第八章 空间解析几何与向量代数同济六版.ppt
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1、第八章 空间解析几何与向量代数同济六版 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 1 向量及其线性运算向量及其线性运算2 数量积,向量积数量积,向量积3 平面及其方程平面及其方程4 空间直线及其方程空间直线及其方程5 曲面及其方程曲面及其方程6 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 第一次课第一次课四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1 向量及其线性运算向量及其线性运算2.向量的大
2、小向量的大小(模模):1.向量向量:(又称矢量又称矢量).既有大小既有大小,又有方向的量称为向量又有方向的量称为向量4.单位向量单位向量:3.零向量零向量:一、向量的概念一、向量的概念方向任意方向任意.记为记为5.平行向量平行向量:方向相同方向相同,或相反或相反.(零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行)6.相等向量相等向量:大小相等大小相等,方向相同方向相同.目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.向量的加减法向量的加减法三角形法则三角形法则:(1)加法:平行四边形法则:加法:平行四边形法则:(3)加法满足交换律,结合律见加法满足交换律,结合律见P
3、2.(2)三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加.(4)减法:减法:(5)三角不等式三角不等式 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 2.向量与数的乘法:向量与数的乘法:(1)定义:向量定义:向量 与数与数的乘法记为的乘法记为(2)向量与数的乘法满足结合律向量与数的乘法满足结合律,分配律分配律.见见P4.(3)则则(4)定理定理1.1:设:设则则 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束(5)与与 同向的单位向量为:同向的单位向量为:【例例1】如果四边形对角线互相平分,则它是如果四边形对角线互相平分,则它是解解:如图如图 M 为四边形为四边形ABCD 对角线的交点对角
4、线的交点,则则由已知由已知所以所以所以所以ABCD为平行四边形为平行四边形.目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴(横轴横轴)(纵轴纵轴)(竖轴竖轴)坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)zox面面1.空间直角坐标系空间直角坐标系(右手系右手系)目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 向径向径在直角坐标系下在直角坐标系下坐标轴上的点坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标:原点原点 O(0,0,0);(称为点称为点M的坐标的坐标)目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束
5、坐标轴坐标轴:坐标面坐标面:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 2.向量的坐标表示向量的坐标表示(1)设点设点 M(x,y,z),则则分别表示坐标轴分别表示坐标轴x,y,z上的单位向量上的单位向量 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算1.设设为实数,为实数,则则 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 2.已知两点已知两点则则3.平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:【例例2】P8例例2 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【例例3】已知两点已知两点及实数及实数-1在直线
6、在直线AB上求一点上求一点 M,使使解解:设设 M 的坐标为的坐标为如图所示如图所示由已知由已知由由得定比分点公式得定比分点公式:当当=1时,时,点点 M 为为 AB 的中点的中点,于是于是得中点公式得中点公式:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模向量的模:设设则由勾股定理得有则由勾股定理得有设设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则 2.两点间的距离公式两点间的距离公式【例例】P10例例4,5,6 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 3.方向角与方向余弦方向角与方向余弦(1)夹角夹角:(2)方向方向角
7、角:向量向量与三坐标轴的夹角与三坐标轴的夹角 ,称为方向角称为方向角 ,的方向余弦的方向余弦(3)方向余弦:方向余弦:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【例例4】P11例例8方法方法2:设设则由则由 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 4.向量在轴上的投影向量在轴上的投影(1)定义定义:过过M 作平面作平面交交 轴于轴于设设 轴上的单位向量为轴上的单位向量为则则称为称为在在 上的投影上的投影,记为记为注:投影注:投影是一个数,是一个数,当当 与与 同向时为正同向时为正,反向时为负反向时为负.目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束(2)向量在轴上的投影向量在轴上的投影则则(3)投影
8、的性质投影的性质 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【作业作业】P12 Ex8-1 4,5,11,12,14,17,19 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 第二次课第二次课2 数量积数量积,向量积向量积一、数量积一、数量积的数量积等于两向量的长度与它们夹的数量积等于两向量的长度与它们夹1.De2.1:角的余弦的乘积角的余弦的乘积,记为记为即即:2.由投影性质由投影性质:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 3.性质性质两两之间的数量积两两之间的数量积4.1110000005.运算规律运算规律见见P14-15【例例5】P15例例1 目录
9、目录上页上页下页下页返回返回结束结束 6.数量积的坐标表示法数量积的坐标表示法设设特别:特别:则则 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 5.向量向量 夹角余弦的坐标表达式夹角余弦的坐标表达式【例例6】P16例例2 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【例例7】试在试在 所确定的平面内找一个与所确定的平面内找一个与 垂直的垂直的解:解:由于由于,故故 与与 确定一个平面确定一个平面设设单位向量单位向量 ,其中其中取取=1,则,则=3故所求的单位向量故所求的单位向量 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 二、向量积二、向量积的向量积是满足下列条件的一个向量,的向量积是满足下列条件的一
10、个向量,1.De2.2:2.性质性质:记为记为与与 都垂直;都垂直;构成右手系构成右手系 有一个为零向量有一个为零向量 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 两两之间的数量积两两之间的数量积3.4.运算规律运算规律 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 5.向量积的坐标表示法向量积的坐标表示法设设则则 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 解:解:可取可取【例例8】求与求与 都垂直的单位向量都垂直的单位向量 ,其中其中故所求的单位向量故所求的单位向量【例例9】P19例例5【作业作业】P22 Ex8-2 1,3,6,7,8 目录目录上页上页下
11、页下页返回返回结束结束 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 第三次课第三次课3 平面及其方程平面及其方程一、点法式平面方程一、点法式平面方程给出平面给出平面上一点上一点P0(x0,y0,z0)及垂直于及垂直于1.引例引例1:平面平面的一个向量的一个向量的法向量的法向量),求平面求平面的方程的方程.(称为称为解:解:设设P(x,y,z)为为上任意一点,则上任意一点,则由题意有由题意有 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 已知点已知点(x0,y0,z0),(A,B,C),则则2.点法式平面方程点法式平面方程【例例】P38例例1【例例10】P38例例2点法式方程点法式方程:目录目录上页上
12、页下页下页返回返回结束结束 平面一般方程平面一般方程:二二.平面的一般方程平面的一般方程将点法式方程进行化简并合并同类项将点法式方程进行化简并合并同类项,得得说明说明:D=0,过原点;过原点;A=0,平行于平行于x轴;轴;B=0,平行于平行于y轴;轴;C=0,平行于平行于z轴;轴;对于对于法向量法向量z轴轴,z轴上的所有向量轴上的所有向量.【例例11】P40例例3 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 三三.截距式平面方程截距式平面方程设设与与x,y,z 轴的截距分别为轴的截距分别为a,b,c,即即:1.引例引例2:P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c),P(a,0,0)R(
13、0,0,c)Q(0,b,0)解解:设设:将将P,Q,R 代入得代入得求平面求平面的方程的方程.截距式平面方程截距式平面方程:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【例例11】求过点求过点解:解:P1(1,0,-1),P2(-2,1,3)且与向量且与向量平行的平面方程平行的平面方程.又过点又过点P1(1,0,1),所以所以:即即:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 三三.两平面的夹角:两平面的夹角:(两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角)锐角锐角1.De2.3:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 2.性质性质【例例】P41例例5【例例12】P41例例6 目录目录上页上页下页下页返回
14、返回结束结束 四四.点到平面的距离点到平面的距离求求P0到到的距离的距离P0 N.引例引例3:任取任取则由数量积的性质则由数量积的性质 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 内容小结内容小结1.平面基本方程平面基本方程:一般式一般式点法式点法式截距式截距式 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 2.点到平面的距离点到平面的距离3.平平面面与平面与平面之间的关系之间的关系平面平面平面平面垂直垂直:平行平行:夹角公式夹角公式:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【作业作业】P42 Ex8-5 1,2,3,4(单数单数),5,7,9 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 目录目录上页
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