曲线和二次曲面幻灯片.ppt

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1、曲线和二次曲面第1页，共27页，编辑于2022年，星期六定义：定义：（1）曲面）曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；那么，那么，方程方程就称为就称为曲面曲面S的方程的方程，而，而曲面曲面S就称为就称为方程的图形方程的图形。（2）不在曲面）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程，上的点的坐标都不满足方程，如果曲面如果曲面S S与三元方程与三元方程有下述关系：有下述关系：曲面方程曲面方程第2页，共27页，编辑于2022年，星期六解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为yzxM(x,y,z)即有：即有：例题例题回主视图回主视图第3页，共27页，编辑于2022年，星期六例题例题定

2、义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线L所所形成的曲面称之为柱面形成的曲面称之为柱面.这条定曲线叫柱面的这条定曲线叫柱面的准线准线，动，动直线叫柱面的直线叫柱面的母线母线.如果母如果母线线是平行于是平行于轴轴的直的直线线，一、柱面一、柱面第4页，共27页，编辑于2022年，星期六例题例题P(x,y,z)柱面上任取一点柱面上任取一点P(x,y,z)沿母线与沿母线与xoy平面的交点是平面的交点是P(x,y,0)P(x,y,0)P(x,y,0)在准线上，从而柱面上在准线上，从而柱面上任一点任一点P的坐标均满足方程的坐标均满足方程F(x,y)=0.准线方程准线方程

3、柱面方程：柱面方程：F(x,y)=0第5页，共27页，编辑于2022年，星期六从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴双曲柱面双曲柱面 /轴轴抛物柱面抛物柱面 /轴轴例如例如：柱面柱面第6页，共27页，编辑于2022年，星期六柱面图形：柱面图形：抛物柱面抛物柱面双曲柱面双曲柱面柱面柱面第7页，共27页，编辑于2022年，星期六 椭圆柱面椭圆柱面 圆柱面圆柱面柱面柱面回主视图回主视图第8页，共27页，编辑于2022年，星期六柱面柱面定义：以一条平面曲线绕定义：以一条平面曲线绕 其平面上的一条直线旋转其平面上的一条直线旋转 一一周所成的曲面称之

4、为旋转曲周所成的曲面称之为旋转曲面面.这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.平面上的曲线称为母线。平面上的曲线称为母线。二、旋转曲面二、旋转曲面第9页，共27页，编辑于2022年，星期六旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：曲面上任取一点，将将则点M是由曲线上点M1旋转得来。因此设设为为曲曲线线上的任一点，那么有上的任一点，那么有代入代入得方程得方程旋转曲面旋转曲面第10页，共27页，编辑于2022年，星期六将将 代入代入得方程得方程旋转曲面旋转曲面yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),(=zyf绕绕z 轴轴旋转一周的旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程.第11页，共27页，

5、编辑于2022年，星期六例例2:2:将坐标平面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，将坐标平面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程求所生成的旋转曲面的方程 同理，所同理，所给给双曲双曲线绕线绕轴轴旋旋转转一周形成的旋一周形成的旋转转曲面的方程曲面的方程为为 这两种曲面都称为旋转双曲面类似地，我们还可以得旋转椭这两种曲面都称为旋转双曲面类似地，我们还可以得旋转椭球面和旋转抛物面图形如下：球面和旋转抛物面图形如下：例题例题第12页，共27页，编辑于2022年，星期六（2）圆锥面）圆锥面（3）旋转双曲面）旋转双曲面（1）球面）球面例题例题回主视图回主视图第13页，共27页，编辑于202

6、2年，星期六方程组为空间曲线的一般方程方程组为空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：空间曲线及其方程空间曲线及其方程第14页，共27页，编辑于2022年，星期六它表示在平面它表示在平面 上的圆上的圆 例题例题回主视图回主视图第15页，共27页，编辑于2022年，星期六 与平面解析几何中的二次曲线概念相类似，在空间解析几何中把与平面解析几何中的二次曲线概念相类似，在空间解析几何中把

7、三元二次方程所表示的曲面叫做三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面二次曲面前面提到的球面、旋转前面提到的球面、旋转椭球面、双曲柱面等都是二次曲面为了了解由三元二次方程所表示的椭球面、双曲柱面等都是二次曲面为了了解由三元二次方程所表示的空间曲面的形状，常用坐标平面和平行于坐标平面的平面与空间曲面相空间曲面的形状，常用坐标平面和平行于坐标平面的平面与空间曲面相截考察其交线截考察其交线(即截痕即截痕)的形状，然后加以综合，从而得知曲面的全貌，的形状，然后加以综合，从而得知曲面的全貌，这种方法叫做这种方法叫做截痕法截痕法下面我们利用截痕法来讨论几种常用的二次曲面下面我们利用截痕法来讨论几种常用的二次曲面

8、 常用二次曲面常用二次曲面第16页，共27页，编辑于2022年，星期六 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：图形有界，并且关于坐标面对称。图形有界，并且关于坐标面对称。椭球面椭球面第17页，共27页，编辑于2022年，星期六椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆同理与平面同理与平面 x=k 和和 y=k 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.当当k k由由0 0变到变到c c时时,椭圆由大变小椭圆由大变小,最后缩成一点。最后缩成一点。椭球面椭球面第18页，共27页，编辑于2022年，星期六椭球面的几种

9、特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成球面球面椭球面特殊情形椭球面特殊情形回主视图回主视图第19页，共27页，编辑于2022年，星期六（与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面同样用截痕法讨论同样用截痕法讨论.图形位于图形位于xoyxoy平面的上方，并关于平面的上方，并关于yozyoz及及zoxzox坐标面对称。坐标面对称。特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面第20页，共27页，编辑于2022年，星期六zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面图形椭圆抛物面图形回主视图回主视图第21页，共27页，编辑于2022年，星期六表示锥面表示锥面同样用截痕法来讨论同样用截痕法来讨论,其形状如右图其形状如右图 锥面锥面回主视图回主视图第22页，共27页，编辑于2022年，星期六第23页，共27页，编辑于2022年，星期六第24页，共27页，编辑于2022年，星期六第25页，共27页，编辑于2022年，星期六第26页，共27页，编辑于2022年，星期六抛物柱面抛物柱面第27页，共27页，编辑于2022年，星期六