不定积分换元法教案.pptx

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1、会计学1不定积分换元法不定积分换元法第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路基本思路基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设可导,则有第1页/共47页一、第一类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.则有换元公式(也称也称即凑微分法凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）令原式第3页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解（三）（三）令原式第4页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2 求求解解一般地一般地

2、第5页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3 求求解解第6页/共47页例例例例.求求求求解解:想到公式想到公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：熟悉第一类换元法之后，就没有必要写出中间变量的代换过程说明：熟悉第一类换元法之后，就没有必要写出中间变量的代换过程P160,公式公式(18)SCU第7页/共47页例例例例3.3.求求求求想到解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 P160,公式公式(21)SCU第8页/共47页例例例例4.4.求求求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似P160,公式公式(14,15)SCU第9页/共47页例例例例5.5.求求求求解

3、解:原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 P160,公式公式(19,20)SCU第10页/共47页常用的几种凑微分形式常用的几种凑微分形式常用的几种凑微分形式常用的几种凑微分形式:万万能能凑凑幂幂法法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共47页例例例例7.7.求求求求解解:原式原式 例例8.求求解解:原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共47页例例例例9.9.求求求求解法解法1解法解法2 两法结果一两法结果一样样机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共47页例例例例10.10.求求求求解法解法1

4、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共47页解法解法解法解法 2 2 同样可证或(P199 例例18)机动 目录 上页 下页 返回 结束 P160,公式公式(16,17)SCU第16页/共47页例例例例11.11.求求求求解解:原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共47页例例例例12.12.求求求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共47页例例例例13.13.求求求求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考：思考：第19页/共47页例例例例14.14.求求求求解解:原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:第20页/共

5、47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1515 求求解解第21页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解例例14 设设 求求令第22页/共47页例例例例15.15.求求求求解解:原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共47页小结小结小结小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如ex13,P164,SCU第24页/共47页思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?机动 目录 上页 下页

6、 返回 结束 第25页/共47页2.2.求求求求提示提示:法法1法法2法法3作业 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共47页二、第二类换元法二、第二类换元法二、第二类换元法二、第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，第27页/共47页定理定理定理定理2.2.设设设设是单调可导函数,且具有原函数,证证:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式第28页/共47页例例例例16.16.求求求求解解:令令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共47页例例例例17.17.求求求求解解:令令则

7、 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 P160,公式公式(22)SCU第30页/共47页例例例例18.18.求求求求解解:令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 可以不管具体形式可以不管具体形式P160,公式公式(22)SCU第31页/共47页令于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 可以不管具体形式第32页/共47页原式例例例例19.19.求求求求解解:令令则则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法一：三角代换解法一：三角代换解法二：倒代换解法二：倒代换第33页/共47页小结小结小结小结:1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令或令令机动 目录 上页 下页 返回

8、结束 第第四四节节讲讲根根式式代代换换Ex21,P167,SCU第34页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充 (P205,P160(SCU)(P205,P160(SCU)(7)分母中因子次数较高时分母中因子次数较高时,可试用可试用倒代换倒代换 令第35页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 川大教材没有川大教材没有公式公式(24)第37页/共47页解解:原式原式(P205 公式(20)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例

9、20.20.求求求求例例21.求求解解:(P206 公式(23)第38页/共47页例例例例22.22.求求求求解解:原式原式=(P206 公式(22)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例23.求求解解:原式原式(P206 公式(22)根式代换；三角代换第39页/共47页例例例例24.24.求求求求解解:令得原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换第40页/共47页例例例例25.25.求求求求解解:原式原式令例16 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换第41页/共47页1.1.已知已知已知已知求解解:两边求导两边求导,得得则(代回原变量代回原变量)机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习第42页/共47页作业作业P2072 (5),(10),(15),(20),(25),(30),(35),(40)(44)第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第43页/共47页备用题备用题备用题备用题 1.1.求下列积分求下列积分求下列积分求下列积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第44页/共47页2.2.求不定积分求不定积分解：解：利用利用凑微分法凑微分法,原式=令得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第45页/共47页分子分母同除以3.3.求不定积分解解:令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第46页/共47页