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1、最基础最全张量分析第1页，共85页，编辑于2022年，星期六i指标指标取值范围为小于或等于取值范围为小于或等于n n的所有正整数的所有正整数n维数维数 数数变量变量指标符号指标符号第2页，共85页，编辑于2022年，星期六一、一、求和约定求和约定和哑指标和哑指标 A-1 指标符号指标符号A A 张量分析张量分析约定约定求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次指标范围用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维第3页，共85页，编辑于2022年，星期六 A-1 指标符号指标符号代表代表代表代表2727项项项项的和式的和式的和式的和式一、一、求和约定求和约定和哑指标和哑指标 双重求和双重求和双重求和双重求和

2、第4页，共85页，编辑于2022年，星期六二、自由指标二、自由指标 筒写为筒写为筒写为筒写为 j 哑指标哑指标哑指标哑指标i自由指标自由指标自由指标自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 A-1 指标符号指标符号第5页，共85页，编辑于2022年，星期六三、三、Kronecker-符号符号和和置换置换符符号号(RicciRicci符号符号)Kronecker-符号符号定义定义 A-1 指标符号指标符号第6页，共85页，编辑于2022年，星期六三三、Kronecker-符符号号和和置置 换换符符号号(RicciRicci符号符号)Kronecker-符号符号定义定义 A-1 指标符号

3、指标符号第7页，共85页，编辑于2022年，星期六直角坐标系的直角坐标系的直角坐标系的直角坐标系的基矢量基矢量基矢量基矢量 第8页，共85页，编辑于2022年，星期六三、三、Kronecker-符号符号和和置换置换符符号号(RicciRicci符号符号)RicciRicci符号符号定义定义 A-1 指标符号指标符号偶次置换奇次置换第9页，共85页，编辑于2022年，星期六三、三、Kronecker-符号符号和和置换置换符符号号(RicciRicci符号符号)RicciRicci符号符号定义定义 A-1 指标符号指标符号第10页，共85页，编辑于2022年，星期六第11页，共85页，编辑于202

4、2年，星期六第12页，共85页，编辑于2022年，星期六Kronecker-Kronecker-和和RicciRicci符号符号的关系的关系第13页，共85页，编辑于2022年，星期六A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 在三维空间中在三维空间中在三维空间中在三维空间中,任意矢量任意矢量任意矢量任意矢量都可以表示为三个基矢都可以表示为三个基矢都可以表示为三个基矢都可以表示为三个基矢量的线性组合量的线性组合量的线性组合量的线性组合 a ai i i i为矢量为矢量为矢量为矢量a a在基矢量在基矢量在基矢量在基矢量e ei i i i下的分解系数下的分解系数下的分解系数下的分解系数,也称矢

5、量的分也称矢量的分也称矢量的分也称矢量的分量量量量 一一、矢量点积、矢量点积 A A 张量分析张量分析第14页，共85页，编辑于2022年，星期六A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 一一、矢量点积、矢量点积 二、矢量二、矢量叉积叉积 A A 张量分析张量分析第15页，共85页，编辑于2022年，星期六A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 二、矢量二、矢量叉积叉积 A A 张量分析张量分析证明证明证明证明第16页，共85页，编辑于2022年，星期六A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 二、矢量二、矢量叉积叉积 A A 张量分析张量分析第17页，共85页，编辑于2022年

6、，星期六三三、矢量、矢量的混合的混合积积 A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 Ricci符号符号A A 张量分析张量分析第18页，共85页，编辑于2022年，星期六四四、矢量、矢量的并乘的并乘(并矢并矢)A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 A A 张量分析张量分析并乘并乘第19页，共85页，编辑于2022年，星期六A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义 A A 张量分析张量分析第20页，共85页，编辑于2022年，星期六坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换式式式式A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义 A A 张量分析张量分析第21页，共85页，

7、编辑于2022年，星期六互逆、正交矩阵互逆、正交矩阵互逆、正交矩阵互逆、正交矩阵基基基基矢量变换矢量变换矢量变换矢量变换式式式式任意向任意向任意向任意向量变换量变换量变换量变换式式式式A A 张量分析张量分析A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义 坐标坐标坐标坐标变换变换变换变换系数系数系数系数第22页，共85页，编辑于2022年，星期六张量的定义张量的定义在坐在坐在坐在坐标标标标系系系系变换时变换时变换时变换时,满满满满足如下足如下足如下足如下变换变换变换变换关系关系关系关系的量称的量称的量称的量称为张为张为张为张量量量量 张张张张量的量的量的量的阶阶阶阶自由指自由指自由指自

8、由指标标标标的数目的数目的数目的数目不变性记法不变性记法不变性记法不变性记法 A A 张量分析张量分析A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义 第23页，共85页，编辑于2022年，星期六一一、加、加(减减)法法 二、矢量与张量的点积二、矢量与张量的点积(点乘点乘)左点乘左点乘左点乘左点乘 A A 张量分析张量分析A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义 矢量与张量点乘的结果仍为张量矢量与张量点乘的结果仍为张量,新新张张量量b b比原比原张张量量 T T的的阶阶数降低数降低一一阶阶 第24页，共85页，编辑于2022年，星期六A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运

9、算 右右右右点乘点乘点乘点乘 对对称称张张量量两两者者才相等才相等A A 张量分析张量分析第25页，共85页，编辑于2022年，星期六三三、矢量与张量的、矢量与张量的叉叉积积 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 左左左左叉叉叉叉乘乘乘乘 A A 张量分析张量分析矢量与张量叉乘的结果仍为张量矢量与张量叉乘的结果仍为张量,新张量与原张量同新张量与原张量同阶阶 第26页，共85页，编辑于2022年，星期六右叉右叉右叉右叉乘乘乘乘 三三、矢量与张量的、矢量与张量的叉叉积积 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析第27页，共85页，编辑于2022年，星期六四四、两个

10、两个张量的张量的点点积积 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减两个张量的阶数之和减 2 2 两个两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这相当这相当于矩阵相乘于矩阵相乘 第28页，共85页，编辑于2022年，星期六五五、张量的、张量的双点双点积积 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之

11、和减个张量的阶数之和减 4 4 第29页，共85页，编辑于2022年，星期六六六、张量的、张量的双叉乘双叉乘 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析第30页，共85页，编辑于2022年，星期六七七、张量的、张量的缩并缩并 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析在张量的不变性记法中在张量的不变性记法中,将某两个基矢量点乘将某两个基矢量点乘,其其结果是一个较原张量低二阶的新张量结果是一个较原张量低二阶的新张量,这种运算称为这种运算称为缩并缩并 第31页，共85页，编辑于2022年，星期六八八、指指标标置置换换 A-4A-4 张量的代数运算

12、张量的代数运算 A A 张量分析张量分析若对该张量的分量中任意两个指标交换次序若对该张量的分量中任意两个指标交换次序,得到一个得到一个与原张量同阶的新张量与原张量同阶的新张量 第32页，共85页，编辑于2022年，星期六九九、对称、对称化和化和反反对称化对称化 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析若若张张量量的的任任意意两两个个指指标标经经置置换换后后所所得得的的张张量量与与原原张张量量相相同同,则则称称该该张张量量关关于于这这两两个个指指标标为为对对称称,若若与与原原张张量量相相差差一一符符号号,则则称称该该张张量量关关于这两个指标为反称。于这两个指标为反称。

13、有有6 6个独立分量个独立分量 有有3 3个独立分量个独立分量 第33页，共85页，编辑于2022年，星期六九九、对称、对称化和化和反反对称化对称化 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析对对对对称称化化：对对已知已知张张量的量的N N个指个指标进标进行行N!N!次不同的置次不同的置换换,并取所得的并取所得的N!N!个新个新张张量的算量的算术术平均平均值值的运算的运算。其其结结果果张张量关于参与置量关于参与置换换的指的指标为对标为对称。将指称。将指标标放在放在圆圆括弧内括弧内表示表示对对称化运算称化运算。第34页，共85页，编辑于2022年，星期六九九、对称、对称

14、化和化和反反对称化对称化 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析反称化反称化反称化反称化:对对已知已知张张量的量的 N N 个指个指标进标进行行N!N!次不同的置次不同的置换换,并将其中指并将其中指标经过标经过奇次置奇次置换换的新的新张张量取反号量取反号,再求算再求算术术平均平均值值,这这种运算称种运算称张张量的反称化量的反称化,其其结结果果张张量关于参与量关于参与置置换换的指的指标为标为反称。将指反称。将指标标放在方括弧内表示反称运放在方括弧内表示反称运算算。第35页，共85页，编辑于2022年，星期六十十、商法则商法则 若在某坐若在某坐标标系中按某系中按某规规

15、律律给给出出 33=27 个数个数 A(ijk),且且A(ijk)bk=Cij,其中其中bk 是与是与A(ijk)无关的任意矢量无关的任意矢量,Cij是是张张量量,那么那么,A(ijk)必必为为比比Cij高一高一阶阶的的张张量。量。A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析用于判定某些量的张量性！用于判定某些量的张量性！第36页，共85页，编辑于2022年，星期六A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）A A 张量分析张量分析B B的作用如同一个算子的作用如同一个算子,它使空它使空间间内每一个向量内每一个向量变换为变换为另一另一个向量个向量,或者或者说说 B

16、 B 能把一个向量空能把一个向量空间间映射映射为为另一向量空另一向量空间间。第37页，共85页，编辑于2022年，星期六A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）A A 张量分析张量分析一一、仿射量的转置、仿射量的转置B BT T 对称张量对称张量对称张量对称张量 反反反反对称张量对称张量对称张量对称张量 第38页，共85页，编辑于2022年，星期六A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）A A 张量分析张量分析一一、仿射量的转置、仿射量的转置B BT T 和和和和b b b b为任意向量为任意向量为任意向量为任意向量 第39页，共85页，编辑于2022年，星期六A A 张量

17、分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）一一、仿射量的、仿射量的逆逆B B-1-1 第40页，共85页，编辑于2022年，星期六A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 对对于于仿仿射射量量B,B,若若存存在在三三个个相相互互垂垂直直的的方方向向i,ji,j,k k,其其映映象象 Bi,Bj,BkBi,Bj,Bk也也相相互互垂垂直直,则则称称该该三三个个方方向向为为 B B 的的主主向向。对对称称仿仿射射量量T T 必必存存在在三三个个主主向向和和三三个个相相应应的主的主值值。主。主值值

18、S S 满满足如下特征方程。足如下特征方程。第41页，共85页，编辑于2022年，星期六A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 第42页，共85页，编辑于2022年，星期六A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 第43页，共85页，编辑于2022年，星期六三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 笛卡儿坐标笛卡儿坐标笛卡儿坐标笛卡儿坐标 A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量

19、）第44页，共85页，编辑于2022年，星期六A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）四四、各向同性各向同性张张量量 各向同性张量各向同性张量各向同性张量各向同性张量在坐标任意变换时在坐标任意变换时在坐标任意变换时在坐标任意变换时,各分量保持不变各分量保持不变各分量保持不变各分量保持不变的张量的张量的张量的张量 零阶张量零阶张量(标量标量)总是各向同性的。一阶张量总是各向同性的。一阶张量(即矢量即矢量)总不是各向同性的。对于对称二阶张量总不是各向同性的。对于对称二阶张量T,T,如果其三个如果其三个主值相等主值相等,即即S S1 1=S=S2 2=S=S3 3=

20、,=,则是各向同性的。则是各向同性的。第45页，共85页，编辑于2022年，星期六A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）四四、各向同性各向同性张张量量 证明：证明：证明：证明：(1)4个指标都相同的分量有3个第46页，共85页，编辑于2022年，星期六A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）四四、各向同性各向同性张张量量 证明：证明：证明：证明：(2)4个指标有3个相同的分量有24个以A1112 为例。如绕x2转1800，坐标变换系数为第47页，共85页，编辑于2022年，星期六要使新坐标的分量A1112 与原坐标中的分量A1112 相等，A1112。必为零。第48页，共

21、85页，编辑于2022年，星期六所以 A1123=0。其它都为零。(3)4个指标中有2个相同的分量有36个以A1123 为例。坐标仍绕x2转1800，坐标变换系数同上，则第49页，共85页，编辑于2022年，星期六将此三类分量用统一形式表示为：(3)4个指标中有2对指标重复的分量有18个。可分为3类，每6个分量相等。第50页，共85页，编辑于2022年，星期六 在空在空间间所所论论域内域内,每点定每点定义义的同的同阶张阶张量量,构成构成了了张张量量场场。一般。一般张张量量场场中被考察的中被考察的张张量随位置而量随位置而变变化。研究化。研究张张量量场场因位置而因位置而变变化的情况使我化的情况使我

22、们们从从张张量代数的量代数的领领域域进进入入张张量分析的量分析的领领域。域。笛卡儿坐笛卡儿坐标标系中的系中的张张量分析量分析。A-6 A-6 张量分析张量分析第51页，共85页，编辑于2022年，星期六一、哈一、哈密密顿顿(Hamilton)Hamilton)算子算子(梯度梯度算子算子)设有标量场设有标量场设有标量场设有标量场(x),x),当位置点当位置点当位置点当位置点r(x)r(x)变到变到变到变到r(x+dx)r(x+dx)时时时时,的增量的增量的增量的增量d d 命为命为命为命为 梯度算子,矢量算子 A-6 A-6 张量分析张量分析第52页，共85页，编辑于2022年，星期六一、哈一、

23、哈密密顿顿(Hamilton)Hamilton)算子算子(梯度梯度算子算子)A-6 A-6 张量分析张量分析1.1.1.1.标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度2.2.2.2.矢量场矢量场矢量场矢量场u u u u的散度的散度的散度的散度 第53页，共85页，编辑于2022年，星期六一、哈一、哈密密顿顿(Hamilton)Hamilton)算子算子(梯度梯度算子算子)A-6 A-6 张量分析张量分析3.3.3.3.矢量的旋度矢量的旋度矢量的旋度矢量的旋度 第54页，共85页，编辑于2022年，星期六二二、张量场的微分张量场的微分 A-6 A-6 张量分析张量分析1.1.1.1.张张

24、张张量量量量A A的的的的梯梯梯梯度度度度 左梯左梯度度度度 右梯右梯右梯右梯度度度度 张张张张量的量的量的量的梯梯梯梯度度度度为比原张量高一阶的新张量为比原张量高一阶的新张量为比原张量高一阶的新张量为比原张量高一阶的新张量 第55页，共85页，编辑于2022年，星期六二二、张量场的微分张量场的微分 A-6 A-6 张量分析张量分析1.1.1.1.张张张张量量量量A A A A的的的的散散散散度度度度 左散左散左散左散度度 右散右散右散右散度度度度 张张张张量的量的量的量的散散散散度度为比原张量低一阶的新张量为比原张量低一阶的新张量 第56页，共85页，编辑于2022年，星期六二二、张量场的微

25、分张量场的微分 A-6 A-6 张量分析张量分析3.3.3.3.张张张张量量量量A A的的的的旋旋旋旋度度度度 左旋左旋度度度度 第57页，共85页，编辑于2022年，星期六二二、张量场的微分张量场的微分 A-6 A-6 张量分析张量分析3.3.3.3.张张张张量量A A的的的的旋旋旋旋度度 右旋右旋右旋右旋度度度度 第58页，共85页，编辑于2022年，星期六三三、散度定理散度定理 A-6 A-6 张量分析张量分析高斯积分公式为高斯积分公式为高斯积分公式为高斯积分公式为 第59页，共85页，编辑于2022年，星期六三三、散度定理散度定理 A-6 A-6 张量分析张量分析高斯积分公式为高斯积分

26、公式为任意阶张量任意阶张量 第60页，共85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 一般一般一般一般讨论的张量讨论的张量讨论的张量讨论的张量,都是在笛卡儿坐标系下进行的都是在笛卡儿坐标系下进行的都是在笛卡儿坐标系下进行的都是在笛卡儿坐标系下进行的,在在在在解决具体问题时解决具体问题时解决具体问题时解决具体问题时,往往要求更复杂的坐标系往往要求更复杂的坐标系往往要求更复杂的坐标系往往要求更复杂的坐标系。一一、曲线坐标、曲线坐标在笛卡儿坐标系在笛卡儿坐标系,空间任一点空间任一点 P 的向径是的向径是设在设在三维空间三维空间某连通区域某连通区域,给定了笛

27、氏坐标的三个连续可给定了笛氏坐标的三个连续可微的单值函数微的单值函数 反函数反函数第61页，共85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 第62页，共85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 若函数不是线性函数若函数不是线性函数,则称其为曲线坐标系则称其为曲线坐标系 用于编排指标用于编排指标ii的次序的次序第63页，共85页，编辑于2022年，星期六第64页，共85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量二、局部基矢量 在在笛笛卡卡儿儿坐坐标

28、标系系,空空间间任任意意向向量量(张张量量)都都可可以以在在基基上上分分解解。这种做法可进行两种不同的解释这种做法可进行两种不同的解释:(l)(l)空空间间里里只只有有一一个个固固定定在在原原点点的的基基e ei i,先先将将向向量量(张量张量)平行移至原点平行移至原点,然后在这基上分解。然后在这基上分解。(2)(2)在在定定义义区区域域内内每每点点都都有有一一个个与与e ei i相相同同的的基基,即即局局部部基基,向量向量(张量张量)在本作用点的局部基上就地分解。在本作用点的局部基上就地分解。在在在在曲曲曲曲线线线线坐坐坐坐标标标标系系系系,如如如如果果果果只只只只用用用用一一一一个个个个固

29、固固固定定定定基基基基的的的的做做做做法法法法,就就就就会会会会使使使使曲曲曲曲线线线线坐坐坐坐标标标标的的的的引引引引人人人人成成成成为为为为无无无无的的的的放放放放矢矢矢矢。我我我我们们们们采采采采用用用用第第第第二二二二种种种种做做做做法法法法,在在在在空间每一点都建立空间每一点都建立空间每一点都建立空间每一点都建立局部基局部基。第65页，共85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 第66页，共85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量二、局部基矢量 取一点处坐标曲线的切向量取一

30、点处坐标曲线的切向量取一点处坐标曲线的切向量取一点处坐标曲线的切向量 自然基自然基自然基自然基 度量张量 第67页，共85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量二、局部基矢量 求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基g gi i i i 和度量张量和度量张量和度量张量和度量张量g gij ij 第68页，共85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量二、局部基矢量 求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基g gi i i i 和度量张

31、量和度量张量和度量张量和度量张量g gij ij ij ij 第69页，共85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量二、局部基矢量 笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等,可可以推广到曲线坐标系以推广到曲线坐标系,区别只在于这时的基矢量区别只在于这时的基矢量g gi i i i及及及及变换系数变换系数变换系数变换系数 iiiiiiii是空间点位置的函数。如张量是空间点位置的函数。如张量A A A A在曲线坐在曲线坐在曲线坐在曲线坐标系可以写成标系可以写成标系可以写成标系可以写成 由于在曲

32、线坐标系并非所有坐标都具有长度量纲由于在曲线坐标系并非所有坐标都具有长度量纲,例如例如,圆柱圆柱坐标中的。因此坐标中的。因此,相对相对 应的自然基矢量就不是无量纲的单位应的自然基矢量就不是无量纲的单位矢量。具有一定物理意义的向量矢量。具有一定物理意义的向量(张量张量)在这样的基上在这样的基上 的各的各分量并不具有物理量纲分量并不具有物理量纲,从而给直接的物理解释带来不便从而给直接的物理解释带来不便。第70页，共85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量二、局部基矢量 为为了了使使张张量量在在每每个个具具体体坐坐标标系系里里能能取取得

33、得具具有有物物理理量量纲纲的的分分量量,在在正正交交曲曲线线坐坐标标系系,取取切切 于于坐坐标标曲曲线线的的无无量量纲纲单单位位矢量作为基矢量矢量作为基矢量,即即正交单位标架为物理标架正交单位标架为物理标架,或称物理基或称物理基 在物理标架上分解的张量在物理标架上分解的张量,其相应的各分量能取得相其相应的各分量能取得相同的物理量纲同的物理量纲 第71页，共85页，编辑于2022年，星期六圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 第72页，共85页，编辑于2022年，星期六圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 第73页，共85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲

34、线坐标下的张量分析 三、张量对曲线坐标的导数三、张量对曲线坐标的导数 标量场标量场标量场标量场 沿沿沿沿 s s s s 方向的方向导数为方向的方向导数为方向的方向导数为方向的方向导数为 两边点乘第74页，共85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 三、张量对曲线坐标的导数三、张量对曲线坐标的导数 标量场标量场 沿沿 s s 方向的方向导数为方向的方向导数为方向的方向导数为方向的方向导数为 形式导数第75页，共85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 1.1.克里斯多弗符号克里斯多弗符号第76页，共

35、85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 1.1.克里斯多弗符号克里斯多弗符号第77页，共85页，编辑于2022年，星期六A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 1.1.张量的梯度张量的梯度第78页，共85页，编辑于2022年，星期六圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 第79页，共85页，编辑于2022年，星期六圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 第80页，共85页，编辑于2022年，星期六圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 第81页，共85页，编辑于2022年，星期六圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 第82页，共85页，编辑于2022年，星期六圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 第83页，共85页，编辑于2022年，星期六圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 第84页，共85页，编辑于2022年，星期六圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 第85页，共85页，编辑于2022年，星期六