.解解因此，连续不一定可导因此，连续不一定可导.3.求导法则求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复

3、变函数中来推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则:4.微分的概念微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致.定义定义特别地特别地,二二 解析函数的概念解析函数的概念1.解析函数的定义解析函数的定义2.2.奇点的定义奇点的定义根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但是但是,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等不等价价的概念的概念.即即函数在一点处可导函数在一点处可

4、导,不一定在该不一定在该点处解析，若在一点解析则在这点一定可导点处解析，若在一点解析则在这点一定可导.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多得多.解解由本节例由本节例1和例和例3知知:例例4 例例5解解例例6解解定理定理利用求导法则易得下面解析函数的性质利用求导法则易得下面解析函数的性质.根据定理可知根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的.三三 本节小结本节小结 理解复变函数导数与微分以及解析函数的理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及掌握连续、可导、解析之间的

5、关系以及求导方法求导方法.重点掌握解析函数的概念重点掌握解析函数的概念;掌握可导、解掌握可导、解析之间的关系：析之间的关系：解析一定可导，可导不一定解析；解析一定可导，可导不一定解析；区域内解析与可导等价区域内解析与可导等价.第二节第二节 解析函数的充要条件解析函数的充要条件 一一 主要定理主要定理主要定理主要定理 二二 典型例题典型例题 三三 本节小结本节小结 如果复变函数如果复变函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定在定义域义域 D内内处处可导，则函数处处可导，则函数 w=f(z)在在 D内解析。内解析。本节从函数本节从函数 u(x,y)及及 v(x,y)的可导性，探求的可导

6、性，探求函数函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？一一 主要定理主要定理A 记忆记忆定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).定定理理1 设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在 D 内内有有定定义义，则则 f(z)在在点点 z=x+iy D处处可可导导的的充充要要条条件件是是u(x,y)和和 v(x,y)在在点点(x,y)可可微微，且且满满足足Cauc

7、hy-Riemann方方程程：上述条件满足时上述条件满足时,有有证明证明（由由f(z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证！只须方程满足上面已证！只须证证 f(z)的可导的可导 函数函数 u(x,y)、v(x,y)可微可微）。）。则则 f(z+z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1),且且u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i 2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令：令：f(z+z)-f(z)=u+iv，f (z)=a+ib，(z)=1+i 2 故（故（1）式可写为）式可写为因此因此 u=ax-by+1x-2y,v=bx+ay+2x+1y所以所

8、以u(x,y)，v(x,y)在点在点(x,y)处可微处可微.（由函数（由函数u(x,y),v(x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f(z)在点在点z=x+iy处可导）处可导）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)点可微，即：点可微，即：使用时注意使用时注意:i)判别判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，偏导数的连续性，ii)验证验证C-R条件条件.iii)导数公式导数公式：定理定理2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在D内解析充内解析充要要 条件是条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在D内内可微，且可微，且 满足满足Cauchy-

9、Riemann方程：方程：由区域内解析与可导等价，可得如下定理由区域内解析与可导等价，可得如下定理.解析函数的判定方法解析函数的判定方法:二二 典型例题典型例题例例1 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导,在何处解析在何处解析:不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程,四个偏导数四个偏导数均连续均连续指数函数指数函数四个偏导数均连续四个偏导数均连续例例2 证证解解例例3 3证证例例4 4解解例例5 5例例6证证证证根据隐函数求导法则根据隐函数求导法则,例例7 7根据柯西黎曼方程得根据柯西黎曼方程得三三 本节小结本节小结 在本课中我们得到了一个重要结论在本课中我们得到了一个重要结论函数函数解

10、析的充要条件解析的充要条件:掌握并能灵活应用柯西掌握并能灵活应用柯西黎曼方程黎曼方程.掌握判断函数解析性的方法掌握判断函数解析性的方法.Augustin-Louis CauchyBorn:21 Aug 1789 in Paris,FranceDied:23 May 1857 in Sceaux(near Paris),France柯西资料柯西资料 Riemann黎曼资料黎曼资料Born:17 Sept 1826 in Breselenz,Hanover(now Germany)Died:20 July 1866 in Selasca,Italy第三节第三节 初等函数初等函数 一一 指数函数指数

11、函数指数函数指数函数 二二 对数函数对数函数 三三 乘幂与幂函数乘幂与幂函数 四四 三角函数三角函数 五五 反三角函数反三角函数 六六 本节小结本节小结 本节将实变函数中的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。一一 指数函数指数函数1.1.指数函数定义指数函数定义说明说明（1）当）当y=0时，时，所以复指数函数是实所以复指数函数是实指数函数的推广；指数函数的推广；（2）当）当x=0时，时，即为欧拉公式即为欧拉公式.2.2.指数函数性质指数函数性质它与实变指数函数有类似的性质：它与实变指数函数有类似的性质：（1）无零点性）无零点性（3）可加性可加性（4）周期性周期性（5）无极限性无极限性 不存在（因沿实轴正向、负向极限不同）不存在（因沿实轴正向、负向极限不同）例例1例例2例例3 求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值:二二 对数函数对数函数1.1.对数的定义对数的定义定义定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对数函数。即，2.2.对数函数的性质对数函数的性质说明说明例例4 例例5三三 乘幂与幂函数乘幂与幂函数