新北科大《材料力学》考点强化教程7.PPT

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1、问题的提出问题的提出应力随点的位置变化应力随点的位置变化应力随点的位置变化应力随点的位置变化应力随截面的方位变化应力随截面的方位变化应力随截面的方位变化应力随截面的方位变化7-1 7-1 应力状态的概念应力状态的概念地震荷载作用下的墙体破坏地震荷载作用下的墙体破坏说明说明:破破坏坏面面与与受受力力方向可能不一致。方向可能不一致。对同一点:一个方向上满足强度要求,并不能说明已经安全。推论推论:研究应力状态的方法研究应力状态的方法：截取单元体；施用截面法。：截取单元体；施用截面法。截取单元体截取单元体单单元元体体受受力力特特征征应力在每个侧面上均布；应力在每个侧面上均布；相互平行的面上应力等值、相

2、互平行的面上应力等值、反向。反向。从构件中截取一个三维方向尺寸无限小的正六面体（单元体）从构件中截取一个三维方向尺寸无限小的正六面体（单元体）研究应力状态的目的研究应力状态的目的研究应力状态的目的研究应力状态的目的：研究应力随点和面的变化规律，研究应力随点和面的变化规律，研究应力随点和面的变化规律，研究应力随点和面的变化规律，以确定以确定以确定以确定最大正应力最大正应力最大正应力最大正应力 maxmax和和和和最大剪应力最大剪应力最大剪应力最大剪应力 maxmax 。应力状态的初步概念：应力状态的初步概念：过一点处不同方向面上的应力过一点处不同方向面上的应力(正应力和切应力正应力和切应力)可以

3、有可以有不同的组合形式。不同的组合形式。原始单元体（各侧面应力已知的单元体）原始单元体（各侧面应力已知的单元体）梁梁施用截面法（用截面法找到特殊截面）施用截面法（用截面法找到特殊截面）=0=0的平面的平面 主平面主平面主主平平面面上上的的正正应应力力主主应应力力第一主应力第一主应力第二主应力第二主应力第三主应力第三主应力轴轴杆杆梁梁 应力状态概念的进一步说明应力状态概念的进一步说明拉中有剪拉中有剪剪中有拉剪中有拉 根据单元体的平衡条件说明：同一单元体的根据单元体的平衡条件说明：同一单元体的不同方向面上不同方向面上的应力一般是不相同的。这便是应力的的应力一般是不相同的。这便是应力的截面方位截面方

4、位的概念的概念。根据单元体的平衡条件分析任意方向面上的应力情况根据单元体的平衡条件分析任意方向面上的应力情况应力是定义在应力是定义在“点点”上的上的 材料力学中的材料力学中的“点点”是物理点是物理点,不是几何点不是几何点,有大小和形状，通常用正六面体表示，称为单元有大小和形状，通常用正六面体表示，称为单元体。体。通过同一点所取截面方向不同，应力的大小也不通过同一点所取截面方向不同，应力的大小也不同。应力既是点的位置的函数，也是过该点的截面方同。应力既是点的位置的函数，也是过该点的截面方位的函数。位的函数。通过同一点不同方位截面上的应力的集合称为该通过同一点不同方位截面上的应力的集合称为该点的点

5、的应力状态应力状态。小结：一点的应力状态小结：一点的应力状态:单元体很小，可以认为单元体很小，可以认为:(1)(1)各个面上的应力均匀分布；各个面上的应力均匀分布；(2)(2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。基本变形原始单元体的画法（各侧面应力已知的单元体）基本变形原始单元体的画法（各侧面应力已知的单元体）1 1、截取无限小六面体作为单元体；、截取无限小六面体作为单元体；1 1）截取截取横截面；横截面；2 2）在横截面上平行于边缘截取小矩形在横截面上平行于边缘截取小矩形；3 3、按照杆件受力的特点，在横截面上画出相应的应力；、按照杆件受力的特

6、点，在横截面上画出相应的应力；2 2、分析单元体各个面的含义，分清哪个面是分析单元体各个面的含义，分清哪个面是横截面横截面；4 4、画出单元体其他各面上的应力；、画出单元体其他各面上的应力；3 3）从）从横截面开始缘截取小立方体横截面开始缘截取小立方体；右视图右视图 弯弯曲曲梁梁上上四四个个点点的的单单元元体体。四四个个点点在在横横截截面面上上，既既有有剪应力也有正应力剪应力也有正应力z 弯弯曲曲梁梁上上一一点点的的单单元元体体，剪剪力力和和弯弯矩矩都都不不为为0 0，在在横横截截面面上，既有剪应力也有正应力上，既有剪应力也有正应力dxzFlaSyxz4321S S平面应力分析平面应力分析平面

7、应力分析平面应力分析yxzxyz1Mx432143Mz(Triaxial Stress State)三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态yxz定义：在一个单元体上，定义：在一个单元体上，三个主应力均不为三个主应力均不为三个主应力均不为三个主应力均不为0 0 0 0，则，则称该单元体所代表的点称该单元体所代表的点处于处于三向应力状态。三向应力状态。三向应力状态。三向应力状态。7-2 7-2 二向和三二向和三向向应力状态的概念应力状态的概念 Biaxial(Plane)Stress State二向（平面）应力状态二向（平面）应力状态xy定义：在一个单元体上，定义：在一个单元体上，两个主应力均不

8、为两个主应力均不为两个主应力均不为两个主应力均不为0 0 0 0，则，则称该单元体所代表的点称该单元体所代表的点处于二处于二向应力状态。向应力状态。向应力状态。向应力状态。单向应力状态单向应力状态(Uniaxial Stress State)纯剪应力状态纯剪应力状态(Pure Shear Stress State)xy定义：在一个单元体上，仅有定义：在一个单元体上，仅有一一个主应力不为个主应力不为个主应力不为个主应力不为0 0 0 0，则称该单元，则称该单元体所代表的点处于单体所代表的点处于单向应力状向应力状向应力状向应力状态。态。态。态。定义：在一个单元体上，仅有定义：在一个单元体上，仅有剪

9、剪应力应力应力应力，而无正应力。则称该，而无正应力。则称该单元体所代表的点处于纯剪单元体所代表的点处于纯剪应应应应力状态。力状态。力状态。力状态。xyxyyx三三向向应应力力状状态态平平面面应应力力状状态态单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态特例特例特例特例思考：在下面单元体上，应思考：在下面单元体上，应力已知，则该单元体所代表力已知，则该单元体所代表的点处于什么的点处于什么应力状态？应力状态？应力状态？应力状态？思考：纯剪思考：纯剪应力状态应力状态应力状态应力状态，对应，对应于几向于几向应力状态？应力状态？应力状态？应力状态？xyxyxy50MPa50MPa50MPa如图所示原始

10、单元体如图所示原始单元体取任意斜截面假想将单元体取任意斜截面假想将单元体分为两部分分为两部分7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法单元体局部的平衡方程单元体局部的平衡方程单元体局部的平衡方程单元体局部的平衡方程量的符号规定：量的符号规定：量的符号规定：量的符号规定：1 1 1 1、：沿：沿：沿：沿X X X X轴逆时针转到截面轴逆时针转到截面轴逆时针转到截面轴逆时针转到截面的外法线方向为正。的外法线方向为正。的外法线方向为正。的外法线方向为正。二向应力状态的解析法二向应力状态的解析法二向应力状态的解析法二向应力状态的解析法 角的角的角的角的斜三角微元的平衡斜三角微元的平衡

11、斜三角微元的平衡斜三角微元的平衡d dA A 参加平衡的量参加平衡的量参加平衡的量参加平衡的量应力乘以其作用的面积应力乘以其作用的面积应力乘以其作用的面积应力乘以其作用的面积2 2 2 2、：拉正、压负。：拉正、压负。：拉正、压负。：拉正、压负。3 3 3 3、：沿单元边界，顺时针绕：沿单元边界，顺时针绕：沿单元边界，顺时针绕：沿单元边界，顺时针绕单元为正。单元为正。单元为正。单元为正。二向应力状态的解析法二向应力状态的解析法dA 二向应力状态的解析法二向应力状态的解析法dA又三角公式：整理得:其中:-任意斜截面应力-斜截面法向n与x轴正向夹角-正截面应力-（1）dAxy注意到：1.1.主应力

12、与主平面主应力与主平面:正应力的极值（极大、极小）正应力的极值（极大、极小）对(1)式第一式求导,得:-（1）由(2)可解出:0 相差90o的两个根，说明：-（2）由(2)可表示出sin2 0、cos2 0 代入(1)第一式，得：出现主应力的两个面相互垂直出现主应力的两个面相互垂直出现主应力的两个面相互垂直出现主应力的两个面相互垂直。单单单单元元元元体体体体上上上上剪剪剪剪应应应应力力力力为为为为零零零零的的的的平平平平面面面面，称称称称为为为为主主主主平平平平面面面面；该面上的正应力称为主应力。该面上的正应力称为主应力。该面上的正应力称为主应力。该面上的正应力称为主应力。-（3）-（2）(1

13、)(1)(1)(1)将将将将原原原原单单单单元元元元体体体体上上上上的的的的剪剪剪剪应应应应力力力力等等等等效效效效汇汇汇汇合合合合成成成成两两两两对对对对流流流流出出出出和和和和流入的剪应力流。流入的剪应力流。流入的剪应力流。流入的剪应力流。(2)(2)(2)(2)最最最最大大大大主主主主应应应应力力力力max的的的的作作作作用用用用面面面面偏偏偏偏向向向向于于于于流流流流出出出出的的的的剪剪剪剪应应应应力力力力流方向。流方向。流方向。流方向。主应力作用面与主方向配对法则主应力作用面与主方向配对法则:例：纯剪切应力状态及其主应力例：纯剪切应力状态及其主应力等价流入的剪应力流方向等价流出的剪应

14、力流方向等价流入的剪应力流方向等价流出的剪应力流方向(1)(1)出现主剪应力的两个面相互垂直。出现主剪应力的两个面相互垂直。出现主剪应力的两个面相互垂直。出现主剪应力的两个面相互垂直。2.2.平面主剪应力平面主剪应力:剪应力的极值（极大、极小）剪应力的极值（极大、极小）对(1)式第二式求导,经推导得:-（4）-（5）(2)(2)主剪应力的作用面上主剪应力的作用面上主剪应力的作用面上主剪应力的作用面上,正应力不一定为正应力不一定为正应力不一定为正应力不一定为0 0。说明说明:(3)(3)式中两式相减与式中两式相减与(4)(4)式比较式比较:-(3)-(4)(3)(3)式中两式相加式中两式相加:-

15、（3）讨论讨论:由(2)和(4)可知:推知推知推知推知:与 相差90o，与 相差45o 例：讨论单向应力状态例题：原始单元体如图示。试求：例题：原始单元体如图示。试求：505030302020应力单位：应力单位：MPaMPa解：写出各应力元素的具体数值50503 30 02 20 02 2）主应力，主平面）主应力，主平面因为最大主应力因为最大主应力因为最大主应力因为最大主应力maxmax的作用面偏向的作用面偏向的作用面偏向的作用面偏向于流出的剪应力流方向于流出的剪应力流方向于流出的剪应力流方向于流出的剪应力流方向,可作图可作图可作图可作图主应力迹线主应力迹线主应力迹线主应力迹线:主应力方向在梁

16、内的分布规律。主应力方向在梁内的分布规律。mmmm主拉应力主拉应力 1 1方向方向:主拉应力主拉应力 3 3方向方向:自下而上由水平按顺时针转动。自上而下由水平按逆时针转动。钢筋如何布置？钢筋如何布置？钢筋如何布置？钢筋如何布置？主应力主应力迹线迹线:压压拉拉1.1.应力圆方程应力圆方程(1)改写成:由(3)2+(2)2得:7-4 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法R圆心:半径:应力圆应力圆应力圆应力圆cR2.2.应力圆作法应力圆作法ABa(x,xy)b(y,yx)c在-坐标中，取对应于单元体A、B面的点a、b；a、b两点连线交 轴于c点；以c为圆心ac为半径作圆。efoRa

17、(x,xy)b(y,yx)cefo转向、二倍角对应转向、二倍角对应转向、二倍角对应转向、二倍角对应A A aaA AyxCaAc3.3.应力圆的应用应力圆的应用点点点点 面面面面 对对对对 应应应应求任意斜截面上的应力求任意斜截面上的应力a(x,xy)b(y,yx)c 自自自自acac与与与与 同同同同向向向向转转转转2 2 角角角角得得得得ecec,则则则则e e点点点点的的的的坐坐坐坐标标标标就就就就是是是是 面面面面上的上的上的上的 、。2 e(,)a(x,xy)(y,yx)bco求正应力的极值及方位：求正应力的极值及方位：dd 在单元体上在单元体上 0max、0min相差相差90900

18、 0 xya(x,xy)(y,yx)bcodd 求剪应力的极值及方位：求剪应力的极值及方位：与的作用面相差450a(x,xy)(y,yx)bcodd 在主剪应力面上(e,e):(y,yx)ba(x,xy)cd doee圆心横坐标:例题：原始单元体如图示。试用图解法求解：例题：原始单元体如图示。试用图解法求解：解题步骤：解题步骤：(40,-50),(-60,50)3.确定 点坐标1.x x505040406060y y 应力单位：应力单位：MPaMPan n由应力圆中量取以下尺寸(40,-50),(-60,50)3.确定 点坐标505040406060y y 应力单位：应力单位：MPaMPan nF4.作应力圆505040406060n n5.5.计算结果：计算结果：505040406060F思考：思考：画出图示单元体对应的应力圆。思考：思考：图示的应力圆表示单元体处于什么应力状态？00作业7.2(a、c、d)，7.3(b、c)7.5(a、c)