第5章参数估计与假设检验.pptx

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1、 另一方面，在有些情况下，人们所关心的并不是总体的分布，而是总体的某些数字特征（一般可以表为总体参数的函数，如：若总体 X e()，则 EX=1/）。这些问题都要求人们通过对所抽取的简单随机样本进行科学的分析，从而推断出总体的未知参数或数字特征来。这类问题统称为参数估计问题。参数估计问题又分为点估计与区间估计两类。直观地讲，点估计是要用样本的某一函数值做为待估参数的估计值；区间估计则是要将待估参数确定在某一范围之内。第1页/共137页 5.1 点估计概述 一、什么叫点估计 设（X1，X2，Xn）是来自总体 X 的样本，（x1,x2,xn ）是相应的样本值。是总体分布的待估参数，表示 的取值范围

2、，称为参数空间。注：尽管参数 是未知的，但是它的参数空间 却是事先知道的。如正态总体 X N(,2)的参数 R，(0,+).第2页/共137页 为估计参数 ，需要先构造一个统计量 h(X1,X2,Xn),然后再利用该统计量的实现值 h(x1,x2,xn)来估计参数 的真值，作为 的近似值，即 h(x1,x2,xn)。称统计量 h(X1,X2,Xn)为参数 的估计量，记作 ；该统计量的实现值 h(x1,x2,xn)为参数 的估计值，记作 。在不会引起误会的场合，估计量与估计值统称为点估计，简称为估计，并简记为 。且有 。由于 的估计值 是数轴上的一个点，用 的估计值 作为 的真值的近似值，就相当

3、于用一个点来估计 ，故得名“点估计”。第3页/共137页 如果总体分布中有多个待估参数 1，2，r，(1,2,r)，则一般需要构造不同的统计量 ，i=1,2,r，分别估计各个 i ，且称 为第 i 个参数 i 的估计量，其相应的估计 值 为第 i 个参数 i 的估计值，i=1,2,r.如果待估参数是总体未知参数 的实值函数 g()（如：总体 X e()时，待估参数 EX=1/就是总体未知参数 的实值函数，此时有 g()=1/），则称用来估计实值函数 g()的统计量 为该实值函数 g()的估计量，统计量的相应的实现值为该实值函数 g()的估计值。且有 g()。第4页/共137页 例 5.1（P.

4、150 例 5.1）设某种型号的电子元件的寿命 X（以小时计），（x 0）。为未知参数，0。现得样本值为168，130，169，143，174，198，108，212，252，试估计未知参数 。解 未知参数 的一个估计量，就是利用样本构造的一个函数。方法一 总体 X 服从参数为 的指数分布：X e()，EX=（），即未知参数 就是总体 X 的数学期望（均值）。第5页/共137页 因此一个自然的想法就是，用样本均值 来估计未知参数 （即总体的均值），得到未知参数 的一个估计量为 ，其中 。对于给定的样本值，计算出未知参数 的一个估计值为 。即 172.7。方法二 未知参数 的估计量也可以取为 ，

5、则相应的估计值为 。即 168。第6页/共137页 方法三 记 X(1)=min X1,X2,X9，X(9)=max X1,X2,X9。将未知参数 的估计量取为 ，则相应的估计值为 。即 180.由此可见，同一个未知参数，其估计量可以是多个。对于一个未知参数，原则上可以随意地去构造其估计量。因此，需要制定出衡量各种估计量好坏的标准，对估计量进行评价。注：由于作为估计量的统计量，是样本的函数，因而它是一个随机变量，具有不确定性。因此，在评价估计量时，不能仅凭一次估计的效果来衡量估计量的好坏，即不能用估计量的一次实现值（估计值）来衡量其好坏。要对估计量进行综合评价。最常用的评价估计量好坏的标准有：

6、无偏性、有效性和相合性。第7页/共137页 二、评价估计量的标准 1、无偏性 待估参数 的一个好的估计量 在多次使用中，其估计值应该在待估参数 的真值的两侧对称分布，即 的平均值应该与 的真值基本一致，即 。如果估计量的实现值较多地偏向待估参数的真值的左（右）边，则说明估计值通常要小（大）于参数的真值，用这样的估计量去估计参数，通常会低估（高估）参数的真值。据此得到了评价估计量的“无偏性”标准。定义 5.1（P.146）设 为参数 的估计量，若 ，则称 是 的无偏估计量，否则称 是 的有偏估计量。若 ，则称 是 的渐进无偏估计量。第8页/共137页 例 5.2（P.150 例 5.2*）设（X

7、1，X2，Xn）是取自总体 X 的容量为 n 的样本。试验证样本方差 是总体方差 2 的无偏估计量，而统计量 （未修正的样本方差）是总体方差 2 的有偏估计量。证 总体方差 DX=2 存在，总体均值也存在，记为 ，即 EX=。又（X1，X2，Xn）是取自总体 X 的一个样本，EXi=EX=，DXi=DX=2，i=1，2，n。且 X1，X2，Xn 相互独立。第9页/共137页 于是，样本均值 满足：（即样本均值 X 是总体均值 的无偏估计：E X=EX=）；（即 ）。第10页/共137页 而样本方 ，故 样本方差 是总体方差 2 的无偏估计量。第11页/共137页又 统计量 是总体方差 2 的有

8、偏估计量（但它是总体方差 2 的渐进无偏估计量）。用统计量 B2 估计总体方差 2 时，平均说来会低估 2。可见，样本方差 S 2 比未修正的样本方差 B2 具有更良好的统计性质。第12页/共137页 注：当估计量 是待估参数 的无偏估计量时，其函数 不一定仍是 g()的无偏估计量（取决于函数 g()是否为线性函数）。例如，设总体 X N(,2)（0），则样本均值 X 是总体均值 的无偏估计量，但函数 X 2 却不是 2 的无偏估计量。事实上，。即 X 2 不是 2 的无偏估计量。一个待估参数 有时可以有若干个无偏估计量。第13页/共137页 例如，在例 5.1 中，总体 X e()，EX=，

9、DX=2.未知参数 （0）的估计量 ，其中 ，以及 都是参数 的无偏估计量。但是，。从而有 。这说明，用 去估计未知参数 时，估计值在 的真值周围较集中地对称分布，摆动的幅度比较小；而用 去估计未知参数 时，估计值在 的真值周围较分散地对称分布，摆动的幅度比较大。这也就是说，估计未知参数 时，一般比 更接近 的真值。因此，一个好的估计量不仅应该是无偏估计量，而且应该有尽可能小的方差。由此得到评价估计两好坏的第二个标准有效性。第14页/共137页 2、有效性 定义 5.2（P.152）设 与 是参数 的两个无偏估计量，若 ，则称估计量 较 有效。在参数 的所有无偏估计量中，若 的方差最小，则称估

10、计量 是参数 的最有效（最优、最佳）的估计量。注：只有当估计量 与 都是参数 的无偏估计量时，才讨论 与 的有效性；并非所有未知参数都具有最有效的估计量。第15页/共137页 例 5.5 设总体 X 的期望 和方差 2 都存在，(X1，X2)是容量为 2 的样本，说明统计量 哪个是总体期望 的最有效的估计量。解 依题意 EX1=EX2=EX=，DX1=DX2=DX=2，且 X1，X2 相互独立。，1 和 2 是总体期望 的无偏估计量。在总体期望 的无偏估计量 1 和 2 中，2 是 1、2、3 中对总体期望 的最有效的估计量。第16页/共137页 注：尽管 3 的方差 最小，但由于 3 不是总

11、体期望 的无偏估计量，因此 3 也不是总体期望 的最有效的估计量。3、相合性（一致性）无偏性和有效性都是小样本准则，即性质成立与否与样本容量 n 无关。如果某种准则只要求当样本容量 n 时，估计量具有某种优良性质（如渐进无偏性），则称这种准则为大样本准则。相合性（一致性）是重要的大样本准则之一，它反映了估计量的一种大样本性质。第17页/共137页 定义 5.3（P.153）设 为未知参数 的估计量，若 依概率收敛于 ，即对任意 0，有 或 ，则称 为 的（弱）相合估计量。此时也称估计量 具有相合性（一致性）.定义 5.3 表明，“相合性”就是当样本容量 n 无限增大时,估计量 与未知参数 的真

12、值任意接近的概率趋于 1。第18页/共137页 例 5.6 根据伯努利大数定律（P.107 定理 3.8）：“，则对任意 0，有 ”可见，在 n 重伯努利试验中，事件 A 发生的频率 是其发生的概率 p 的相合估计量 .根据辛钦大数定律（P.108 定理 3.10）：“，则对任意 0，有 ”可见，样本均值 X 是总体期望值 的相合估计量。用不同的准则去衡量同一个估计量，会得出不同的结论，因此，要根据实际情况的具体需要选择适当的估计量。作业 P154,1第19页/共137页5.2 参数的极大似然估计与矩估计 一、极大似然估计 极大似然估计法最早是由高斯（C.F.Gauss）提出来的，后来由费歇（

13、R.A.Fisher）证明了这种方法的一些性质，并给出了“极大似然估计法”这一名称。1 1、极大似然估计法的基本思想（P.150）极大似然估计法的思想很简单：在已经得到试验结果的情况下，应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个 作为未知参数 的估计。第20页/共137页 设（X1，X2，Xn）为来自总体 X 的容量为 n 的样本，总体 X 的分布类型已知，但参数 未知，。（1）总体 X 是离散型随机变量，其概率分布的形式为 P(X=x)=p(x;)，则样本（X1，X2，Xn）的概率分布为 ，。在 固定时，此式表示样本（X1，X2，Xn）取值（x1，x2，xn）的概率；反之，当样本值 (即试验结

14、果)（x1，x2，xn）给定时，上式则可以看作是未知参数 的函数，记作 L()，并称 ，为似然函数。第21页/共137页 对于不同的 值，似然函数 L()有不同的函数值。而似然函数似 L()的值的大小，又表示样本（X1，X2，Xn）取值（x1，x2，xn）的概率，即意味着样本值（x1，x2，xn）出现的可能性的大小。既然经过试验已经得到了样本值（x1，x2，xn），那么就有理由认为此样本值（x1，x2，xn）出现的可能性是最大的。也就是说，此时似然函数的取值应该是最大的。因此，选择使似然函数 L()达到最大值的那个 *作为未知参数 的估计，即选择 *，使 。第22页/共137页 （2）总体 X

15、 是连续型随机变量，其密度函数为 f(x;),则样本（X1，X2，Xn）的概率密度函数为 ，。在 固定时，它表示样本（X1，X2，Xn）在（x1，x2，xn）处的密度，其值的大小与样本（X1，X2，Xn）落在点（x1，x2，xn）附近的概率值的大小成正比；反之，当样本值（即试验结果）（x1，x2，xn）给定时，它是未知参数 的函数，仍然记作 L()，并称 ，为似然函数。同样，应该选择使似然函数 L()达到最大值的那个 *作为未知参数 的估计，即选择 *，使 。第23页/共137页 这种 “选择使似然函数 L()达到最大值的那个 *作为未知参数 的估计”的求点估计的方法，叫做极大似然估计法。注：

16、由于 *通常随样本值（x1，x2，xn）的不同而变化，因此 *通常是样本值（x1，x2，xn）的函数，记作 *=*(x1,x2,xn)。第24页/共137页 定义 5.4（P.154）若对任意给定的样本值（x1,x2,xn），存在 *=*(x1,x2,xn)，使 ,则称 *(x1,x2,xn)为参数 的极大似然估计值，称相应的统计量 *(X1,X2,Xn)为参数 的极大似然估计量。它们统称为参数 的极大似然估计，可简记作 M L E（Maximum Likelihood Estimate）。其中似然函数 ，。第25页/共137页 如果总体中含有多个未知参数 1，2，r，那么似然函数就是多元函数

17、 L(1,2,r)。若对任意给定的样本值（x1，x2，xn），存在 i*=i*(x1,x2,xn)，i=1，2，r，使 ,则称 i*(x1,x2,xn)为参数 i 的极大似然估计（M L E），i=1，2，r。极大似然估计的不变性（P.152）：如果 是参数 的极大似然估计，u=g()是 的函数，且存在单值反函数 =g 1(u)，则 就是 g()的极大似然估计（此性质可以推广到多个参数的场合）。第26页/共137页 例如，若 是未知参数 的极大似然估计，u1=3，u2=2，则 是 u1=3 的极大似然估计；但是，就不一定是 u2 =2 的极大似然估计（因为函数 u2=2 不存在 的单值的反函数

18、）。下面给出极大似然估计法的定义：定义 以极大似然估计（值或量）作为未知参数 的估计，以 的函数 作为未知参数 的同一函数 g()的估计的方法，称为极大似然估计法。其中 g()存在单值反函数。第27页/共137页 求极大似然估计 （i=1，2，r）的主要步骤 写出似然函数 ,(1,2,r)；如果似然函数 L(1,2,r)是某个未知参数 i 的单调函数，则似然函数的最大值点 i*一定在参数 i 的参数空间的边界上达到，此时可以直接求出 i*；如果似然函数 L(1,2,r)不是未知参数 i 的单调函数，i=1,2,r，求对数似然函数 ln L(1,2,r);第28页/共137页 令 ，i=1，2，

19、r，得到似然方程组，从中解出所有驻点；从求出的所有驻点中，找出使似然函数 L(1,2,r)达到最大值的点 i*，i=1，2，r；注：当似然函数 L(1,2,r)关于某个 i(1 i r)的驻点唯一时，则认为该驻点就是似然函数的最大值点 i*（1 i r），而不必再做进一步的验证了。给出各参数的极大似然估计 M L E：极大似然估计值 ，i=1，2，r；极大似然估计量 ，i=1，2，r。第29页/共137页 例5.9 设（X1，X2，Xn）为总体 X 的一组样本，总体 X 密度函数为：（参数 未知，且 0），（1）试求未知参数 的极大似然估计量；（2）检验其无偏性。解（1）似然函数 ，0，两边取

20、对数，得 ，由 ，得唯一驻点 ，参数 的极大似然估计量为 。第30页/共137页（2）（X1，X2，Xn）为总体 X 的一组样本，E Xi=E X，E Xi =E X ，i=1，2，n。又 是 的无偏估计量。第31页/共137页 例5.10 设总体 X 在区间 0，（0）上服从均匀分布，求未知参数 的极大似然估计（量/值）。解 依题意，总体 X 的密度函数为 设（X1，X2，Xn）是取自总体 X 的容量为 n 的样本，其样本值为（x1，x2，xn），则似然函数为 似然函数 L()关于未知参数 单调减少，且其最大值在 的范围内达到。当 时，似然函数 L()达到最大值。于是，参数 的极大似然估计量

21、为 ，极大似然估计值为 。第32页/共137页 例5.11 设总体 X 的密度函数为（0），从总体 X中抽取一组样本(X1，X2，Xn)，样本值为(x1，x2，xn)，求总体期望 的极大似然估计量。解 （1）先求总体参数 的极大似然估计量 ：似然函数 ，（0 x i 0。两边取对数，得 ，由 ，得唯一驻点 。参数 的极大似然估计量为 。第33页/共137页 （2 2）再求总体期望 的极大似然估计量 ：，此函数存在 的单值反函数，总体期望 的极大似然估计量为 .极大似然估计法有许多优良的性质，因此它是一种很有用的估计方法。但是，在求极大似然估计时，必须知道总体的分布，而且似然方程组的解有时也不容

22、易求，因而使它在应用上受到了一定的限制。第34页/共137页二、矩估计 1、矩估计法的基本思想 除极大似然估计法外，矩估计法也是求点估计常用的方法.矩估计法的基本思想是（P.157）：用相应的样本矩去估计总体矩；用相应的样本矩的函数去估计总体矩的相同函数。例如，设总体 X e()，则 。于是，总体均值的矩估计量为 ，总体未知参数 的矩估计量为 .第35页/共137页 总体 k（k 0）阶原点矩为：k=EXk（1=EX），总体 k（k 0）阶中心矩为：k=E(X EX)k（1=0，2=DX）。样本（X1，X2，Xn）则 样本 k（k 0）阶原点矩为：（A1=X），样本 k（k 0）阶中心矩为：（

23、B2=S02）,其中 。第36页/共137页 利用矩估计法，就是用样本的 k 阶原点矩去估计总体的 k 阶原点矩；用样本的 k 阶中心矩去估计总体的 k 阶中心矩，即 ，k=1，2，；，k=2，3，。这种求点估计的方法称为矩估计法。用矩估计法确定的估计量称为矩估计量，相应的估计值称为矩估计值。矩估计量与矩估计值统称为矩估计，简记为 M E（Moment Estimate）。在实际应用中，大部分情况下是求总体期望 EX 和方差 DX 的矩估计量：；，其中 为样本均值。第37页/共137页 矩估计法是一种古老的估计方法。其特点是不要求已知总体分布的类型，只要未知参数可以表示成总体矩的函数，就能够求

24、出未知参数的矩估计。矩估计法的思路自然，且不一定需要知道总体分布的类型，因而有着广泛的应用。但是，当样本容量 n 较大时，所得到的矩估计值的精度一般不如极大似然估计值的精度高；当总体分布的类型已知时，采用矩估计法不能够充分利用总体分布所提供的信息，损失了有用的信息。另外，矩估计有时还不具有唯一性，例如，设总体X P()，则 EX=DX=。于是，未知参数 的矩估计量为 ，或 ，其中 为样本均值。第38页/共137页 2、矩估计的求法 按照矩估计法的基本思想，求未知参数的矩估计的一般步骤为（P.158）：（1）从总体矩入手，将待估参数 表示为总体矩的函数，即 =g(1,2,l;1,2,s)；（2）

25、用样本矩 Ak，Bk（k=1，2，）分别替换函数g g()中的总体矩 k，k.(3)得到参数 的矩估计（ME），即 第39页/共137页其中 是未知参数，（X1，X2，Xn）是来自总体 X 的样本，求参数 的矩估计量。解 求矩估计量 找出参数 与总体矩（数学期望、方差等）之间的关系 E X=0 2+1 2 (1 )+2 2+3 (1 2 )=3 4 。求总体期望 E X 的矩估计量以及参数 的矩估计量 例5.14（续例 5.8）设总体 X 的概率分布为第40页/共137页 求总体期望 E X 的矩估计量以及参数 的矩估计量 又 总体期望 E X 的矩估计量是 ，其中 未知参数 的矩估计量是 ，

26、其中 。第41页/共137页 例5.15 设总体 X 具有密度函数（其中 为未知参数，且 1），取自总体的样本为（X1，X2，Xn），求 的矩估计量。解 首先找出参数 与总体矩（数学期望、方差等）之间的关系 ，再求总体期望 E X 的矩估计量，最终得到 的矩估计量 又 ，.第42页/共137页 例5.18*设总体 X 服从 分布，其密度函数为 ，其中参数 ，未知，(X1,X2,Xn）为取自总体 X 的样本，求 ，的矩估计量。注：此题含有两个未知参数 和 ，需要求 EX 和 EX2（或 DX）；求解过程中需要用到 函数的有关知识：；且有 (+1)=()。第43页/共137页解 由 ，解得 ，且有

27、关系式 =EX 。；有 (+1)=()。第44页/共137页 又 总体期望 EX 和方差 DX 的矩估计量分别为 和 ，其中 。参数 和 的矩估计量分别为 和 ，其中 。作业 P159:1(1),(4).第45页/共137页 5.3 置信区间 点估计就是用数轴上的一个点去估计总体的未知参数 。可见，利用点估计是不能够直接提供估计误差的。第46页/共137页 在有些情况下，人们并不满足于这种只找出未知参数 的某一个近似值的做法，人们还关心这种近似的精度有多高，即 需要指出用估计值 去估计未知参数 的误差范围有多大？同时还需要指出这个误差范围能以多大的概率包含未知参数？这些问题的解决需要引入另一类

28、估计问题区间估计。在区间估计的理论中，被广泛接受的一种观点是置信区间，它是由奈曼（Neyman）于 1934 年提出的。第47页/共137页 一、置信区间的概念 定义 5.5（P.155）设 为总体分布的未知参数，,（X1，X2，Xn）为来自总体 X 的样本。对给定的数 1 （0 1），如果存在两个统计量 (X1,X2,Xn)和(X1,X2,Xn)，使得 P()=1 ，则称区间 I=（,）为参数 的置信度为 1 的置信区间，(X1,X2,Xn)和(X1,X2,Xn)分别称为参数 的置信度为 1 的置信下限和置信上限，1 称为置信度（置信系数、置信概率），是参数估计不准的概率。第48页/共137

29、页 注：置信区间的两个端点 (X1,X2,Xn)和(X1,X2,Xn)不依赖于参数 的随机变量，因而置信区间 I=（,）是一个随机区间，由样本值来确定。这个随机区间是置信区间的一个实现,它能够套住参数 的概率就是置信度 1 ，套不住参数 的概率为 。置信度1 通常取为 0.90，0.95 和 0.99。用频率来解释就是：如果重复试验了 100 次，得到样本（X1，X2，Xn）的 100 个实现值，相应地可以得到 100 个置信区间值（,），则在这 100 个区间中，大约有 100(1 )个区间包含有未知参数 ，不包含未知参数 的区间大约有 100 个。如果令 =0.05，在上述 100 个区间

30、中，大约有 95 个区间包含有参数 ，大约有 5 个区间不包含有参数 。第49页/共137页 当得到一组样本值（x1，x2，xn）以后，置信区间 I=（(x1,x2,xn),(x1,x2,xn)）就是一个确定的普通区间了，其具体位置也就确定下来了(实现)。在这个确定的区间中，可能包含参数 ，也可能不包含参数 。未知参数 落入置信区间的可能性是置信度 1 。与 的差 称为置信区间的长度，它的大小反映了区间估计的估计误差（精度）：区间越长，该区间包含参数 的可能性就越大（置信度就越高），估计的误差也就越大（估计精度降低）；区间越短，该区间包含参数 的可能性就越小（置信度就越低），估计误差也就越小（

31、估计精度有所提高 ）。第50页/共137页 人们总是希望置信区间（,）的长度越短越好（以缩小估计的误差，提高估计的精度），同时也希望置信区间（,）中包含参数 的置信度 1 越高越好（以提高估计的可靠性.二者是相互矛盾的。当样本容量 n 一定时，置信度 1 越高，置信区间（,）的长度也将随之增大。一般的做法是：先取定置信度 1 的值，再来选择相应的最短的置信区间。如果既要满足对区间长度的要求，又要满足对置信度的要求，则需要通过加大样本容量 n 来实现。而样本容量 n 的增大，通常又会导致费用的增加，而且在有些情况下是做不到的。（可见，增加样本容量，可提高统计推断的可靠性。）第51页/共137页

32、二、寻找置信区间的方法 先看例5.12.寻找未知参数 的置信区间的一般步骤为：（P.157P.157）（1）选取未知参数 的一个较优的点估计 ；围绕 寻找一个含有未知参数 的枢轴量V=V(X1,X2,Xn；)，且要求枢轴量 V 的分布是已知的；第52页/共137页 （2）对于给定的置信度 1 ，分别确定分位数 1 和 2，使得 P(1 V(X1,X2,Xn；)2)=1 （*）注：一般可选取满足 P(V(X1,X2,Xn；)1)=P(V(X1,X2,Xn；)2)=/2的 1 和 2（1=v1 /2 ，2=v /2），即 （2*）对于给定的置信度 1 ，分别确定分布水平 1 /2 和 /2 的上侧

33、分位数 v1 /2 和 v /2，使得 P(v1 /2 V(X1,X2,Xn；)v1 /2)=1 /2 （或 FV(v1 /2)=/2）；和 P(V(X1,X2,Xn；)v /2)=/2 （或 FV(v /2)=1 /2）。（3）给出置信区间 将（*）式变形(反解)为 P(X1,X2,Xn)0，（X1,X2,Xn）是取自总体 X 的样本。（1）试证 ；（2）试求 的 1 置信区间;解（1 1）分析：将 2 2 变量 （2(2n)）分解。，故只需证明总体 X 的 倍（即 X）服从 2(2)。第56页/共137页 解（1）记 ，设 Y 的分布函数与密度函数分别为 G(y)与 g(y)，则由 0，得

34、 于是，即 Y e(1/2)=2(2)。（X1，X2，Xn）是取自总体 X 的样本，i=1，2，n。且 X1，X2，Xn 相互独立。由独立 2 变量的可加性，得 。又 ，.第57页/共137页 （2）样本均值 X 是未知参数 的极大似然估计量。从 X 出发，考虑枢轴量 ，由（1）知 ；对给定的 1 ，确定分位数 和 ，使 .(*)即 和 满足 和 ；第58页/共137页 将（*）式变形为 ，得到参数 的 1 置信区间为 。注：在求置信区间的计算过程中，一般保留两位小数即可。在小样本的情形下，根据所讨论问题的不同，枢轴量的选取也不同，从而得到的置信上限、置信下限的计算公式也会有所变化。第59页/

35、共137页 2、大样本情形的渐进置信区间（样本容量 n 30，最好 n 50）（P.166）当总体的分布未知，或者虽然总体的分布已知，但是枢轴量的分布难以确定时，有时也可以利用极限分布来构造总体期望 EX 的渐近置信区间。注：此时要求样本容量 n 足够大；利用此方法只能求出总体期望 EX 以及与 EX 有关的参数的近似置信区间，如：若总体 X e()，则 EX=1/。于是，由总体期望 EX 的近似置信区间（,），可以推知总体参数 的近似置信区间为（1/，1/）。第60页/共137页 总体 X:EX=和 DX=2，（X1，X2，Xn）是来自总体 X 的容量为 n 的样本。当样本容量 n 充分大时

36、，；，其中 X 和 S2 分别为样本均值和样本方差。由此可以得到大样本的情形下，求总体 X 的数学期望EX=的置信度约为 1 的置信区间的基本步骤：（1）取枢轴量 （当总体方差 2 已知时）；或：（当总体方差 2 未知时），且 当样本容量 n 充分大时，Un 和 Tn 都近似服从标准正态分布 N(0，1)（定理 4.4）。第61页/共137页 （2）对于给定的置信度 1 ，查标准正态分布表，确定分布水平 的双侧分位数 u /2，使 。从而有 当总体方差 2 已知时 ；即 。或：当总体方差 2 未知时 ；即 。第62页/共137页 （3）总体 X 的数学期望 EX=的置信度约为 1 的置信区间为

37、 ，简记为 （当总体方差 2 已知时）；或：，简记为 （当总体方差 2 2 未知时）。置信区间的长度为 （当总体方差 2 已知时）；或：（当总体方差 2 未知时）。第63页/共137页 例 5.17已知总体 X b(1,p)时，=EX=p，2 2=DX=p(1 p)。若样本容量 n 充分大，则总体期望 p 满足 ，经不等式变形得 P(ap2+bp+c 0)1 ，其中a=n+(u /2)2，b=2n X (u /2)2，c=n(X)2。即 P(p1 p p2)1 ，其中 ，。于是，区间（p1，p2）就是总体期望 p 的置信度约为 1 的置信区间。第64页/共137页 在实际应用中，为使计算方便，

38、常常采用下面的简化了的置信区间：由于当样本容量 n 充分大时，,且用样本均值 X 代替分母中的总体均值 EX=p 以后，仍然成立 （证明略）。所以有 ，即 。于是，总体期望 p 的置信度约为 1 的置信区间为 。例5.185.18 第65页/共137页 例5.20 某铁路局随机抽取了 100 天的预订票记录，统计未到旅客的人数。整理后的结果如下：求预订票未到旅客的平均人数 的 95%的置信区间。解 记 r.v.X 一天中预订票而未到的旅客人数 这是总体 X 的分布未知，大样本的情况下，求总体期望 的双侧置信区间的问题。（1）枢轴量 （当 n n 充分大时），（2）对于 =1 95%=0.05，

39、查标准正态分布表，得u 0.025=1.96，预订未到人数0 1 2 3 4 5 6天数 20 37 23 15 4 0 1第66页/共137页 （3）依题意，n=100，置信下限 为 ，置信上限为 ，预订票未到旅客的平均人数 的置信度约为 95%的置信区间为（1.27，1.73）。第67页/共137页 三、正态总体参数的置信区间（参见 P.195表 5.1）P.163 设总体 X N(,2)，0，（X1，X2，Xn）是来自总体 X 的样本。1、总体均值 的置信区间 （1）方差 2 已知的情形 当总体方差 2 已知时，求总体期望 的置信度为 1 的置信区间的步骤如下：选择含有未知参数 的枢轴量

40、 ，并确定其分布：U N(0,1)（定理 4.2）；第68页/共137页 根据给定的置信度 1 ，查标准正态分布表，确定分布水平 的双侧分位数 u /2，使 ，从而有，即 ；求置信区间 正态总体 X 的数学期望 的置信度为 1 的置信下限为 ，置信上限为 ，从而，正态总体 X 的数学期望 的置信度为 1 的置信区间为 ，简记为 第69页/共137页 从而，正态总体 X 的数学期望 的置信度为 1 的置信区间为 ，简记为 。置信区间的长度为 。注：置信区间的长度 。这说明，既要置信度 1 足够大（即 u /2 足够大），又要区间长度 L 充分小，只有通过加大样本容量来实现。第70页/共137页

41、按照上述方法所求到的置信区间，是所有满足置信度要求的置信区间中长度最短的一个（P.163）。事实上，根据置信区间的定义（定义 5.5），在给定置信度 1 时，对任意的 1 0，2 0，1+2=，所有满足 的区间 都是 的置信度为 1 的置信区间。这些置信区间的长度 ，即当 1=2=/2 时，置信区间的长度最短。10(x)/2/21+2=2 x u /2 0 u /2 1 第71页/共137页方差已知时均值的区间估计0a/2ua/2a/2ua/2第72页/共137页例5.14第73页/共137页 例5.21 设正态总体 N(,2)的方差 2 已知，置信度为1 。为使总体均值 的置信区间的长度不大

42、于 L，样本容量至少为多少？解 设样本容量为 n。依题意，置信区间的长度 ，解得 。于是，样本容量至少应为不小于 的最小正整数（只入不舍）。第74页/共137页 例5.22 某车间生产滚珠，其直径 X 是随机变量，总体 X N(,0.06)，从某天的产品中随机抽取六件，测得其直径（单位：毫米）:14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 （1）求 的置信度为 95%的置信区间；（2）如果要求置信区间的长度不大于 0.1，求样本容量至少应取为多少？解 （1）这是已知正态总体方差 2=0.06 时，求总体期望 的置信区间的问题。枢轴量 ；1 =95%，=0.05。查标准正态分布表得

43、 u0.025=1.96；第75页/共137页 依题意，2=0.06，n=6，于是，置信下限为 ，置信上限为 ，的 95%的置信区间为（14.754，15.146），即有 95%的把握使总体期望 属于区间（14.754，15.146）。（置信区间的长度 L=0.392）（2）依题意，2=0.06，u /2=u0.025=1.96，为使置信区间的长度 ，则样本容量 n 应满足 ，即样本容量至少应取为 93（只入不舍）。第76页/共137页 （2）方差 2 未知的情形 当总体方差 2 未知时，求总体期望 的置信度为 1 的置信区间的步骤如下（表 5.1）：选择含有未知参数 的枢轴量，并确定其分布

44、由于总体方差 2 未知，故用样本方差 S 2 代替，得到枢轴量 ，其中 是样本标准差，且有T t(n 1)（定理 4.2）；对于给定的置信度 1 ，根据显著水平 与自由度 n 1，查 t 分布表，确定分布水平 的双侧分位数 t /2(n 1)，使 ，第77页/共137页 从而有 ，即 ；求置信区间 正态总体 X 的数学期望 的置信度为 1 的置信下限为 ，置信上限为 ，从而，正态总体 X 的数学期望 的置信度为 1 的置信区间为 ，简记为 置信区间的长度为 。第78页/共137页0a/2a/2ta/2(n1)ta/2(n1)第79页/共137页 例5.24 假设总体方差 2 未知。某车间生产滚

45、珠，其直径 X 是服从正态分布的随机变量，从某天的产品中随机抽取六件，测得其直径（单位：毫米）：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1，求总体期望 的置信度为 95%的置信区间。解 这是正态总体方差 2 2 未知的情况下，求总体期望 的置信区间的问题。依题意，设直径 X N(,2)。（1）枢轴量 ；（2）1 =95%，=0.05。查自由度 n 1=5 的 t 分布表，得 t 0.025(5)=2.5706；第80页/共137页 （3）依题意，n=6，于是，置信下限为 ，置信上限为 ，的 95%的置信区间为（14.713，15.187），即有 95%的把握使总体期望 属于区间

46、（14.713，15.187）。（置信区间的长度 L=0.474 0.392）第81页/共137页 比较例 5.22 和例 5.24 的结果可知：总体方差 2 未知时得到的置信区间的长度，要比总体方差 2 已知时得到的置信区间的长度长，说明总体方差 2 未知时的估计误差有所增加，估计精度有所降低。这也就是说，如果得到的有关总体的信息较少，那么估计的精度就较低。2、总体方差 2 的置信区间 类似地，求总体方差 2 的置信度为 1 的置信区间，分为总体数学期望 已知或未知两种情形来考虑，所使用的原理和方法与求总体期望 的置信区间的原理和方法基本相同，只是所选取的枢轴量有所不同。第82页/共137页

47、(1)均值已知时方差的区间估计第83页/共137页a/2a/2第84页/共137页(2)均值未知时方差的区间估计第85页/共137页a/2a/2第86页/共137页 在实际应用中，总体期望 与总体方差 2 往往都是未知的，这里主要讨论在 未知时，2 的置信区间。求出的正态总体 X 的方差 2 的置信度为 1 的置信区间为 。置信区间的长度为 ，另外，正态总体 X 的标准差 的置信度为 1 的置信区间为 。第87页/共137页解 由题意得 查表得 算得 所求置信区间为(0.038,0.506)第88页/共137页 例5.25 某种内服药有使病人血压增高的副作用，已知血压的增高服从正态分布。现测得

48、 10 名服用此药的病人的血压，记录血压增高的数据如下：18 27 23 15 18 15 18 20 17 8 求药物导致血压增高的标准差的 90%的置信区间。解 这是正态总体期望 未知时，求总体标准差 的置信区间的问题。依题意，设血压的增高 X N(,2)。（1）枢轴量 ；（2）置信度 1 =90%，显著水平 =0.10，查自由度 n 1=9 的 2 分布表，得 2 0.95(9)=3.325，2 0.05(9)=16.919；第89页/共137页 （3）依题意，n=10，x=17.9，s2=25.4，置信下限 ，；置信上限为 ，；从而，药物导致血压增高的标准差的 90%的置信区间为（3.

49、67，8.29）（药物导致血压增高的方差的 90%的置信区间为（13.5，68.8）。教材将单正态总体参数的置信区间的求法归纳于表 5.1 中。作业P168:2,3.第90页/共137页 5.4 假设检验概述 参数估计是根据所抽取到的来自总体的样本，求出总体未知参数的一个估计值（点估计），或者求出总体未知参数的某一个取值范围（区间估计）。假设检验是根据所抽取到的来自总体的样本，对人们已经做出的关于该总体的某个方面（如：总体分布函数、数字特征、参数值等）的论断（常用 H0 表示）的正确性进行检验。这些论断通常称为统计假设，用字母 H 表示。统计假设是人们对待验证问题的论断，形式多样.统计检验是用

50、于验证统计假设对错的一种方法。第91页/共137页 一、假设检验问题的提法（统计假设 H）完整的统计假设一般包括两部分：1、原假设（零假设），用 H0 表示.原假设 H0 是有关总体的未知分布的假设。2、备择假设（对立假设），用 H1 表示。备择假设 H1 是与原假设 H0 对立的假设。当根据抽样调查的资料有充分理由否定原假设H0 时，接受与其对立的假设H1。原假设与备择假设之中只有一个是真的，需要人们通过假设检验的方法加以鉴别。假设检验是针对原假设 H0 进行的，其目的在于判断原假设 H0 的真伪。第92页/共137页 例 5.30 某工厂生产一批产品共 20000 件，经检验合格才能出厂。