数理方程第四章幻灯片.ppt

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1、数理方程第四章第1页，共24页，编辑于2022年，星期六下面引入下面引入格林函数格林函数的概念。的概念。在第二格林公式在第二格林公式 中，取中，取 u,v 为为 内内调和函数调和函数，则则第2页，共24页，编辑于2022年，星期六注意到积分区域相同，二式相加注意到积分区域相同，二式相加 则则如果存在调和函数如果存在调和函数 v,使得使得第3页，共24页，编辑于2022年，星期六引入记号：引入记号：则则称称 为拉普拉斯方程为拉普拉斯方程格林函数。格林函数。奇性部分奇性部分正则部分正则部分第4页，共24页，编辑于2022年，星期六如果能找到格林函数中的如果能找到格林函数中的 v，则狄利克雷问题，则

2、狄利克雷问题的解如果存在的解如果存在,必可以表示为必可以表示为第5页，共24页，编辑于2022年，星期六类似的类似的,若泊松方程若泊松方程的解存在的解存在,必然可以表示为必然可以表示为因此，因此，求解狄利克雷问题求解狄利克雷问题,就转化为求相应区域就转化为求相应区域的格林函数问题的格林函数问题。第6页，共24页，编辑于2022年，星期六可以看出可以看出,格林函数仅依赖于选取的区域格林函数仅依赖于选取的区域,而与而与原定解条件中的边界条件无关。因此如果求得某个区原定解条件中的边界条件无关。因此如果求得某个区域的格林函数域的格林函数,就可以解决这个区域的一切狄利克雷问就可以解决这个区域的一切狄利克

3、雷问题。题。一些特殊的区域一些特殊的区域,如半空间、球域如半空间、球域,可以通过初等可以通过初等方法，如方法，如“电象法电象法”得到格林函数。得到格林函数。从格林函数的表达式知从格林函数的表达式知,确定格林函数确定格林函数,需要找到需要找到满足满足的调和函数的调和函数 v。第7页，共24页，编辑于2022年，星期六 4.4 两种特殊区域的格林函数两种特殊区域的格林函数 及狄利克雷问题的解及狄利克雷问题的解所谓所谓电象法电象法，就是在，就是在 点放置单位正电荷，点放置单位正电荷，在区域在区域 外找出外找出 关于边界关于边界 的象点的象点 然然后在后在 点放置适当单位的负电荷，它产生的点放置适当单

4、位的负电荷，它产生的负电位与负电位与 处正电荷产生的正电位在处正电荷产生的正电位在 上互相上互相抵消。由于抵消。由于 在边界在边界 的内部，的内部，在边界在边界 的外部，的外部，处的点电荷形成电场的电位在处的点电荷形成电场的电位在 内内部是调和函数部是调和函数 v，且有，且有 故故 和和 处的电荷形成的电场在处的电荷形成的电场在 上的电位上的电位就是所要求的格林函数。就是所要求的格林函数。第8页，共24页，编辑于2022年，星期六 要解决问题要解决问题：具体步骤具体步骤：(1)(1)对应于对应于 内的一点内的一点 M0 寻求关于区域边界对称寻求关于区域边界对称的区域外的点的区域外的点 M1,1

5、.等效点电荷的等效点电荷的位置位置 2.等效点电荷的等效点电荷的电量电量(2)(2)在在 点置点置电电量量为为 q 的的负电负电荷，使得在区域荷，使得在区域边界上边界上,由该负电荷产生的电位与由该负电荷产生的电位与 点单位正点单位正电荷产生的电位互相抵消，电荷产生的电位互相抵消，即即：第9页，共24页，编辑于2022年，星期六1)1)半空间的格林函数半空间的格林函数 求解拉普拉斯方程在半空间求解拉普拉斯方程在半空间 内的狄利克雷内的狄利克雷问题，就是求函数问题，就是求函数 u(x,y,z)，它满足，它满足 第10页，共24页，编辑于2022年，星期六为解上述方程，首先找格林函数为解上述方程，首

6、先找格林函数 在在 点点()放置单位正电荷，放置单位正电荷，在在 点放置单位点放置单位负负电荷，电荷，则它与则它与 处的正电荷所产生的处的正电荷所产生的正电位在平面正电位在平面 z=0上互相抵消。上互相抵消。zyxP0由于由于 在上半空间内为在上半空间内为调和函数，在闭域调和函数，在闭域 上上具有一阶连续偏导数，具有一阶连续偏导数，第11页，共24页，编辑于2022年，星期六因此因此就是上半空间就是上半空间 z 0 的格林函数的格林函数.为了求出原问题的解：为了求出原问题的解：需要计算需要计算 zyxP0第12页，共24页，编辑于2022年，星期六第13页，共24页，编辑于2022年，星期六将

7、上式代入到将上式代入到即得到原问题的解即得到原问题的解:思考思考:半空间半空间 x 0 的格林函数及狄利克雷问题的解的格林函数及狄利克雷问题的解.第14页，共24页，编辑于2022年，星期六2)2)球域的格林函数球域的格林函数 设设 是以原点为中心，半径为是以原点为中心，半径为 R 的的球内任一点球内任一点,是是 关于球面关于球面 的的反演点。反演点。在点放置单位在点放置单位正正电荷，电荷，在点放置在点放置 q 单位单位负负电荷，电荷，使这两个电荷产生的电位在使这两个电荷产生的电位在球面上互相抵消球面上互相抵消,即即 P o R第15页，共24页，编辑于2022年，星期六故故 q 必须不依赖于

8、必须不依赖于 P 的选取且满足：的选取且满足：由由 ，得得即只要在即只要在 点放置点放置 个单位负电荷个单位负电荷,它形成电场的电位它形成电场的电位P o R第16页，共24页，编辑于2022年，星期六具有性质具有性质:在在 所围的球域内部是调和函数所围的球域内部是调和函数,在上一阶连续可微在上一阶连续可微,而且而且所以所以,球域的格林函数球域的格林函数为为第17页，共24页，编辑于2022年，星期六Mo R第18页，共24页，编辑于2022年，星期六Mo R利用球坐标可知利用球坐标可知现在利用格林函数求球内的狄氏问题：现在利用格林函数求球内的狄氏问题：第19页，共24页，编辑于2022年，星

9、期六球的球的Poisson公式公式第20页，共24页，编辑于2022年，星期六注注：拉普拉斯方程的基本解拉普拉斯方程的基本解称为拉普拉斯方程的基本解，其中称为拉普拉斯方程的基本解，其中 r 表示空间表示空间中两点之间的距离。中两点之间的距离。基本解的基本解的物理意义物理意义：点处单位正电荷所产生：点处单位正电荷所产生的电位。的电位。第21页，共24页，编辑于2022年，星期六例例：建立二维情况下调和函数的积分表达式。：建立二维情况下调和函数的积分表达式。P100,3然后与三维情形做同样处理然后与三维情形做同样处理第22页，共24页，编辑于2022年，星期六例例：在平面上建立：在平面上建立上半平面上半平面 y 0 内的格林函数内的格林函数yxP0第23页，共24页，编辑于2022年，星期六课后作业课后作业P100 习题四习题四 4.5.6.注：第注：第5题中的题中的(2.35)改为改为(2.36).第24页，共24页，编辑于2022年，星期六